Inconsistency and Problems in Einstein's General Relativity

广义相对论中的问题与爱因斯坦的自相矛盾

Einstein's general relativity is generally regarded as a top scientific achievement, although it is very difficult to understand. It is well known that observations accurately confirm the three predictions of Einstein [1, 2], namely: 1) the gravitational redshifts, 2) the perihelion of Mercury, and 3) the deflection of light. However, the difficulties in its understanding actually came, at least in part, due to its being not a self-consistent theory [3].

目前，虽然是很难理解爱因斯坦的广义相对论，大家都认为这是科学的顶峰。众所周知，观察准确地肯定爱氏的三大预言，即：1) 引力红移, 2) 水星的进动, 和 3) 光线的偏移。但是理解上的困难，实际上最少部份地，是由于它不是一个自恰的理论所致。

Einstein's accurate predictions created a faith, and few of his peers took a critical look of his theory. Although problems were raised by Whitehead [3] and Eddington [4] on Einstein's theory of measurements, they are soon forgotten since nobody was able to solve them. Currently, instead of trying to improve the theory, many theorists tried very hard to make physical sense out of just any solutions of Einstein's equation [5, 6, 7]. As a result, some of their works sound more like science frictions than a scientific theory [8]. Unsolved problems were still there after more than 90 years. In other words, general relativity actually has never been well understood.

爱氐的准确预言，产生了一种宗教般的信仰。因此，只有少数同行对他的理论作严格地检查。虽然Whitehead 和 Eddington对爱氏的量度理论都提出了疑问，由于无人能解决疑难，便很快地被忘却了。目前，很多理论家不再企图改进，而只是努力地把任何爱氏方程的解赋予物理意义。这样，一些结果便更像科幻而不像通常的科学理论了。经过九十年后，未解决的问题仍然存在。也就是说，实际上广义相对论从未被足够地了解过。

Moreover, from the confirmations of the predictions, there are problems in verifying Einstein's theory as follows:

再且，由预言的确认来检验爱氏的理论，也有问题如下：

• 1) The gravitational redshifts were based on Einstein's 1911 preliminary assumption equivalence between acceleration and Newtonian gravity. However, such an assumption is inconsistent with Einstein's equivalence principle proposed later in 1916 [1, 2]. Fock [9] found that it is impossible to have a metric that is consistent with Newtonian uniform gravity. This shows that gravitational red shifts can be derived from an invalid theory although the gravitational redshifts can be derived from Einstein's equivalence principle [1, 2]. 最初引力红移的推导是基于爱氏的1911年初步假设，加速度与均匀的牛顿引力等价。但是，这一假定是与爱氏1916年提出的等效原理有矛盾。Fock发现不可能有一个与牛顿的均匀引力一致的度规。这表明引力红移可由错误的理论推出，虽然这些红移可由等效原理推导。
• 2) Although Einstein did "derive" the perihelion of Mercury, Gullstrand [10] pointed out in his report to the Nobel Committee that Einstein's field equation may not be able to produce a solution for a two-body problem. Thus, Einstein's derivation may not be valid. Because of this, Einstein was awarded a prize for his work in the photo-electric effects. Moreover, it has been proven that Einstein's field equation indeed cannot produce a physical solution for a two-body problem [11, 12]. Recently, ‘t Hooft [7] tried to rebuttal this conclusion with a "counter" example of his. However, this only exposed that he does not understand Einstein's equivalence principle as well as the principle of causality [7, 13]. So, the perihelion cannot be considered as a verification of Einstein's theory although it does suggest that his theory would be in the right direction. 虽然爱氏"推导"了水星近日点的移动，Gullstrand在给诺贝尔委员会的报告中指出，爱氏的场方程可能没有二体问题的解。因此，他的推导不能认为是有效。故爱因斯坦以他在光电效应的工作而获诺奬。而且，后来爱因斯坦方程己被证明，实在是不能有二体问题的物理解。近来't Hooft试图以他的 "反例" 抗辩。但是这只暴露了他物理上的弱点，既不明白爱氏的等效原理也不明白因果原理。所以，水星近日点的移动还不能看作是证实爱氏的理论，虽然它建议他的理论很可能在正确的轨道上。
• 3) From both the Schwarzschild and the harmonic solution, Einstein obtained the same first order deflection of light in terms of the shortest distance r₀ from the sun center [1, 2]. Then, in support of his covariance principle, Einstein [2] remarked, "It should be noted that this result, also, of the theory is not influenced by our arbitrary choice of a system of coordinates." Obviously, this gauge invariance should have been supported by all physical quantities in all orders of calculations. Recently, calculation of the deflection angle to the second order also shows gauge invariance in terms of the impact parameter "b" [14, 15]. However, careful analysis shows that this calculation actually implies that the theory is intrinsically not gauge invariant since, for each gauge, the shortest distance r₀ is different from that for another gauge [16]. To defend this inconsistency, the editorial of the Royal Society claimed [17] only b is a true measurable physical quantity, but r₀ is just an arbitrary label, a hypothetical construct. However, this is inconsistent with Einstein's result on the first order approximation [1, 2]. Thus, the editorial of the Royal Society has not reached the maturity in logic. 由史瓦西解及谐和解，爱氏得到了同一的，基于最近太阳中心距离r₀的，光线偏移的第一阶近似。于是作为支持他的协度变原理，爱氏评论道：请注意这结果，而且这理论是不受任意选择坐标系统所影响的。显然地，这规范不变性应该被所有物理量的各阶近似所支持。近来，计算表明以冲击参数b为基础的光线偏移角度，直到第二阶近似，是规范不变的。但是仔细的分析表明这计算实际上暗示这理论是根本上非规范不变。因为对每一个度规，光线最近太阳中心的距离r₀都是不同。为了对这矛盾辩护，英国皇家学会的编辑部宣称，只有b才是真正的可测物理量，而r₀不过是一任意的标签或一个假定的构做而己。但是，这就和爱因斯坦得到的一阶近似产生矛盾。因此，这皇家学会的编辑部还未逹到逻辑上的成熟。

