| 等效原理是广义相对论的另一个基本假设，它要比广义协变原理 深刻的多，它决定了广义相对论必须使用黎曼几何，而且将引力几何 化。 等效原理分几个级别，广义相对论中用的是最强的甚强等效原理 ，它的内容是： 任何引力场中自由下落的局域参考系与惯性系等效。 这里说的局域参考系是指参考点附近的一个无限小区域。与惯性系等 效意味着，这个参考系内的任何物理过程都和惯性系一样。 这就说明，含有引力的时空中，任何一小块自由运动的局域参考 系都可以看成是平直空间。我们把这句话中的几个字眼换一下，引力 换成弯曲，时空换成流形，局域参考系换成无限小区域，平直换成平 面，那么等效原理说的事实就变成弯曲流形上面的无限小区域可以近 似看成平面的一部分。这正是黎曼几何的思想，把曲面问题化成无数 个无限小区域内的平面问题。所以广义相对论只要使用黎曼几何就能 符合等效原理，而且，引力相互作用成了时空流形的弯曲，这就叫做 引力几何化，关于引力几何化会另又一篇文章讨论。 说了这么多还没说黎曼几何是什么。事实上并不想大多数科普材 料上写的那样，黎曼几何是与欧氏几何和罗巴切夫斯基几何相并列的 那种椭圆几何，那个只是初级的成果，黎曼几何要更广泛些，它描述 一切曲面上的内蕴几何，也就是说只研究它表面上的度量关系，而不 研究曲面在它所在空间中的几何性质。它实际上是三维微分几何中曲 面的第一基本形式的多维推广，属于微分几何的内容。 从比较高的角度看，没有黎曼几何的微分几何只是从拓扑和仿射 空间的角度刻画流形。有了黎曼几何，相当于在流形上引入了度量， 使其成为距离空间。具体方法是在每个点附近定义线元的平方： ds^2=g{;i,j}*dX{i;}*dX{j;} gij叫做度规张量，是一个二阶的协变张量，dX是坐标的微分。这实际 是勾股定理的推广，平直空间里gij就是单位对角阵了。对于弯曲空间 中的无限小邻域，其中的度规张量可以看成常数，于是可以选一个特 殊的坐标系，把线元平方对角化，根据二次型理论，这总可以办到， 这就实现了用平面逼近曲面。但对于整个弯曲流形，因为对角化的方 式逐点不同，所以不能全局的平直化。 下面顺便说说狭义相对论。学狭义相对论是也有张量的概念，但那 时为什么不分逆变和协变呢？现在可以回答了。狭义相对论存在于没有 引力的平直时空，这种平直空间的线元平方为ds^2=dt^2-dx^2-dy^2-dz^2， 这是由光速不变原理决定的。因为狭义相对性原理的限制，这里能采用 的坐标变换只有惯性系之间的变换，即洛伦兹变换。用t,x,y,z表示的洛 伦兹变换下，你若去写张量变换式，会发现有逆变和协变之分，如果引 入了x4，那么洛伦兹变换成了正交矩阵，逆变和谐变的关系变成一样的 了，这正是明可夫斯基空间的优越之处，他把非欧空间变成欧氏空间， 因为欧氏空间的张量没有逆变协变之分，所以物理定律又会化简很多。 这两种方式都是正确的，只是后一种更简单些。可是到了广义相对论中 空间根本就不能化成平直的，所以逆变和谐变不可能一样，所以x4就没 有了引入的意义，所以广义相对论中写x0不写x4. 另外，光速不变导致了ds^2=dt^2-dx^2-dy^2-dz^2，等效原理导致 了ds^2=g{;i,j}*dX{i;}*dX{j;}，这都是在仿射流形上引入度量的过程 ，所以，光速不变和等效原理可以看成是一类的原理，甚至可以说等效 原理是光速不变的推广，这是我们能够更深刻的认识时空。 关于等效原理还可以讲一些，不过精华区里有一片讲广义相对论的 实验检验已经说的很好了，这里就不重复了。 关于黎曼几何有很多内容，三言两语说不清楚，总之记住一句话： 甚强等效原理要求广义相对论必须使用黎曼几何。 |