电场中的杠杆问题的解决（证明在动系中看来，两个小球施加于杠杆的冲量矩（角动量）相等，因此杠杆仍旧平衡）
电场中的杠杆问题的解决（证明在动系中看来，两个小球施加于杠杆的冲量矩（角动量）相等，因此杠杆仍旧平衡）
附：杠杆问题
1． 垂直于地面有匀强电场，有一水平杠杆（支点在中间），某时刻从支点向两边同
时抛射两个一摸一样的小球，速度相同，沿杠杆表面运动，杠杆仍旧平衡。现在有一个
运动参考系，运动方向与杠杆水平方向一致。在运动参考系看来，杠杆也应该平衡。可 有人说
用相对论计算，竟然不平衡。存在矛盾，如何解决？
2． 将上题中"电场"改为"引力场"。也存在矛盾。如何解决？
致“挑战相对论”网站网友：
【1】黄新卫先生提出了杠杆问题（引力场中的杠杆问题），大家进行了许多天的热烈争论。我一开始用引力磁场，引力Lorentz力等概念证明了即使在动系中看来，两个小球的受力仍旧是相等的（注意，在电磁场中，这个结论不成立）。黄新卫先生（好像还有NIZI，ZEROTOM等）等人认为“引力磁场”属于修修补补的概念，认为不可信，关于这一点，我不想多说了，只说一句：引力磁场是一个普普通通的概念，凡是经坐标变换，就会从引力场中产生引力磁场。黄德民先生等人认为两个小球不同时下落（也就是力臂不等），所以杠杆仍旧不平衡。Physicist认为这可以通过杠杆平衡条件信息速度的有限性来解决。他们二人都是有道理的。
我认为黄新卫的引力场中的杠杆问题属于广义相对论问题，应该在广义相对论框架中解决。但是对于匀强引力场，由于广义坐标变换刚好退化为Lorentz变换，所以可以在狭义相对论中解决。但是，由于黄德民提醒说两个小球不同时下落（也就是力臂不等），所以我就考虑起弯曲空间中的杠杆力臂问题来。由于弯曲空间中两点之间空间坐标之差并非两点之间距离，所以对于力臂的定义不能照搬原来的平直空间中的定义。弯曲空间中两点之间空间坐标之差与两点之间距离的关系是：
距离L=sqrt[(g_ij-g_0i*g_0j/g_00)dx^idx^j] (北大教材广义相对论引论，俞永强，P.64)。如果采纳这个定义，就能解决引力场中的杠杆问题。
【2】黄新卫的原始杠杆问题本来就是想证明相对论对于杠杆问题有矛盾。由于从上面看来引力场中杠杆问题比较复杂，所以我考虑起电场中的杠杆问题（Physicist也在考虑这个问题）。电场中的杠杆问题是一个彻底的狭义相对论的问题，只要这个问题解决了，那么杠杆问题也就算解决了。下面我可以证明：电场中的杠杆问题在狭义相对论中不是一个佯谬。
如果电场中的杠杆问题在狭义相对论中是一个佯谬的话，意味着角动量守恒定律在狭义相对论中不成立，但这是不可能的（角动量守恒定律在狭义相对论中严格成立，这是可以证明的）。
黄德民对于同时性考虑较多，也是有道理的，但是同时性的佯谬是不存在的。不过考虑杠杆定律成立的同时性的确是一个麻烦的事，因为存在Physicist所说的杠杆平衡条件信息速度的有限性问题，实话实说，这的确是一件棘手事情。虽然棘手，但不是说在狭义相对论中解决不了（只是好像没有人去解决过，可能这个已不算基本问题了。这个方向可以作为大家日后的研究方向）。由于存在杠杆平衡条件信息传播速度的有限性问题，使得问题复杂。但我可以绕过这一问题，用另一种方法来解决：只要证明在动系中看来，两个小球施加于杠杆的冲量矩（角动量）相等，因此杠杆仍旧平衡。
我们证明在很短的杠杆上，两个小球施加于杠杆的冲量矩（角动量）相等，因此杠杆仍旧平衡。用数学归纳法，可以证明任意长杠杆，两个小球施加于杠杆的冲量矩（角动量）相等，杠杆仍旧平衡。
【3】设在杠杆看来，两个朝相反方向运动的小球的速度（方向为x）分别为u,－u. 一个运动参考系与杠杆的相对速度为v，方向与小球速度平衡。静系中的电场强度为E_z (沿z方向，z方向为竖直方向)，那么有Lorentz变换，动系中的电场E”_z=E_z/(1-vv/cc)^(1/2), y方向磁场为B”_y=－(v/cc) E_z/(1-vv/cc)^(1/2) (参看：南京大学书 孙景李编P.64) （注意：凡是经时空变换，总会出现磁场。对于引力，也是如此，出现引力磁场。只不过广义坐标变换下，引力磁场复杂得多。不过，对于匀强引力场，由于广义坐标变换刚好退化为Lorentz变换，所以，因此引力磁场公式刚好与上面的公式相同。所以，引力磁场不是修修补补的东西，而是相对论的基本组元之一）
带电小球电场力F=QE”_z＋Q（(u+v)/(1+uv/cc)）B”_y