Because Einstein's covariance principle is invalid, general relativity of Einstein was not a complete theory. Fortunately, the Maxwell-Newton approximation has been proven as the valid first order approximation for gravity due to massive sources [18] such that the binary pulsar radiation experiments can be explained satisfactorily [11, 12]. According to this approximation, r₀ is at least accurate to the first order. Moreover, validity of this approximation implies also that the coupling constants have different signs [11] and thus the physical assumption of unique sign in singularity theorems of Penrose and Hawking is invalid. 因为爱因斯坦的协变原理不成立，广义相对论仍未是完整的理论。幸而，对有质量的源，马克士威-牛顿近似法已被证明是有效的一阶近似，而这样双星辐射实验才可满足地解释。据此，r₀ 的准确度最少达到一阶近似。此外，这近似法还暗示偶合常数有不同的符号，而这样Penrose 和 Hawking的奇点定理中偶合常数同号的物理假定便不成立了。

This logical immaturity also led to supporting [19] Bondi, Pirani & Robin [5] who rejected Einstein's requirement on weak gravity since it is inconsistent with Einstein's covariance principle. Nevertheless, prominent theorists such as Straumann [20], Wald [21], and Will [22], who believe in both Einstein's requirement on weak gravity and his covariance principle, failed responding to this inconsistence [5] discovered since 1959. Moreover, such logic immaturity is not just isolated incidents of this Royal Society as shown in Hawking's book [23, 24]. 这逻辑上的不成熟也导致支持 Bondi, Pirani, 和 Robin癈弃爱因斯坦的弱场要求，因为它与协变原理有矛盾。可是，那些同时相信协变原理和爱氏弱场要求的主要理论家如 Straumann, Wald, 和 Will等却对这自1959年发现的矛盾毫无反应。此外，可以从Hawking的书上看到，逻辑上的不成熟并不是这皇家学会孤立的意外。

Moreover, although the International Society on General Relativity and Gravitation was formed, founders of the society such as P. G. Bergmann [25], H. Bondi [5], V. A. Fock [8], J. L. Synge [26], J. A. Wheeler [27], and etc. have never reached a general consensus on general relativity. Under the auspices of this society, "General Relativity and Gravitation" is published. Surprisingly, members of the Editorial Board actually do not sufficiently understand physical principles, such as Einstein's equivalence principle and the principle of causality [22-30]. For instance, except in Einstein's original works, there are no textbooks or reference books [28] (including the British Encyclopedia [2006]) that explained Einstein's equivalence principle correctly although this principle is stated squarely in page 57 of Einstein's book, "The Meaning of Relativity'" [2]. They also failed to understand that Einstein has changed his position on E = mc² to as only conditionally valid [31], and also the experiments of the binary pulsars [11, 12]. Some theorists even incorrectly criticized Einstein without getting the facts straight first [8, 26]. 此外，虽然广义相对论与引力国际学会己成立，该会的始创人如 Bergmann, Bondi, Fock, Synge, 和Wheeler 等从未对广义相对论达成共识。在该会的领导下办了期刊"General Relativity and Gravitation"。令人惊讶的是，编辑委员们竟然不大明白爱氏的等效原理和因果原理。又例如，除了爱因斯坦的原著外,没有一本教课书或参考书(包括大英百科全书)能正确地解释爱氏的等效原理，虽然这原理是明确地叙述在爱氏写的"相对论的意义"一书的第57页上。他们不明白爱氏已改变了他关于E = mc²看法成为只是有条件地成立，也不明白双星辐射实验。有些竟然在事实未搞清楚前错误地评论爱因斯坦。

Einstein's difficulties are due to incorrectly adapt the mathematical notion of local distance in Riemannian geometry as if valid in physics [32, 33]. Moreover, Einstein's theory of measurement is actually based on invalid applications of special relativity [1]. Whitehead [3, p.83], strongly objected, 爱因斯坦的困难是由于错误地采取了黎曼几何中的 "当地距离" 数学概念作为在物理上成立。此外，爱因斯坦的量度理论实际上，是以错误地应用特殊相对论为基础。Whitehead 抗议道：

