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关于陀螺问题的最终发言 陀螺是一种最常见且非常有趣的玩具，在枪弹飞行和航天导航方面也有着重要的应用。在它身上蕴藏着很深奥的物理原理，因此一般教科书上都没有关于它的详尽解析，故下边的人也就众说纷纭，产生了许多种理解。笔者在早期也曾经研究过，可总是不得要领；近期在研究之初，本想一蹴而就，可谁知一波三折，竟费了我好多天的时间，结论一再修改；直至今天才算搞定，将所有问题彻底解决。为使读者走出困境，现将我的研究结果介绍如下。 一、关于陀螺最常见的问题是：它为什么转起来不倒？ 这用通俗的语言怎么解释呢？我是这样想的：旋转的陀螺当它下端固定、上端可动时，上端总是要受到一个与移动方向垂直的科氏惯性力作用。陀螺从竖直位置起，只要一倒，它就受到横向力作用。在这个力作用下它最终做起了圆周运动（进动），科氏惯性力变成了向心力，于是它就不再继续倒了。科氏惯性力矩平衡了重力矩。 陀螺的自转矢量方向、上端移动方向和科氏惯性力方向三者符合右手定则：让自转矢量穿入手心，四指指着移动方向，那么拇指即是科氏惯性力方向。这多么象电子在磁场中的情景啊！在水平方向的磁场里，你能指望电子会竖直落下来吗？陀螺的上端就象电子在从下端（固定点）辐射出来的磁场中的情形一样：一走它就转！ 再打个比方：断线的风筝能从高空竖直落下来吗？从高楼扔出去的活鸟能坠落摔死吗？地面的水在重力作用下为什么会水平流动呢？我这样说如果还有人不明白的话，那我可真是变戏法的下了跪--没了法了。 二、基本公式 陀螺的运行终归属于经典力学的内容，研究它是不可能再有什么新发现的。但为了解除一些人的困惑，在此我还是要简单的分析一下，也算是做一次科学普及工作。 陀螺的运行实在没有什么神秘的，无非是一个空间中的刚体动力学问题。它在运行中始终遵从两个规律：角动量定理和功能原理。但实际运行的陀螺都要受到地面摩擦和空气阻力的作用，因此它的机械能是不守恒的。为简化起见，我们只研究机械能守恒的情况。 当机械能守恒时，陀螺的自转动能是始终不变的；只有它的重力势能和进动动能有可能不停地相互转化。其中重力势能减小，进动动能就增大。即当陀螺歪倒时它的进动角速度ω是要增加的。ω由下式决定： mgh cosα+ 0.5 (J - 0.5 J。)ωω= k mgh （1） 式中mgh为陀螺在最高位置的重力势能，α为自转轴与铅垂线的夹角 J。为自转惯量，J 为进动惯量，k mgh为总的机械能 陀螺在运行过程中共受到三个力矩作用：一是重力矩，由陀螺的重力、重心高度和自转轴的倾角共同决定；二是科氏惯性力矩，由自转角动量和进动角速度共同决定；三是离心力矩，主要由进动动能和自转轴的倾角决定。其平衡式如下： mgh sinα= J。ω。ω - Jωωctgα （2） 式中mgh为陀螺的最大重力矩，ω。为自转角速度 由上述两个公式即决定了陀螺的各个稳定状态。 三、陀螺稳定进动的条件 陀螺能否在圆锥面上稳定进动，取决于它的自转轴倾角α在发生变化时有无回复力矩产生。只有在回复力矩存在的情况下，它才可能稳定进动；也只是有可能，未必真的稳定进动，因为回复力矩的存在，所以它还可能在锥面内外振荡--章动。其章动角频率等于回复力矩对α的导数除以进动惯量后再开方。 当陀螺稳定竖直运转时，α= 0 ω= 0 由（1）式可知，必须 k = 1 将（1）式中的ω代入（2）式，我们可以消去零因子，推出陀螺稳定竖直运转所必需的角速度为 ω。= [sqrt (mgh) / J。][sqrt( J - 0.5 J。) + J /sqrt ( J - 0.5 J。) ] 即陀螺只有在这个速度及以上，他才可能稳定竖直运转；但当它受到扰动时，那么它将失稳改为在最高处的振荡，因为过剩的进动动能无处消耗。 陀螺自转还有一个临界角速度，若小于这个速度，那么自转轴就不可能在水平面以上稳定进动，只有倾倒。此时α= 90° 仍然是k = 1 ，将（1）式中的ω代入（2）式，可得 ω。＇= sqrt [0.5 mgh ( J - 0.5 J。) ] / J。 即陀螺只有在这两个速度之间才有可能在水平面以上稳定进动。例如均匀圆盘陀螺，当重心高度h等于其半径r且都为6厘米时，陀螺自转只有在9.153和2.8765转/秒之间才能实现水平面以上的稳定进动。