量子场论的水星近日点进动
陈绍光
江西省科学院 江西南昌 330029
摘要：分别独自从量子场论和广义相对论推导出的新引力定律是牛顿平方反比定律f 加f v /c的更正，f是矢量f 的大小，c是光速，v 是质量为m的质点运动速度。f 是速度变化的动量变化率m (dv /dt)，f v /c是质量变化的动量变化率v (dm /dt)，称为质量耗散力。涨落真空中质量为M的质点出现在质点m附近时，重整化质量M和m均小于单独存在时的，使得天体的动量、能量和角动量不再守恒。但f v /c是使得引力质量与惯性质量同步减小，开普勒第二定律仍然保持。新引力定律得出椭圆轨道从近日点至远日点收缩，从远日点至近日点扩张，产生轨道形变的进动，算出的水星近日点进动值的大小和方向与爱因斯坦算出的完全相同。但爱因斯坦的进动没有轨道形变。本文也指出了圆周运动的不稳定性和椭圆运动的自稳定性。
关键词：新引力定律 质量耗散力 椭圆轨道形变的进动 天体的轨道稳定性。
1、新引力定律
牛顿力学的关键标志是质量不可变，而狭义相对论和广义相对论(GR)以及量子场论(QFT)中质量则是可变的。
QFT的电荷和质量的重整化，是让物理电荷和物理质量不再是裸电荷和裸质量，而是包含有真空涨落虚粒子的物理电荷和物理质量。其中物理电荷中主要是包含有传递电磁相互作用的虚光子γ，物理质量中主要是包含有传递引力相互作用的虚中微子 ν，ν中又以数量最多的最低能态的ν0为主。由于ν0具有最小单位的动量p0和能量 ε0，质点中含有ν0数量的多少就影响到质点的动量和能量（从而质量）。1/2自旋的虚中微子ν0 是费米子，其在真空中的分布遵从泡利不相容原理，从而呈均匀各向同性分布。ν0 对质点的作用是通过Z0玻色子与质点中核子的弱作用，由于Z0的质量达100GeV的数量级，弱作用的力程很短，可以近似地看成是直接的碰撞作用。
单独一个质点A处在真空中，均匀各向同性的真空涨落ν0与质点A的碰撞压力是各向同性的，互相抵消后净合力为零。这时由于没有竞争者，质点A也从真空中捕获到了最多的ν0，从而具有最大的物理质量m。当另一个质量为M质点B出现在质点A附近，B中的核子对虚中微子的散射作用，穿过B射向A的ν0流将有一小部分被阻挡而不能抵达A，导致A接收到的来自B方向的单位立体角的ν0数量比B出现前减少了△n 。△n产生两个结果：①来自B方向的对A的ν0流压力小于来自其他方向的，A受到一个指向B的净ν0流压力，引起A的动量变化△P P =△n p0 ；②A的物理质量m比B出现前减小了△m =△nε0 /c2，当A的速度为v ，引起A的动量变化△P C =△nε0 v /c 2。容易证明，△n与两质点A和B之间的距离r的平方成反比，与质点B和A中各自的核子的数量成正比。从而与构成质点的材料成分无关，直接与质量M和m成正比。将△n引起的动量变化率写成力的形式称为弱作用的类Casimir力：
f QFT = f P QFT + f C QFT , f P QFT = – (Є m M / r 2 ) r / r, f C QFT = –（Є m M / r 2 ) v / c (1)
，式(1)中的 Є 称为弱作用的真空极化压力常数，它取决于ν0的能量 ε0、数密度 ρ、对核子的作用截面 σ 等参数。根据Glashow-Weinberg-Salam的弱电统一理论，从Feynman传播量之比得到弱作用真空极化的辐射更正比电磁作用的小30个数量级。再由电磁作用库仑力的真空极化更正值对库仑力之比为10– 3，得出弱作用的真空极化辐射更正值与弱力之比为10– 33，与强力之比为10– 38。从而得到弱作用的真空极化压力常数Є的理论值与引力常数G的实验观测值有相同的大小数量级。考虑到牛顿力学和广义相对论中的引力常数G都没有理论值，且都是直接取实验值。类Casimir力f QFT的常数Є也直接取实验值，则 Є ≡ G。式(1)中的Є用G取代后称为新引力定律。
