| 广义协变原理就是广义相对性原理是广义相对论的两个基本 原理之一，是狭义相对论中的相对论原理的推广，这也正是 广义与狭义名字上区别的由来。 狭义相对性原理： 一切物理定律（引力除外）在惯性参考系中保持相同的形式。 广义相对性原理： 一切物理定律在一切参考系中保持相同的形式。 这里要解释几个名词 参考系：就是以一定方式运动的观察者，他可以定义时空坐标来描述 事件发生的时间和地点，在我们的3+1维时空，这种描述需要 4个实数。当然这种坐标的定义方式是任意的，每种定义方式 可以叫做一个坐标系。 惯性系：一个参考系，如果其中的物体满足在合力为零的情况下保持匀 速运动或静止状态，那么这个参考系就叫做惯性参考系。 物理定律：就是一些物理量和另一些物理量之间的相等关系。 为了满足相对性原理，就要对物理定律的形式做出修改，否则连普通的 力学都不满足这个原理。最简单的例子就是在非惯性系中的牛顿力学， 还记得相对加速度，牵连加速度，科氏加速度这些名词吧，当年我可是 被绕了够呛。跟惯性系的牛顿定律比，它们显然不是一个形式。为什么 会这样呢？因为坐标变换后，物理量一般不会保持原来的值，而是要变 化，变化的方式当然跟坐标变换的方式有关了，所以原来相等的关系可 能就会不等了。 按照这样的思路，如果把物理定律表示成这样的等式，它的两边在 坐标变换下按照相同的规律变化，那么原来相等的东西变换后也一定相 等，这样就可以得到符合广义相对性原理的物理定律的形式。下面的任 务就是研究物理量在坐标变换下如何变化了，只要把按照相同规律变化 的物理量放到一起组成物理定律，问题就解决了。 物理量随坐标系的变换很复杂，有的量不随坐标系变化，比如质点 的质量，这种量很容易对付，他们在坐标变换下不变，可以认为已经满 足了广义协变原理，所以不必考虑。有的不仅与自身在原坐标系中的值 有关，还和其他的量有关，这样就必须把这些相互关联的一组量同时加 以考虑。我们的经验发现，同时变化的量的个数、都是空间维数的某个 自然数幂，考虑到前面说的不随坐标变换变化的量，它的个数是1，所以 幂次是0，所以同时变化的量的个数、都是空间维数的某个非负整数幂。 根据这个幂次的不同，可以对物理量进行分类。首先，把这种按一定规 律随坐标系变化而变化的物理量组称为张量，如果张量中物理量的个数 是空间维数的n次幂，就把这个张量叫做n阶张量。 阶数相同的张量具有相同的个数（废话！）和变换规律，所以最后 的方程应当由阶数相同的张量来组成。我们把物理定律在一个参考系下 用张量方程写出来，就可以知道它在一切其他参考系下也是这样的形式， 只不过，要用经过变换的张量来代替原来的。现在唯一的问题是，张量 在坐标表换下如何变化？ 下面不得不写点数学公式了。设原坐标系Xi，i是坐标编号，应该是 从0到3，新坐标系是X'i(Xi),写成函数形式表示他们的变换关系。0阶张 量就不说了，它们不变。对于一阶张量Ai，变换关系有两种： A'i=Aj*dX'i/dXj A'i=Aj*dXi/dX'j 先解释一下，这两个式子应用了爱因斯坦求和约定，即相同的下标表示 对此下标从0到3求和，这个式子里的j就是这样的下标。在此约定下，张 量方程可以写成很简单的形式。回到主题上来，这两种1阶张量是不同的 前一种叫做1阶逆变张量，后一种叫做1阶协变张量。对于更高阶的张量， 因为有4^n个，所以要引入n个从0到3的下标将它们适当的编号,使得他们 满足变换关系类似的，不过要注意，此时有的下标满足逆变的变换关系， 有的满足协变的，这种就叫做混合张量，一般写成(p,q)型张量，表示有 p个逆变下标，q个协变下标。举例来说，(1,1)型张量的变换关系是： A'{i1,i2}=A{j1,j2}*dX'i1/dXj1*dXi2/dX'j2 其他型号的张量也可类似的写出变换关系，说白了就是原张量的某个线 性和。为了书写上的方便，逆变指标写在右上角，协变指标写在右下角 ，不过bbs上无法用角标，我就用下面的方式代替了，花括号表示指标集 ，;前面的是逆变指标，后面的是协变指标：A{i1;i2},B{i,j;k,l,m}等 等。 还有几个问题： 为什么是线性和？是因为从对称性的角度变换和逆变换的形式应当 一样，所以只能是线性变换。 为什么是齐次的？是因为非齐次项没有作用，方程两边都有，所以 就减掉了。 变换系数为什么只有这两种？还是从逆变换的角度考虑变换方程的 形式应当不变，这样自然可以推出系数。 张量的分类与变化规律就这样结束了。有了这些，就可以写出满足 广义写变性要求的物理定律了。 总之一句话，广义相对性原理要求物理定律用张量方程。这就是广 义相对性原理的唯一作用。 |