"By identifying the potential mass impetus of a kinematic element with a spatio-temporal measurement Einstein, in my opinion, leaves the whole antecedent theory of measurement in confusion, when it is confronted with the actual conditions of our perceptual knowledge. The potential impetus shares in the contingency of appearances. It therefore follows that measurement on his theory lacks systematic uniformity and requires a knowledge of the actual contingent physical field before it is possible." 按照把这运动物体可能的质量冲力作为时空的测量，以我的看法，当面对真实的认知知识条件，爱因斯坦譲整个先前的测量理论混乱。这势位的推动力分享着出现的意外事件。因此，测量在他的理论中缺乏系统的均匀性，而且在可能性之前需要实际场的知识。

Whitehead also rejected Einstein's equivalence principle. Moreover, Einstein's theory of measurement is inconsistent with the observed light bending [34, 35], is the root for ambiguity of coordinates, and ended up the need of his covariance principle as an interim measure. Thus, inconsistency in general relativity seems to be inevitable. Whitehead 也拒绝了爱氏的等效原理。此外，爱氏的测量理论是与观察到的光偏移不一致，是坐标不明确的根源，因而需要协变原理来补救。这样，在广义相对论中矛盾好像是不可避免。

      Nevertheless, Einstein's theory of measurement may not be an integral part of general relativity [32] since such a theory was not used for his predictions [1, 2]. In fact, it is found that such a theory is actually based on invalid applications of special relativity [1]. Moreover, based on Einstein's equivalence principle, it is found that the local distance is determined by the Euclidean-like structure that is compatible with physical measurements [33]. Thus, Einstein's errors in general relativity are rectifiable. However, owing to a biased view, the editorial of the Royal Society stands on the wrong side [7, 16] although they are the first finding out inconsistency [5, 19]. 然而，爱氏的测量理论可能并不是广义相对论中不可分割的部份，因为这理论并没有在他的预言中用上。事实上，现己查明，这理论是基于不正确地应用特殊相对论。此外，由爱氏的等效原理，当地距离是由与测量兼容的，类欧几里得结构来决定。所以，爱因斯坦的错误是可修正的。可是由于偏见，皇家学会编辑部站却在错误的一方，虽他们首先发现理论上的矛盾。

Fundamental concepts in a great theory are often difficult to grasp [36]. To mention a few, this happened to Newton, Maxwell, Planck, Schőrdinger, and C. N. Yang [37]. Einstein is simply not an exception. Unlike Newton, Einstein did not have adequate background in mathematics, and this affects the logical structure of his theory. He believed the solutions with different gauges as equally valid [2], but did not see that his covariance principle is inconsistent with his notion of weak gravity [5]. Zhou Pei-Yuan [38, 39] of Peking University was the first who correctly rejected Einstein's covariance principle but accepted Einstein's equivalence principle. Nevertheless, Einstein is still a great theorist since the implications of general relativity such as the need for unification have been discovered and verified [40, 41]. 伟大的理论中，基本概念往往难以掌握。举几个例子，这曾发生在Newton, Maxwell, Planck, Schőrdinger, 和杨振宁等身上。爱因斯坦不过是并不例外而己。爱氏没有牛顿的良好数学基础，这影响到爱氏理论的逻辑结构。他相信不同度规的解是同样地成立，但他看不出他的协变原理和他的弱场要求是有矛盾的。北京大学的周培源是首先正确地扬弃协变原理，但接受等效原理。然而，爱因斯坦毕竟仍是一个伟大的理论家，因为广义相对论的含义，如统一场的必要性已被发现和证实。

However, theoretical developments [7, 41] and NASA's discovery of the Pioneer anomaly imply that Einstein's theory is clear inadequate [42, 43]. Strictly speaking, Einstein's field equation has not been confirmed since the Maxwell-Newton Approximation is a direct result of Einstein's equivalence principle [18]. In fact, it has been shown that, to deal with the dynamic cases, Einstein's equation must be modified [11, 12]. 可是，理论上的发展和太空署所发现的先锋探测仪的轨道异常，意味着爱因斯坦的理论显然地不足。严格地说，爱因斯坦的场方程还未被证实过，因为马-牛近似法是可以从爱氏的等效原理直接推导出耒的。事实上，为了处理动态的情形，己证明爱因斯坦的场方程必需修正。

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• 43. C. Y. Lo, The Mass-Charge Repulsive Force and Space-Probes Pioneer Anomaly, in preparation.

Sing Tao Daily, Editor

Dear Mr. Yen:

I have read carefully your article of 2005 on interviewing me regarding the work of Zhou and general relativity. You are correct that some of the contents in your article need updated since three years have passed.

To this end, I have written a short article, Inconsistency and Problems in Einstein's General Relativity (广义相对论中的问题与爱因斯坦的自相矛盾), on this subject. My goal is to get the readers being aware of that general relativity is far from perfect as some media advocated. I hope this article would be useful to you.

Sincerely yours,

C. Y. Lo

p.s. I attached also a Chinese translation of my paper of 2003.