引力起源于类Casimir压力的机制，也是引力的非线性特性的产生机制。当第三个质点C出现在质点A和B附近，质点A和B的质量m和M又会进一步减小，导致A和B之间的力会因C的出现而减小。从而力的线性迭加原理不成立，引力具有非线性的特性。
根据量子理论的时间-空间表象与能量-动量表象之间的共轭对易关系，将式(1)应用到光子，通过钟的校准手续，可推导出Schwarzschild度规。类Casimir压力式(1)中引力质量与惯性质量不只是等效，而且是同一的。式(1)联合广义相对性原理可推导出爱因斯坦方程：
R μ ν – (1/2) g μ ν R = – 8 π G T μ ν / c 2 (2)
。无需等效原理的假设，GR可从QFT推导出，成为QFT的唯象表示。反过来，从GR却推导不出QFT，正如从热力学推导不出统计物理一样。但是,从式(2)能推导出式(1)，证明如下：
1990年H.Bondi[1]从爱因斯坦方程式(2)推导出一个结论：“无论怎样的局部变化(如形变)，孤立物体的质量是守恒的。在感应的转移中，两物体之间的能量的运动能够容易地被它们的质量变化描绘出来。”此结论来自引力源所产生的引力场g μ ν 对源T μ ν 的反作用。由Bondi的结论和力的定义可得：
f GR = ∂ (m v ) / ∂ t = m (∂ v / ∂ t ) + v (∂ m / ∂ t) = f P GR + f C GR (3)
当质量是不变的，(∂m/∂t) = 0，意味着质量可以产生引力场但引力场不能使质量发生变化。也就是说，质量是一个不变的参量，第四维动量i m c将完全与三维动量P无关。或者说，能量与动量将不再组成四维矢量和张量。从而引力方程不再是非线性的而是线性的，爱因斯坦方程就退化为牛顿三定律加引力定律。所以有：
f P GR = m(∂ v / ∂ t ) = – (G m M / r 2 ) r / r = m a (3a)
由狭义相对论公式：E = E K + m 0 c 2，P 2 – (E /c) 2 =0，∂ E / ∂ t = c ∂P / ∂ t可得：
c2 ∂ m / ∂ t = ∂E / ∂ t = c ∂ P/ ∂ t = c f P GR = – c G m M / r 2，或
f C GR = v (∂ m / ∂ t )= – (G m M / r 2 ) v /c (3b)
我们又从GR推导出了新引力定律。新引力定律与GR可以相互导出，两者就完全等效。f PGR对应于三维动量P的变化率，f C GR对应于第四维动量i m c的变化率。广义相对论不但可用四维度规形式表述，还可直接用质量的变化来反映（或取代）第四维动量的变化。使广义相对论表述得更简单，物理意义更明确，形式上也更接近于牛顿力学。
由于最近的两个进展：①单向光速的测量方法已经解决，真空中单向光速的各向同性和数值恒定是直接的测量结果而不再是假设[2]；②罗仑兹变换的‘尺缩’和‘钟慢’因子可用多普勒效应在两个相反方向测量结果的均方根平均值求出[3]。相对论可以直接地从牛顿力学推导出来[4]。
从QFT可推导出新引力定律，反之则不行。比较式(1)与式(3)(3a)(3b)可知，由 Є ≡ G，f QFT = f GR，f P QFT =f P GR，f C QFT =f C GR。
当质点B出现在涨落真空中吸收ν0流直到饱和(ν0进出B达动平衡)就形成了一个指向质点B的净ν0流，引力势U =- G M / r正是净 ν0流的分布。r 定义为从质点B指向外，令无穷远处U = 0。孤立质点B的净 ν0流压力各向同性，互相抵消后净力为零，B在真空中就完全自由地运动，但U不为零。引力势U有着比引力f 更本质的意义，因为U最直接地破坏真空 ν0的均匀各向同性分布，并具有净 ν0流的分布密度的含义。以后我们不再需要上标QFT和GR的区分，QFT和GR合一的新引力定律为：
