| 如前所述，时空是一个四维流形，引力是时空弯曲的表现，那么这种时空的弯曲 怎么作用在时空中的物质上呢？答案是测地线。 测地线也是微分几何的术语，是指带有度规张量的曲面上两点间距离取极值的点。 设连接两点的的曲线是Xi(s)两个点对应s1,s2那么曲线长度为 s2 s2 _______________ dX{i} L=∫ ds=∫√g{;i,k}U{i}U{k} ds U{i}=------- s1 s1 ds Ui是四速度。之后用变分法求这个泛函极值，就得到测地线需要满足的方程： dUi 1 -----+Γ{i;kl}UkUl=0 Γ{i;kl}= ---g{i,j;}(g{k,j},l+g{l,j},k-g{k,l},j) ds 2 那个伽玛叫第一类克里斯托福符号。",i"表示对Xi求偏导 为了知道这个对不对，只需要对平直时空验证一下， s2 s2 ___________________ L=∫ ds=∫√t'^2-x'^2-y'^2-z'^2 ds s1 s1 正好就是狭义相对论中的拉哥朗日量。不过平直时空gik为常数，所以克氏符号为零 ，根据上面的方程，只有四速度为常数才行，此时粒子运行轨迹是直线，正好相符。 对非平直时空，克氏符号不为零，测地线就是曲线了。 这个克氏符号起着引力场强的作用。 对于一般的时空，根据度规张量算出克氏符号写出测地线方程，解出来就是自 由质点在此引力场中的运动方程了。所以引力问题完全变成了几何问题。引力的动 力学效应完全由时空的弯曲决定，概括起来就是说： 时空告诉物质如何运动 另一方面，时空不会平白无故弯曲的，是因为有物质的存在，时空才会弯曲， 那么物质是怎么影响时空的弯曲呢？答案是爱因斯坦引力场方程 引力场方程是联系描述时空弯曲的量和描述物质分布的量的一个方程。在牛顿 力学中这样的方程是泊松方程：△φ=4πGρ它左边是引力势的二阶偏微分，右边是 物质密度。广义相对论中相当于引力势的东西是度规张量，所以引力场方程左边应 该是g及偏导数组成的。因为广义相对论的零级近似应当是牛顿理论，所以猜测引力 场方程中关于度规张量的偏微分应该也是线性2阶，至于引力场方程的右边，应当是 物质的能量动量张量。那左边应该等于什么呢？恰好黎曼几何中有一条定理，由度规 张量及其不超过线性二阶的导数组成的量中，只有里奇曲率张量、曲率标量和度规 张量自身。这几乎完全把方程左边的形式给确定了下来： R{ik}+a*g{ik}*R+b*g{ik}=k*T{ik} 下一个要用的定律是能量和动量的守恒定律，即T{ik}的散度为零，由此可定出a=-1/2 b要用另外的方法：牛顿近似。因为广义相对论必须以牛顿理论为低级近似，考虑系统 的低能近似，可以发现为了使低能近似退化为牛顿理论，那么b应当很小几乎接近零。 这就是著名的宇宙项。这样一来，引力场方程写为： 1 R{ik} - ---R*g*{ik}+λg{ik}=k*T{ik} 2 通常情况，会去掉宇宙项，但研究宇宙学时还是有可能用的到的。用牛顿近似的方法还 可以确定k的值 这个方程通常根据右边物质的能动张量反解出R这就知道了时空的弯曲情况了，这 一事实概括成一句话就是： 物质告诉时空如何弯曲 |