空间收缩，局域光速度，和相对论中的规范问题

• 鲁重贤(CYLo)

Applied and Pure Research Institute

17 Newcastle Drive, Nashua, NH 03060, USA

译自：The Chinese Journal of Physics, Vol. 41, No. 4, 233-243目前大家相信，在相对论中，甚至在空间参考框架已被选择了以后，规范条件的选择仍然是任意的。例如，众所周知，史瓦西 (Schwarzschild) 解和各向同性解被认为在物理上是等效的。这里，我指出，如此的信念实际上是不正确的。例如，爱因斯坦的旋转盘，一旦空间参考框架被选择了，时空坐标系统的规范条件也就己经决定了。时间是如此地定义，正如爱因斯坦所要求的，一只钟的速率取决于这钟的所在地。这样，从不同的度规得来的不同的空间收缩，不能都是在物理上成立，由于这两个度规有同一样的空间参考框架。而且，正如爱因斯坦指出，基于等效原理，空间收缩和时间膨胀是可测量的。因此，建议在地球的表面测量局域光速度的方向性的差别，以决定那个度规是更接近实际。

 04.20.-q , 04.20.Cv

关键词：爱因斯坦的等效原理，类欧几里德几何结构，爱因斯坦的物理空间。

1. 引导

爱因斯坦经常是发现他自己错误的第一人，但是也有例外的。在这篇论文，我指出爱因斯坦在1921年的书，"The Meaning of Relativity [1]"中，关于规范的问题上犯了一个错误。其错误实质是如下：在相对论，按爱因斯坦所指出，空间收缩的效果是可测量的。然而，爱因斯坦宣称，具有同样的空间参考框架的两个时空度规解 (例如，史瓦西 (Schwarzschild) 解和各向同性解) 在物理上是等效的。基于事实上史瓦西解和各向同性解产生同样的光线的偏移 [1,2] ，爱因斯坦 [1] 评论，"应该被注意到，这结果和相关的理论，同样地，没有被我们的坐标系统的任意选择所影响"。

这是不正确的，我反驳道，因为另外的计算可能对这两个度规坐标系统是不一样的。原刞上，从一个空间参考框架中对任何物理量测量，不能有两个不同的确定性的理论数值。这样，这两个解在物理上不能都是有效的, 由于他们给出十分不同的空间收缩。然而，为了处理这个问题，必须首先弄明白，在一个空间参考框架中¹⁾，空间坐标的物理的意义。

众所周知，两个不同的度规解能够在物理上是等效的，如果他们联系着不同的空间参考框架。例如，一个惯性的框架和一个旋转的参考框架能有不同的，但物理上等效的解。爱因斯坦 [2] 考虑了一个 Galilean (惯性) 参考系统K (x, y, z, t) ；一个惯性系统的度规是

         ds2 = c2dt2 - dx2 - dy2 - dz2,                                                    (1)

或

         ds2 = c2 dt2 - dr2 - r2 df2 - dz2, 在此 x = r cos f,          y = r sin f, (1')

式中的单位是厘米和秒,并且c 是光速度，3x10¹⁰ cm/sec。然后，他考虑系统K'(x',  y', z', t') 在相对地对K作均匀的旋转角速度W。这两系统的原点，幷且z和z' 轴永久地重迭着。由于对称性²⁾，在 K 的 x-y 平面上、环绕原点的一个圆圈可以同时被认为是在K'的x'-y' 平面上的一个圆圈。这样，f = f' + Wt  [3-5]。然后，计算表明系统K'的度规是如下列：

ds2 = (c2 - W2r'2) dt'2 - dr'2 - (1 - W2r'2/c2)-1r'2 df'2 - dz'2,                           (2)

此处 x' = r' cos f', y' = r' sin f', r' = [x'² + y'²]^1/2, 并且 W²r'²/2c²是实效 "引力位势"。这样，爱因斯坦 [2] 总结地说，用一条相对于K' 在休息的测量捧，那它的直径与圆周的商将比p 要大，并且欧几里德几何学因此垮掉。正如爱因斯坦所要求的 [1,2] ，时间被如此地定义为"一只钟的速率取决于该钟所在的位置"。而且，度规 (2) 对此时空坐标系统是唯一的，幷且爱因斯坦的等效原理是满足了。然而, 对度规 (2) 而言，局域光速度是各向异性的。

爱因斯坦用他的等效原理，由测量时间膨胀和空间收缩建立弯曲的空间。他所阐明了测量的仪器应该在相对于空间参考框架休息，可是没有明显地说出，他们是处于一个自由地掉落的状态。在另一方面, 对一条附着于坐标系统的测量棒，由于测量杆和坐标承受同样的引力，所测量的局域距离和时间将现出好像引力没有存在一样。正如爱因斯坦的解显示出的，基于操作而定义的局域距离和时间组成了一个类欧几里德几何结构，作为一个对时空度规的必要补充。这样，爱因斯坦的黎曼 (Riemannian) 时空有一个类欧几里德几何结构，作为一个空间参考框架。而且，类欧几里德几何结是构独立于引力³⁾ 因而也独立于物质的分布。圆柱形坐标是显着地在 Eq. (2) 中。然而，Eq. (2) 意味协变性 (表达于，从这个方程自由地导出张量坐标转换) 否定了Eq. (2) 的特殊坐标轴与类欧几里德几何运作性结构，具有唯一的联系。