f = f P + f C, f P = – m ( ∂ U / ∂ r) r / r, f C = – m ( ∂ U / ∂ r) v / c (4)
引力作用不具有电磁作用、弱作用和强作用三者的独立作用地位，它只是弱作用的类Casimir力，有如范德瓦尔力一样的附属力。引力既然是弱作用的类Casimir附属力，事实上它就己经统一到了强、弱、电磁三种相互作用的U(1)*SU(2)*SU(3)标准模型中了。从QFT和GR导出的新引力定律式(1)的详细推导及其理论意义见专著[4]。
2、新版本广义相对论
因为新引力定律与爱因斯坦方程可相互推导出，物理上就完全等效。从实用的角度来看，QFT导出的新引力定律式(1)的价值在于：从此GR可严格求解了。新引力定律可称为新版本的GR。
旧版本GR是张量形式的式(2)，它不能严格求解，只能用近似方法求解。常用的近似方法有弱场线性近似法、参数化后牛顿（PPN）近似法和特殊条件下求特解法等。这些方法毫无例外地都加入了某些与实际状态不符的假设，使得求得的解难与实验结果相符。例如弱场线性近似法，零级近似是忽略方程(2)的非线性，g μ ν 用闵可夫斯基度规 η μ ν 取代；一级近似是在 η μ ν 上加一个小的扰动量h μ ν，即g μ ν = η μ ν + h μ ν 。这种方法的合法性受到质疑，因为 η μ ν 是由数字0、1、-1组成的刚性度规，它不受周围物质的动量-能量的影响，从而 h μ ν 是无法与 η μ ν 相加的。该法得出的四极辐射的引力波几十年来从未被观测到。再如J.D.Anderson等人[5]用PPN近似法的导航模型,算出的先峰10/11号飞船的轨道速度与实验观测的多普勒数据不符，得出存在非模型的反常加速度的结论。
新版本GR是矢量形式的式(3),也是QFT和GR合一的新引力定律式(4)。其零级近似的求解法是忽略正比于小量 β =v / c的f C ，即 f = f P ，返回到牛顿引力定律的形式。天体在有心力中的运动，其角动量守恒，运动轨道遵从开普勒三个定律。对于开普勒椭圆轨道，有单位时间掠过面积相等的开普勒第二定律 r×v = L（常数）。
式(4)的一级近似是：在零级近似开普勒轨道运动的基础上加上质量变化力f C的修正。f C来自质量变化並产生质量变化,具有耗散力的形式。f C使动量、能量和角动量守恒定律将不再成立。圆轨道中f C垂直于f P，容易计算m绕M圆周运动一个周期T的能量损失率η = Δ E / E。由∮f P • d s = 0,有∮f •d s =∮f C • d s ，可得：
η =∮f C • d s / m c 2 = – 4 π 2 G M / c 3 T (5)
同样可算出天体在自转运动中f C所致的能量损失率。式(5)表明引力辐射是典型的偶极辐射，引力波是偶极辐射波。1969年J.Weber [6] 用捧状天线的观测中发现了引力波，因不符合流行的四极辐射理论而未受重视。2002年E.Coccia[7] 等人也用Weber棒状天线观测到了来自银河系中心的引力波，用四极辐射理论无法解释。式(5)的偶极辐射引力波得到了Weber和Coccia的观测结果的支持。由式(4)算出的先峰10/11号飞船的轨道运动速度，与飞船的多普勒测速结果完全相符，得出了先峰号飞船不存在反常加速度的结论[8]。