＝Q E_z(1-vv/cc)^(1/2)/(1+uv/cc), 注意：这一表达式与Physicist的公式一样，从Physicist昨天的帖子就看出他的理解是对的。
【【【【【【【【【【【【附Physicist昨天帖子
公式F' = F * sqrt(1-vv/cc) / (1-uv/cc) 只是垂直于动系运动方向的力（也即橫向力）的变换公式，平行于坐标系运动方向的力（纵向力）的变换完全不一样。 简单地说，这个变换中与速度有关的部分，就是所谓的“磁场”。如果比较静系中以速度v和0运动的两个电子在动系中的受力（速度分别为0和v），可以发现两者的差别正好就是电子在动系中所受的洛仑兹力（在动系中会有感应磁场）。也就是说，磁力不过是电力的相对论变换效应。】】】】】】】】
受力公式有了{F= Q E_z(1-vv/cc)^(1/2)/(1+uv/cc)}，力臂L=[(u+v)/(1+uv/cc)－v]t＝[u(1- vv/cc)/(1+uv/cc)]t,
这样每一时间间隔dt小球加给杠杆的冲量矩dI=FLdt＝（Q E_z(1-vv/cc)^(1/2)/(1+uv/cc)）×[u(1- vv/cc)/(1+uv/cc)]t*dt，对它积分，得到I= {Q E_z×u*(1-vv/cc)^(3/2)/(1+uv/cc)^2}*(t^2)/2,
t=?, t=(L/2)*(1-vv/cc)^(1/2)/ [(u+v)/(1+uv/cc)－v]= (L/2u)*( 1+uv/cc)/ (1-vv/cc)^(1/2),
这样，一个小球的总冲量矩I= Q E_z×（L^2/(8u)）×(1-vv/cc)^(1/2),
这一结果与u的符号（+u和-u）无关，所以两个小球在下落之前赋予杠杆的总冲量矩相等（方向相反，一个顺时针，一个逆时针）。既然如此，即使在动系中看来两小球不同时下落，但是杠杆仍旧平衡（因为它得到的总冲量矩为零）。总而言之，我们前几天的讨论是企图比较瞬时力矩是否相等作为杠杆是否平衡的依据，是办不到的（因为信号传递的有限性和同时的相对性等原因的存在）。我们现在能讨论的就是杠杆总冲量矩是否为零作为杠杆是否平衡的依据。
以上证明了电场中杠杆问题不是一个矛盾。
【4】附带讨论一下引力场中的杠杆问题：
以上问题（在电场中），动系中两个小球的受力不相等,与u的符号正负有关（F= Q E_z(1-vv/cc)^(1/2)/(1+uv/cc)）; 但在引力场中，由于质量与速度有关，我以前证明两小球在动系中受力仍旧相等（与u的符号正负无关）。所以在求总冲量矩时，可以把力F提取出来，不去关心它。再计算冲量矩，似乎问题很简单。实际上不是如此，因为力臂的定义还要考虑（由于弯曲空间中两点之间空间坐标之差并非两点之间距离，而是要考虑距离L=sqrt[(g_ij-g_0i*g_0j/g_00)dx^idx^j] (北大教材广义相对论引论，俞永强，P.64)。我认为只要考虑力臂的定义，再计算总冲量矩，就一定可以证明，引力场中的杠杆问题也不是一个矛盾。（我目前没有时间去考虑，但我相信这个结论,至少“电场中杠杆受到的总冲量矩为零”已证明）
【5】以上通过计算总冲量矩，来研究杠杆问题是一个方法。至于研究瞬时力矩和瞬时杠杆平衡，的确是一个值得研究的方向，但一定很复杂。我准备去研究。黄新卫的杠杆问题可以说，就是一只生蛋的母鸡，引出了这么多话题，它是我们挖掘相对论内部更多宝藏的铁锹，而不是相对论的羁绊。
【6】杠杆问题的讨论是大家群策群力的结果。
我对于杠杆问题的研究的内容主要有：
1． 证明了重力场中动系看来，两小球受力仍旧相等；2.认为重力场中力臂的定义要考虑清楚（弯曲空间中两点之间空间坐标之差并非两点之间距离）；3. 杠杆受到的总冲量矩是否为零也是杠杆是否平衡的依据。4。待研究的是：研究瞬时力矩和瞬时杠杆平衡（考虑同时的相对性，信息速度的有限性）。
【7】关于引力磁场。这个东西如果大家还在怀疑是“补丁”，实在是说不过去了。在杠杆问题中，它已经不是重中之重了（只是一个很自然的小螺丝而已）。研究引力磁场也比较有趣。我在瑞典（Phys.Script）和德国(General relativity & gravitation)刊物上中了两篇文章（下一期和9月份刊出），讨论的就是引力磁场的一些有趣的性质。所以，引力磁场是一个普普通通的东西，大家以“引力磁场”作为我的论断的咋舌，实在是显得对广义相对论了解不够。说它是补丁，更显得无知（任何非爱因斯坦引力理论，都有引力磁场）。
JQSHEN,2001.4.17
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