具有一个在空间参考框架中的类欧几里德几何结构，一个伪黎曼(pseudo-Riemannian) 空间可被称为爱因斯坦空间, 命名于在它的创造者。然而，应该被注意到,一个爱因斯坦空间可以不是，满足他的等效原理的，一个物理空间。由于类欧几里德几何结构只在一个物理空间是物理上有意义的，其有效性接着必须具有一类欧几里德几何学结构,这似乎引起一个逻辑循环的问题。在实践上，可以首先假定类欧几里德几何结构存在于被考虑的黎曼时空中。由此，物理的要求被验证，从而证实类欧几里德几何结构的存在于一个物理空间中。然而，如果这失败于某个度规，如此的一个流形便不是一个物理空间。这样, 表面上的逻辑循环问题幷不确实确地存在于相对论中。

对一全部质量为 M 的球形的品质分发，各向同性的解有下列形式[ 6 ],

ds2 = [(1 - Mk/2r)2/(1 + Mk/2r)2]dt2 - (1 + Mk/2r)4(dx2 + dy2 + dz2),            (3)

式中r = [x² + y² + z²]^1/2，并且 k 是引力偶合常数。也注意度规是 r 的函数, 它以一个被定义于子空间 (x, y, z) 的类欧几里德几何结构，那是独立于度规 (3) 的。(坐标满足 Pythagoras 法则，尽管根据度规 (3) 没有欧几里德几何的子空间。) 因此, 空间参考框架 (x, y, z) 中的类欧几里德几何结构公式r = [x² + y² + z²]^1/2是必然地被包括在如此的爱因斯坦-黎曼时空中。还有, 对度规 (3)，局域光速度是各向同性的。

爱因斯坦 [1,2] 最少在两个场合中说了光的速度是 "定义于欧几里德几何学的意义上"。尽管有如此的宣告，一些理论家仍然没理解爱因斯坦的理论，因为他们意识到如此的类欧几里德几何结构。反而，这些理论家宣称了坐标幷且因此光的坐标速度，是没有物理意义的，尽管他们 [3-8] 接受了一个事实上联系了坐标⁴⁾ 的光线偏移。因而我抗辨此宣言是可置疑的。

另一方面，著名的史瓦西解[1,2]，用坐标系K'(x, y, z, t), 是

ds² = (1 - 2Mk/r)dt² - (1 - 2Mk/r)^-1dr² - r²dq² - r² sin²q dj²,             (4)

式中 r² = x² + y² + z², x = r sinq cosj, y = r sinq sinj，和z = r cosq是以类欧几里德几何结构坐标 r，q，和 j 来定义的。而且，度规 ( 3 ) 和 ( 4 ) 是由

r = r (1 + Mk/2r)²,  如果 r > 2Mk.                     (5)

联系起来 [6]。这样，度规 (3) 和度规(4)是相亘微分同构⁵⁾ (diffeomorphic) [9]，虽然在物理上它们是不兼容的。

爱因斯坦的错误是，他无条件地夸大了微分同构的解，在物理上是一样的。一个关键的问题是，是否这些度规有相同的空间参考框架。为达到这点，应该首先检验规范条件这概念。

2. 黎曼时空间中的类欧几里德几何结构, 和试验实际规范的需要。

对一个均匀旋转的系统，物理空间的时空度规是决定了的。于 1919年爱因斯坦 [10] 说, 被事件作为空间参考的物体，称为坐标系统。另一方面，除埃丁顿 (Eddington) [11] 外的许多理论家，相信了一个规范条件能被任意地选择。这样，澄清规范条件的这个问题便是必要的了。在相对论中，1915年的爱因斯坦非线性的场方程 [1,2] 对时空度规 gab 是

Gab º R ab - ½ R gab = -K T(m)ab ,                                                   (6)

式中Rab是Ricci曲率张量; 源张量T(m)ab是物质的能量-动量张量，可能也是依赖于gab。 然而，在这十个张量方程中，只六个是独立的, 由于

Ñ^aG_ab º 0.                                                                    (7)

这样，解爱因斯坦方程 (6), 需要四个更多的条件。这四个附加的条件被认为是由于在物理黎曼空间有坐标选择的某种自由，并且被称为规范条件。

在规范条件的问题上有两个极端的看法: i) 福克 [7] 提出谐和规范条件是唯一的物理上有效的规范条件。这己为一个均匀地旋转的系统证明是错误的。 ii) 另一个不正确的看法是规范条件状况能被任意地选择 [9]。尽管埃丁顿 (Eddington) [11] 拒绝了如此的一个观点，这个不成立的观点仍是流行的，因为它与另外的误解似乎相合，也就是，一个时空坐标系统能够是任意的。这是不正确的。任意的规范条件这个假设能导致非物理解的接受 [12-14]。

对于质量的球形的静态的分布，因为 因果原理²⁾ [15,16] ，外引力的场有球对称静态的对称。它要求[6] 时空度规有该形式

ds2 = F(r) c2dt2 - D(r) dr2 - C(r)(r2dq2 + r2 sin2q dj2) .                           (8)