是近似算法的不合理导致了四极辐射与先峰号飞船反常加速度等错误的出现，並不是广义相对论方程式(2)本身有错。例如PPN近似法对牛顿力学的更正是正比于 β 2，对于速度约为10 km/s的天体和飞船来说，β 2约为10– 9。而飞船的相对观测精度仅为10– 8，当只取PPN近似中的 β 2、β 4、β 6等有限级数项，则PPN更正与直接用牛顿力学的结果完全一样。因此，J.D.Anderson等人名义上是从GR得出了先峰号反常加速度，实际上是从牛顿力学得出的。除非他们计算时用PPN无穷级数的全部，而这又是不可能的事。弱场线性近似法的要害在于线性化过程中将式(2)中正比于 β 的主要项忽略掉了，即使 h μ ν 能与 η μ ν 相加，结果也是错的。式(2)不显含非线性的一次项，从而容易在计算中出错。这个易出错的固有缺陷来源于二次式的狭义相对论基本方程，即来自于一次式多普勒效应的数学处理───取两个相反方向测量结果的均方根平均值。GR回到一次式方程（4）就不容易出错了。
3、圆周轨道运动的不稳定性和椭圆轨道运动的自稳定性
通常认为天体的圆周运动轨道中，向心引力f R与离心力m v T 2 / r是处于完全的平衡相抵消状态。但事实上，当f R = m v T 2 / r，天体受的法向合力为零必将沿切线飞出去。f R必需稍大于m v T 2 / r，天体才有净向心加速度和净向心速度v R。法向的v R使运动轨道不断地拐弯，半周内v R与v T不断迭加的结果使切向速度v T的方向反转。即 ∫0π v R d φ = 2 v T ，1o中v R的值约为v T 的1/90。
圆周运动中f C垂直于f P，有f P • d s =0，f P不做功。f C做负功使质量减小，导致天体的动量、能量和角动量减少。圆周运动轨道是不稳定的平衡：当干扰使切向速度v T 瞬时增大，轨道将扩张使r增大，r的增大导致向心力f R减小使轨道进一步扩张，闭合轨道就会瓦解；当干扰使v T 瞬时减小，轨道将收缩使r减小，r的减小导致向心力f R增大，使轨道进一步收缩而进入椭圆轨道。
椭圆轨道的行星或卫星若受到扰动瞬时速度增大，离心力就大于引力而扩张轨道。r的增大使引力减小将进一步增大r。由椭圆的单位时间掠过面积相等，随着r的增大瞬时速度会减小，离心力也跟着减小，从而自动地阻止r的进一步增大，维持椭圆轨道的稳定。当干扰使瞬时速度减小,由掠过面积不变会自动地阻止r进一步减小,仍维持椭圆轨道的稳定。
f C产生的质量变化是引力质量和惯性质量的同步变化，从而对天体轨道的影响甚微。由式(5)地球在轨道运动中能量损失率为 – 6.15×10–12/年，自转运动损失率为 – 6.38×10–15/日。这是引力质量与惯性质量的同步减小，地球的轨道不会因质量变小而改变。太阳辐射的能量损失率约为 – 3.3×10–14/年，远小于地球的损失率。因此太阳系中行星和飞船的运动轨道几乎与其质量变化无关。R.W.Hellings [9]等从海盗号飞船的雷达测距结果证实了这一结论。但是随着地球质量的减小，对月球的引力会减弱，导致月球愈来愈远离地球。T.C.Van Flandem [10]和P.M.Muller[11]分别观测到的结果定量地证实了此结论，但他们都认为是引力常数在减小。
一级近似下，虽然 f C 使行星运动的动量、能量和角动量守恒定律不再成立，但f C对轨道影响甚微，开普勒三定律仍然基本上成立，椭圆轨道的自动稳定性仍然基本上保持。
4、轨道收缩扩张机制的进动
f P与r / r反方向，f C 与v /c反方向，r与v之间的夹角 θ 也正是f P与f C这间的夹角。f C产生的质量变化使角动量不守恒，但r×v = r v sin θ k = L仍是守恒量，L/2是单位时间掠过的面积。f C在垂直于f P方向上的投影为f P β sin θ，再乘r的阻尼力矩与角速度反方向，但它只引起质量减小的角动量减小，却不减小角速度。
