| 质点在引力场中如何运动？这应该是广义相对论的中心问题之一。 因为引力被解释成时空弯曲，所以质点在引力作用下的运动实际上 是质点在弯曲时空里的自由运动。在广义相对论以前，自由质点是 遵循牛顿第一定律的，作匀速直线运动。但到了广义相对论中，时 空是弯曲的，没有真正的直线运动，该怎么办呢？ 为了实现弯曲时空里的“直线”运动，我们必须把直线这个概念推 广。平直空间中的直线有很多性质，比如它各点处的的切向量总是 平行的、它是连接两点的线中最短的等等。 先看第一条，切矢量处处平行，显然这可以作为直线的定义，在弯 曲空间里是否能实现这种定义呢？可以。实际上，切矢量处处平行 正是测地线的局部定义。测地线是一个仿射几何的概念，不必引入 黎曼度量就可以定义测地线。不过，为了定义什么叫切矢量、什么 叫平行，就必须在仿射空间上引入一种附加的结构叫做联络，它描 述的是张量在仿射空间上平行移动时的变化规律。有了这个，才可 以对张量进行微分和比较。 不过要注意的是，联络是可以随意引入的，不同的联络得到的测地 线也不同，哪种联络是我们需要的呢？黎曼告诉我们，在黎曼几何 里可以确定唯一的无挠联络，它只跟度规张量的形式有关，这种联 络叫做黎曼联络。这样一来我们就把运动方程完全确定了。 再看第二条，两点之间的最短线，因为这里涉及了长度这种度量性 质，所以必须在黎曼几何里进行讨论了。给定两点和他们之间的一 条路经，因为ds已经由度规张量确定，所以只需积分就可以得到整 条路径的长度，之后的问题就是什么样的路径使这个长度最小了， 这只是个简单的泛函极值，用变分法很容易得到这样的路径满足的 方程。结果是令人惊讶而又合情合理的，这种路径正是黎曼联络下 的测地线。 两种方法得到一致的结果，弯曲时空里的自由质点沿测地线运动。 这里的数学原因应该是黎曼联络的存在唯一性。 下面来分析一下测地线两种定义的物理意义。 第一种把测地线定义为切矢量处处平行的曲线，这对运动质点来说 就是速度保持“不变”。所以这种定义实际上是牛顿第一定律的推 广。 第二种把测地线定义成一个某个泛函极值问题的驻点。把这个泛函 在平直空间的形式写出来，我们立刻会发现这正是狭义相对论的作 用量，如果再考虑它的牛顿形式，实际上就是能量。所以这种定义 是能量最低原理或者说是作用量原理的推广。 从这个角度来理解两种定义的一致性就更清楚了，实际上这种一致 性就是牛顿定律和能量最低原理的一致性。牛顿定律和作用量原理 的一致性从数学上看就是算子方程和泛函极值相对应的表现。从这 些类比中，我有一个问题，算子方程和泛函极值相对应这一事实和 黎曼联络的存在唯一性有什么数学上的关系吗？因为他们导出了一 致的物理结果，所以我怀疑这里面有什么数学原因，但我的微分几 何知识仅限于GR范围内，所以可能回答不了这个问题了，不过我想 所有的这些，都是某一数学对象的局部性质和整体性质之间的关系 ，从这里入手大概可以发现点什么。 |