然而，在当前的理论，函数 C (r)， D (r)，和 F (r) 不能唯一地被决定。如果 D (r) = C (r) 被假定，获得各向同性的解 (3)。然而，这不是唯一的解。如果 C (r) = 1 被假定，获得另外的著名的解, 用坐标系 (x, y, z, t) 的史瓦西解 (4) (即用r代替 r)。

上面的计算表明，这两个解有同样类欧几里德几何学与同样的空间参考框架。这意味着那参数" r "在度规 (3) 应该与参数 "r "在度规 ( 4 ) ，在物理上是一样的。这样, 微分同构的度规 (3) 和 (4) 在物理上是不同的，因为他们对同样的空间参考框架有不同的空间收缩。因此，他们不能都是有效的。尽管在时间膨胀的差别是第二阶，空间收缩 (幷且因此局域光速) 很不同：一个是方向性的而另外一个是各向同性的。

为澄清这分析,让我们从1916爱因斯坦的论文的节22中，跟随他推导的一些步骤[2]：

"对于长度为一的单位放在 "平行" 于轴 x，例如，我们应该必须设定(斜体是添加的) ds2 = -1; dx2 = dx3 = dx4 = 0. 因此 -1 = g₁₁ dx12。另外，如果该单位放在 x 的轴上躺，方程(70)的第一个给出g₁₁ = - (1 + a/r)。由这两关系，正确到第一阶小数量，接着得dx = 1 - a/2r。"

关键的词 "应该必须设定" 意味着应用他的等效原理，如果它是成立的话。这个假设是必要的，因为对史瓦西度规 (4)，等效原理的有效性没被证明。（注意：但是对爱因斯坦的均匀旋转盘，爱因斯坦的等效原理的有效性能直接地被证明。）处于一种类似的状况，对一各向同性度规，爱因斯坦 [1, p.91] 使用另外一个短语"得到的可能性"，显示他的等效原理的假定的有效性的不确定。换句话说，这些度规的是否提供一个物理空间，也必须被证明。

爱因斯坦倚靠他的 1911的引力的红移公式和水星近日点作为一时空度规合法化的依据。然而，这没导致一个唯一的度规，由于两个度规 (3) 和 (4) 得到相同的近似结果。而且，这两个度规对光线弯屈给出一样的第一阶近似。这样，这两个度规, 联系到一样的空间参考框架，但爱因斯坦的三个测试难以区分。而且，也不困难显示出光的延迟 (另外的累积试验⁶⁾)也帮助不了这件事 [8]。这造成了这两个规范条件是物理上地等效的的一个假印象。而且，根据怀特黑德 (Whitehead) [17] ，爱因斯坦也不知道怎样澄清时空坐标的物理的意义。

另一方面，这两个度规给出不同的空间收缩，那根据爱因斯坦的意见是可测量的。由于类欧几里德几何结构弄明白了空间坐标的物理的意义，只一个度规可给出现实的空间收缩。（空间参考框架与规范条件关联的唯一性，己在一个均匀地旋转的系统的情况中被表明。） 这样,一个局域性的检验⁶⁾ 是需要的。为达到此目的，可用测量局域光速⁷⁾ 来决定哪个度规是更现实的。例如, 对史瓦西解，局域垂直和地平线的光速度将是，分别地，

,           舆              .                           (9)

另外地，可以选择只测量光速度的方向性差别。迈克逊-莫利 (Michelson-Morley) 类型干涉仪 [18] ，具有一只垂直的臂和一只地平线的臂，将会合适做这项任务。

3. 垂直的激光干涉仪引力实验

一个实验室的光源 S 被聚焦在一薄薄地镀银的玻璃板P上，把光划分成两条亘成直角的光线。其一反射去镜面M1且通过板被反映回来到B1，而其它射去镜面M2 回射到板，幷且被反映到B2 。从M1 到 P 的距离是d1 ，并且从M2 到 P 的距离是d2 。垂直的光速度是cu 和地平线的光速度是ch。cu 可认作一个常数，如果 r (或 r) 的变化与地球的半径比较是小的话。两镜子交替地最高的位置。当镜子M1 在顶时 (或交替地在底部) ，时间t1 光从 P 去到M1 幷且回到 P 是t1 = 2d1/cu ，和时间t2 光从 P 到M2 幷且回到 P 是t2 = 2 d2/ch。然后，时间差别是

                                                          (10)

当镜子M2 在顶时(或在底部) ，需时间t'2光从 P 去到M2 幷且回到 P，t'2 = 2d2/cu ，并且需时间t'1光从 P 去到M1且回到 P ，t'1 = 2d1/ch。然后，时间差别是

.                                                        (11)

然后,

                                                    (12)

是全部的时间差别，对应于一距离近似地 (由于vu 和vh 比 c 小得多)，

,         在此  - .                   (13)

对各向同性的规范条件， = 0。然而，对史瓦西解，我们有,

,     在此 Re = 6.378x106 meters,                          (14)