此陀螺我把它称为"标准陀螺"。 当陀螺自转角速度小于ω。＇时，如无阻挡，那么它就可能低头进动，且进动角速度继续增大。但此时科氏力的作用变成了了离心，而重力的作用则成了向心。所以即使陀螺的自转速度成了零，也仍然能够进动（摆动）。 要想使陀螺继续下垂，那么陀螺必须反向自转。且自转速度越快，自转轴就越靠近铅垂线；但只能无限趋近，不可能与它重合。 关于陀螺章动的角频率我们也可以算出，只是公式非常复杂，故此略。对于标准陀螺来说，当 ω。= 15转/秒时，α= 0 ，章动角频率为13.704 1/秒 当 ω。= 9.153转/秒时，α= 0 ，章动频率为0 而当 ω。= 5 转/秒时， α= 74°，章动角频率则为16.08 1//秒 当 ω。= 2.8765 转/秒时， α= 90°，章动角频率则为8.08 1//秒 同理，有可能章动未必就真有章动，也可能正在稳态进动。 四、其它说明 陀螺的角动量分自转角动量和进动角动量，两者都是不守恒的，因为其方向在不停地变化。变化的原因当然是由于重力矩的作用。但重力矩也不是恒量，因为重力矩的方向在不停的变化。由进动角动量变化所产生的惯性力矩是离心力矩，而由自转角动量所产生的惯性力矩则是向心力矩。当陀螺自转和进动时，其实地球也在反向自转和进动。因为重力属于陀螺和地球之间的内力，所以只有陀螺的角动量和地球的角动量之和才是守恒的。 实际运行的陀螺因为受到地面摩擦和空气阻力的作用，所以它的自转速度将逐渐减小，动能并不守恒；但当陀螺渐渐倾倒时，其重力势能仍能转化为进动动能，这两者之和仍是守恒的。 当陀螺的自转轴一端固定、另一端从水平位置开始释放时，那么它将低头进动，将重力势能仍能转化为进动动能。此时k = 0 ，α> 90 ，ω= sqrt[-2mgh cosα/ (J - 0.5 J。)] 还有人提出 "陀螺在稳定进动过程中重心逐渐降低"的问题，这属于"变陀螺"的情况，解析非常复杂。在这个过程中，能量不再守恒。如果进动角动量大小不变，那么由（2）式我们可以求出新的稳态进动的章角。例如标准陀螺，当重心高度下降为0.866h时，其进动角速度将由15.38变为19.23弧度/秒，进动章角由74°变为64.3°. 至于"将圆盘分为二片然后再沿自转轴对称分离"的问题仍然属于"变陀螺"问题。但在这种情况下陀螺的重心不变，只是它的进动惯量变大了，进动角速度变小了。此时虽然向心力矩变小了，但离心力矩变得更小，故章角将变小。 另外还有陀螺"在失重后如何运转"的问题，这有三种情况：（1）如果陀螺所在地点的重力加速度是慢慢减小至零的，那么陀螺的章角也将慢慢减至最小且继续做稳态进动。在这个过程中进动角速度也有所减小。其最小的章角是tgα= Jω/ J。ω。 （2）如果陀螺所在地点的重力加速度突然变为零，那么进动角速度将保持不变，章角一下变为tgα= Jω/ J。ω。 ，陀螺将切变到新锥面上继续稳定进动，只是圆锥的对称轴不再竖直了。 （3）如果正在运行的陀螺突然悬空，完全失重，固定点一下子移到质心上，那么其进动惯量将减小为J＇，进动角速度增大为ω＇，章角突变为tgα= J＇ω＇/ J。ω。. 陀螺切变到新锥面上继续稳定进动，圆锥对称轴也不再竖直。 还有其它种种情况，那是举不胜举，此处不再讨论。 总之，陀螺问题是一个立体问题，极容易把人转晕。衷心奉劝物理基础不怎么好的人，千万不要陷入陷入这个无边的苦海中，浪费自己的生命。为写这篇文章，我又花了两天工夫。倘若有人听劝，也算没有枉费我的一片苦心！ |
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（2）如果陀螺所在地点的重力加速度突然变为零，那么进动角速度将保持不变，章角一下变为tgα= Jω/ J。ω。 ，陀螺将切变到新锥面上继续稳定进动，只是圆锥的对称轴不再竖直了。 （3）如果正在运行的陀螺突然悬空，完全失重，固定点一下子移到质心上，那么其进动惯量将减小为J＇，进动角速度增大为ω＇，章角突变为tgα= J＇ω＇/ J。ω。. 陀螺切变到新锥面上继续稳定进动，圆锥对称轴也不再竖直
※※※※※※ 知之为知之，不知为不知，是为人的基本素质，意思是不知道别瞎扯 |
