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懂银立： 我这几天在忙别的事，没有时间给你写帖子。但基本上都看过你与沈建其进行的辩论，你们进行的辩论涉及“不变性”与“协变性”的物理意义究竟应该如何进行区分。沈建其总说你不懂“不变性”与“协变性”的差别，才有那些“困难”。如果情况确是如此，沈建其就应该先把什么是“不变性”，什么是“协变性”的物理概念解释清楚，并说明为什么要引入“协变性”这样一种研究方式。我非常怀疑他说不清楚这些东西，因此才在具体应用时总是似是而非的说东道西。 对于“不变性”，大家基本上都没有疑问。而对于“协变性”，我们理解那是一种为了达到某种目的引入的纯数学分析方法。“协变”的意思在于引入的纯数学分析应保持同样的数学表达形式。 举例来说：乘法运算可以通过对数变换成加法运算，这就将复杂的乘除计算简化成了加减计算。之后，再通过反对数变换（也即是指数函数变换），将经过对数变换成加法运算的结果再逆变换回原本进行的乘法运算。这显然是非常有实用价值的计算方法，特别是在计算机还没有制造出来之前，这是必不可少的数据处理工具。但这种变换不具有“协变”特征。 再说一个例子，在研究波动方程时，简单的方式是使用正弦或余弦函数来表达波动方程，由于正弦、余弦函数构成的复数与以e为底的指数函数间有一个简单的换算关系，人们采用实部为正弦函数，虚部为余弦函数的复数来表达波动方程。注意只取其中的虚部作波方程使用，当然也可以改为只取其中的实部作波方程使用。之所以使用的是虚部作波方程，完全是人为原因所导致。用惯了，就不想去改变。根据正弦、余弦函数构成的复数与以e为底的指数函数间存在的换算关系，采用复数表达的波动方程就马上变换成以e为底的指数函数。这在进行具体的物理光学分析研究中可以大大简化数学上的运算工作。计算结束后，只要将其还原成复数表达的波动方程，记住约定的虚部是波方程，只将该部分拿出来就OK了。有人不明白这个缘由，想不通波方程为什么是复数的虚部。其实是他们不知道这是数学上的应用技巧。 那么“协变”又是怎么一回事呢？暂时先让沈建其来给大家解释一下吧。 CCXDL 2002年10月14日
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