以近日点矢径r 0和速度v 0为起点，r 转过的角度 φ 从0至 π(从近日点至远日点 θ ≤π / 2)有：f C •f P =f C f P cos θ≥0，合成的向心力f R =f C +f P =f P (1+β cos θ) 大于f P使轨道收缩；φ 从π 至 2π (从远日点至近日点 θ≥π / 2),f C • f P =f C f P cos θ≤0，合成的向心力f P (1+β cos θ)小于f P 使轨道扩张。椭圆轨道从近日点至远日点的半圈收缩，从远日点返回近日点的半圈扩张。这种轨道收缩扩张机制的形变，导致轨道的长轴会沿天体运动前进方向旋转，每转一圈近日点都会向前进动一点。圆运动中f C •f P =0，不存在轨道收缩扩张机制的形变，也就没有轨道形变的进动。
爱因斯坦从度规效应求得的进动的是每2π 的进动量，没有讨论轨道一圈以内的运动细节。轨道半圈收缩半圈扩张机制的进动则描述得更加明确具体，能用来讨论高偏心率的海尔-波普等彗星的轨道周期变化，特别是能解释奔向近日点半圈与离开近日点半圈之间的半周期变化。
f C对轨道影响虽然甚微，但并不是完全没有影响。质点A在净 ν0流的密度分布的引力势U中运动时，∂ U / ∂ r不但对质点A产生速度变化的向心力f P，还对A产生质量变化的切向力f C。f C形式上类似于阻尼力，可称为真空阻尼力，但决不是通常意义下质量不变的牛顿阻尼力。f C消耗的是内能，而不是消耗动能。若是f C为质量不变的牛顿阻尼力，消耗的是行星的动能，则不超过十万年地球等行星就会因损失动能而落入到太阳中。
令f CP是f C在f P上的投影：φ 从0至 π 时f CP为正增大f P，积分结果的轨道收缩正比于1 – β ；φ 从 π 至2π 时f CP为负减小f P，积分结果的轨道扩张正比于1 + β。φ 从0至2π 整圈积分结果的轨道形变正比于(1– β)(1+ β)=1– β 2，为二级小量的修正。椭圆轨道上运动的质点在椭圆的长轴(或短轴)方向上的投影为往返的振动。往返振动的一级多普勒效应(1– β)和(1+β)，相互抵消后成为的二级效应1-β 2正是‘尺缩因子’γ =(1– β 2 )1/2的平方。所以，对于椭圆轨道形变的近日点进动而言，净 ν0 流分布的量子引力势U中的真空阻尼力f C的作用，相当于将牛顿引力势V更正为(1– β 2 )V 或V γ / γ –1。(1–β 2 )V 的物理意义是：信号传递速度从无穷大转換成真实的有限值c时，所伴随的推迟势(1– β)和超前势(1+ β)的更正，或U是V在两个相反方向多普勒效应的测量结果。V γ / γ –1的物理意义是：牛顿引力势V中的空间和时间度量单位，同时进行‘尺缩’和‘钟慢’的转换。它体现了：从多普勒效应 (1– β) 和 (1+ β)，到狭义相对论‘尺缩因子’γ 和‘钟慢或时胀因子’γ –1，再到GR和QFT合一的式(4)之间一脉相承的本质关联。
从量子场论引力势U等效到更正后的牛顿引力势(1– β2 )V之后，就可按质量不变的牛顿力学的解題方法进行计算。
U = –(G M / r)(1– β2 ) = –(G M / r )[1–(v 2/c 2)] (6)
从式(4)和式(6)可得：
m [(d 2 r/d t 2)– r(d φ /d t) 2]=f r = – m(∂U / ∂ r)= – m (G M / r 2)+ 3 m (GMv 2/c 2 r 2) (7)
d [m r 2 (d φ /d t )]/d t =f φ = – m (∂ U / ∂ φ) = 0 (8)
由式(8)有r 2 (d φ /d t) = L= r0 v0，又得到开普勒第二定律L2 = r 2 v 2，式(7)变成：
m [(d 2 r /d t 2) – r (d φ /d t ) 2] = – m (G M / r 2 ) + 3 m (G M L2 / c 2 r 4) (9)
令u =1/ r, p = L 2 /GM，k =3 G M /c 2，从Binet公式 m L2 u 2 [(d 2 u /d φ 2)+ u]= f 1/ u得：