是地球的半径，M 是地球品质，幷且 G 是在牛顿的理论的偶合常数。第二个因子是 9.8 m/sec²，由此近似地 Dv/c = 6.96x10^-10。

可见的光的波长大约是 5000 Å。如果期望的效果是干涉的边缘移动约十分之一，那么Dd 应该是 500 Å [18]。然后，要求臂的全部的长度，大过 Michelson-Morley实验的，大约是，

 (d1 + d2) » 36 meters.                                                                (15)

然而，vu 能确实地被当作一个常数，并且两个规范条件之间的区分是很好地在实验的精确度以内。实验的精确度，将隋着臂的长度增加，而增加。而且，有效的臂长度将增加若干倍，如果每条光束来回地在很多镜子之间被反映 [1]。也请注意：顶，底部，和地平线的选择位置将帮助检测机械拉长幷且压缩的效果。

4. 评论

目前，各向同性的解被用于续-牛顿的近似 (由埃丁顿开始的 [11])，它被用来追踪宇宙飞船[19]。斯坦福实验，引力 probe-B [20]，也将用，与各向同性的解相容的，弱引力线性的方程来检查。而且，这个弱引力的线性的方程能，用独立于爱因斯坦的 1915 方程的方法，推导出来 [15]。在另一方面, 更简单的史瓦西 (Schwarzschild) 解是被用于准确的计算 [1,6-8] ，幷且也在黑洞覌念的发展中使用 [8,9]。请也注意到那度规 (2) ，毫无疑问地，不是各向同性的。因此，难以决定地球的度规是准确地各向同性或各向异性，将被实验所赞成。虽然如此，基于实验性结果，相对论将必须通过一个新评审。

理论上，各向异性的光速度的存在，是被度规 (2) 所表明了。然而，作为附加的证据，将是困难产生一足够大的角速度W ，以便由测量局域光速，能直接地验证度规 ( 2 )。幸好， Sagnac 效应 [21]，(在一个旋转的物体，两光线以相反的方向在相同的回路传播的干涉效果) 为各向异性的光速度的存在，给以间接的支持。

一个相关的问题是实验室将绕地球的轴转。然而，由于地球角速度 W(»  7.3  x  10-5/sec )是小的，在赤道上，由于旋转而产生的有效引力位势 W2Re2/2c2只是Mk/R_e的 1.7 x10-3。这样，在测量局域光速度到第一阶近似中，如此由于旋转的效果将是可以忽略的。然而，谐和解和各向同性解之间的差别在第二阶近似 [6] ，幷且，如果区分他们是必要，这样如此的旋转的效果就必须被考虑。

在节三提及了的实验只是一种理想化的状况，目的是表明如此的实验的在原则上是可能。然而，在实际的情形，就象其它的精密实验，有许多实际的问题要克服，例如减少幷且估计任何干扰。这里，我们将给一些初步的考虑。细节将在另一论文 [22] 发表，尽管一个完全的方案，是实验物理学家所承担的工作。

一个严重的问题显然是从引力产生压缩和拉长仪器的臂的效果，由于他们必须处于，在不同的时间，一个垂直或一个地平线的位置。由于如此的干扰，限制不明确的变化少于不到臂长的6.96x10^-10，将是很困难的。如果一只臂处在强大的压力下面，由于引力的压力效果能被减少。而且，由于引力拉长或压缩得出变化的规则是可以得到的。

然而，克服如此的引力的效果的干扰幷不是全新的问题。一个由北京大学周教授[22]领导的实验组，曾尝试测量垂直的和地平线的光速度之间的差别⁸⁾，并宣称在 1990得到10-9的精确度。他们的实验，基于 Fabry-Perot 干涉仪，直接测量了光速度[23]。由于这仪器是设在一个真空管子中，仪器的重量将必然比一只简单的臂重。这样，引力拉长并且压缩问题将被增加。然而，如果整个的仪器在一个大真空房间内，这个问题是能解决的。他们的减少拉长幷且压缩效果的方法是把旋转的轴放在管的中心，如此在一个垂直的位置，压缩幷且拉长被一些相亘抵消所减少。因为管子是直的，这设计能够实现。

1979年，伊尔马兹 (Yilmaz) [24] 建议一类似的设计为局域光速度实验 ⁹⁾。然而，如此的设计对 Michelson-Morley 实验的旧版本是困难的。基于测量干涉移动大小，此旧实验的基本的设计是L 形状。对此设计，把旋转的轴放在 L 的角落，似乎更适当，幷且可分别测量拉长或压缩的效果。由于局域光速度能直接地幷且精确地用现代的技术米测量 [23,25] ，为了避免这个机械拉长和压缩问题，可以比较不同的高度的，地平线方向的，局域光速度；在地球的表面上的，地平线方向的，局域光速度；和在一颗卫星或飞船上的局域光速度，如果同一仪器被用于所有的情况的话。