(d 2 u /d φ 2)+ u =(G M / L2 )–3 (G M / c 2 ) u 2 =(1 / p) – k u 2 (10)
式(10)分解变数，令u = u 1 + u 2
(d 2 u 1 / d φ 2)+ u 1 = 1 / p的解为：u 1=(1+ e cos φ)/p (11)
p为半正焦弦，p = (1 – e 2 ) a ，a为半长轴 ，e 为偏心率。
(d 2 u 2 /d φ 2)+ u 2 = – k u 2 2 ，用u 1代入u 2 = – k u 12 = – k (1+ e cos φ)2/p 2 其解为：
(d 2 u 2 /d φ 2)+ u 2 = – k u 2 2 = – (k / p 2 )[1+(e 2 /2)+ e φ sin φ –(e 2/6)cos 2φ] (12)
u = u 1 + u 2 =(1/ p)(1 + e cos φ) – (k / p 2 )[1+ (e 2/ 2)+ e φ sin φ – (e 2/6) cos 2φ]
= (1/ p) [1+ e cos φ – (k e / p)φ sin φ]–(k/p 2)[1+(e 2 / 2)]+(k e2/ 6 p 2)cos 2φ
k/p是小量，对水星k/p约为10 -8，有sin (k φ/p)≈k φ /p，cos (k φ/p)≈1，可得：
u = (1/ p){1+ e cos[1+ (k/p)]φ} – (k/p 2 )[1+ (e 2 /2)]+(k e 2 /6 p 2 )cos 2 φ (13)
式(13)中右边第二项只改变半长轴a的长度。右边第三项反映 β 的一级效应抵消之后的变形椭圆中，两个半圈之间矢径的剩余涨落。即，一级v / c效应抵消后，φ 从0至 π 与 φ 从 π 至2 π 之间矢径r的剩余变化。这两项都难以观测。仅右边第一项涉及到近日点进动。相邻两近日点的角度距离为：
△φ = 2π/[1+ (k / p )]≈[1–(k/ p)]2π
近日点的每转一圈 (φ = 2π) 的进动角δ为：
δ = – (k /p)2π = – 6π G M / c 2 (1 – e 2)a = – 24 π 3 a 2 / c 2 (1– e 2 )T 2 (14)
由QFT新引力定律式(4)计算的进动结果与爱因斯坦从GR度规的计算结果数值相同，但相差一个负号。负号並不表示进动方向相反，而是进动方向相同，但进动的意义定义得不同。爱因斯坦认为：椭圆轨道不会形变，相邻两圈近日点之间的角度距离大于2 π ，即进动是每圈多转过角度 δ。QFT认为：椭圆轨道近日点至远日点的半圈会收缩，远日点至近日点半圈会扩张，轨道形变使得近日点与远日点连线会向扩张的半圈平移，导致相邻两圈近日点的角度距离小于2 π。也就是说，轨道形变使 δ 为负，少转过角度 δ 近日点就提前到达。等效于提高了相位速度，相当于在上一圈的一个周期内这一圈会多转过角度 δ 。所以，结论也是行星向着前进方向的进动。历史上没有原子钟做绝对计时标准，进动的实际观测是用恒星坐标系和天文时。φ = 2π，4π，6π……的标准是恒星坐标系中位置和由轨道周期决定的天文时间。当形变使 δ 为负，相速度提高了，在上一圈的一个天文时周期内，这一圈就会比上一圈多转过 δ 角度，体现为近日点向行星前进方向的进动。从原子钟绝对时间来看，轨道形变使得每一圈都比上一圈少转过 δ 角度就到达上一圈的近日点，每转一圈所需的时间逐步变少了，相当于比无形变时的转速更快了。但从天文时看来，就是每一天文周期内多转过角度 δ 的向前进动。所以，进动的计算的结果虽然相差一个负号，但没有矛盾而且都符合向前进动的观测结果，只是对轨道有无形变QFT与GR存在认识上的分歧。
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