不幸地，周小组的实验 [23] 在初步的结果获得以后，中止了。一个主要的问题是，实验似乎基于相信史瓦西解和谐和解^{10 )}是独立的 [26]。而且，理论家们如刘教授 [4] 自定义一坐标光速，对一个正交系统，这样的光速度是永远各向同性的。俞教授 [5, p. 58] 误导地宣称：所有的可测量的数量必是标量。面对现存 "理论" 的袭击，证明他们实验的正当性，是困难的，因为空间参考框架坐标的物理的意义，当时还没有澄清。虽然如此，他们的尝试郄标志了一种重要的新类型的实验的开始。由于选择了空间收缩问题，周的小组显示出很好地掌握了爱因斯坦的等效原理。当然，还有另外的技术能用于测量有关空间的收缩，但这是在这篇论文的范围以外了。现论文仅限于显示出需要，幷且原则上可行，做如此的实验¹¹⁾。

爱因斯坦的理论的一个主要的问题，根据怀特黑德 [17] ，是时空坐标间的物理意义不清楚。这样，泡利版本的等效原理和数学的协变性便接管了，幷且相对论将变得基本上仅仅是一个在名义上的物理理论。没有关键性的时空坐标的物理的意义，相对论的当前的理论是相当任意的，并且理论上不是一贯的 [12-16,27]。然而，这篇论文了显示出，空间时间坐标的物理的意义，实际上在爱因斯坦的相对论的理论框架以内存在。因此，先前的含混不请不再是可接受的了，幷且有理论上的需要测量与空间收缩有关的量。希望，由于澄清这些问题，这篇论文将复苏对此类实验的兴趣，幷且从而帮助推进使相对论更富活力。

鸣谢：

The author is grateful for stimulating discussions with Professors A. J. Coleman, P. Morrison, A. Napier, and W. Oliver. The author is also grateful to the referees for their valuable comments and suggestions. In particular, the author appreciates very much the information about the Sagnac effect and the work of Yilmaz. Special thanks are due to Mr. J. Markovitch for useful suggestions on the presentation. This work is supported in part by Innotec Design, Inc., USA.

注释：

• 1) 目前，面对着引力的场存在，时-空的数学的建模是一(伪-)黎曼流形 M，其度规的 g具有与Minkowski 度规有一样的签名 (+, -, -, -)。这一对 (M, g) 被称为Lorentz 流形，并且 g 被称为Lorentzian 度规 [8]。爱因斯坦的物理空间是一Lorentz流形，而具有一个空间参考框架，和可联系局域钟的一时间坐标 [1,2]。

• 2) 久经考验的假设，现象能以可辨别的原因来解释，被称作 "因果原理" 。这原理是所有科学研究调查的基础。这原理意味着引力的辐射必有源头，并且在一个物理的解中，任何参数必须被联系到一些物理的原因 [15,16]。这样，如果一个非物理参数存在于度规中,如此的一流形将不能与一个物理空间是微分同构 (diffeomorphic) 。在相对论中，爱因斯坦和随后的理论家，隐含地在对称的考虑中，使用了这个原理 [1-9]。

• 3) 尽管爱因斯坦，在他的解中，发现了 "类欧几里德几何结构"[2] ，他没有认识到，因为相对论的理论的框架，类欧几里德几何结构巳内在地被包括在他的黎曼时空中。

• 4) 光的偏移是一个角度，使用物理的措施显式比较，在无穷远处测量的 (例如，在摄影的板上的毫米)。然而，这取决于一个坐标系统，因为由摄影的板中两个点转变到一个角度，必须用过去拍摄该相片的参考坐标系统。例如，第一个如此的转换，便是基于史瓦西坐标系统 [3]。而且，用一个均匀地旋转的系统，不能定义一个光线偏移角度。

• 5) 对于两Lorentz 流形，如果f: (M, g)®(M', g') 是C^¥，全部一一对应，且有C^¥反函数，f就被称为 微分同构函数(diffeomorphism)，而且M和M'被称为 微分同构(diffeomorphic)[9]。这样, 微分同构流形能通过坐标转换从对方获得。然而，一个流形与一个物理空间是微分同构，这流形本身不能必然地是一个物理空间，由于一微分同构函数 不能保存所有的物理的要求的有效性。

• 6) 累积效应测试，例如光弯屈和光的延迟，在长距离上测试局域效果的累积，而局域测试，例如引力的红移和局域光速度，测试局域效果。

• 7) 这局域光速度与在一个Minkowski局域空间的光速度不同。

• 8) 作者谢谢H伊尔马兹 (Yilmaz) 教授，在阅读这篇论文初稿后，告知此事。

• 9) 伊尔马兹 (Yilmaz) 的引力的 Michelson-Morley 类型实验是一个现代的版本，它基于使用稳定频率的激光，测量频率移动的大小，而不是干涉纹的移动大小。伊尔马兹的理论，对于球形地对称的品质源，只生产一个各向同性的解。

• 10) 周培源 [22] 认为谐和条件是一个另外的物理条件。这个未被验证的覌点可能是很少有对周的实验同情的一个原因。史瓦西和谐和解的联系已显示出来 [6]。最近, 彭恒武教授 [27] 澄清了，周教授的建议只对逐渐平滑 (asymptotically flat) 于无限远的度规。

• 11) 基于 Maxwell-Newton 近似 [15,28], 可预言在地球表面上的局域光速实验，将赞成度规的第一阶近似是各向同性的 [29]。请注意，各向同性解与谐和解有同样第一阶近似。

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