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上节说道任何介质中平面波Exp[i(kx-wt)]总是Maxwell方程组的特解, 并伴随条件:
w=g(k) (1)
显然w/k=a=(u*e)^(-1/2)=c/n是速度.由于现在电磁参数是频率w的函数, 所以w/k=v(w), 是
某一特定频率电磁波的(相)速度.
(1)叫做色散关系, 期来源是因为不同频率(颜色)平面波在介质中速度不一样. k为正表示
沿x正向传播; 为负表示反向传播. 但是介质均匀, 不可能判断波方向, 所以有:
g(k)=g(-k) (2)
对所有可能的k叠加起来就是我们的通解(其实就是傅立叶变换).
由于每个平面波的速度一般说来不一样,
以至于我们的初始波形会随时间变化. 这个变化中的波形的中心位置随时间移动的
速度为:
vg=D[w,k] (3)
这就是所谓群速. 在真空中或者线性均匀介质中, 显然:
vg=v
这表示所有分波传播速度一样, 波形不会改变.
我们这一节要专门讲群速度, 取材于Jackson电动力学.
不同频率平面波叠加(傅立叶变换)得到波动方程通解为:
y(x,t)=1/Sqrt(2*Pi)*Integrate[a(k)Exp[ikx-iw(k)t],{k,-Inf,+Inf}] (4)
a(k)=1/Sqrt(2*Pi)*Integrate[(y(x,0)+i/w(k)D[y,t=0])Exp[-ikx],{x,-Inf,+Inf}](5)
反变换(5)解释一下: 因为波动方程是二阶方程, 所以需要两个初条件y(x,0),D[y,t=0].
(5)里面就包含这俩初条件. 所以这里和通常傅立叶积分有点差别, 可以看作广义的傅立叶
积分. 实际上(4)和(5)表示了从初始波形开始的一个演化规律. 今后为方便, 都假设
D[y,t=0]=0, 就是大家熟悉的变换了.
a(k)=1/Sqrt(2*Pi)*Integrate[y(x,0)Exp[-ikx],{x,-Inf,+Inf}] (6)
a(k)的含义就是初始波形中k分波的强度(振幅), 也表示初始波中频率为w(k)的平面波的
强度. a(k)或者写为a(k(w))就是所谓频谱.
假如初始波形y(x,0)具有定域(dx)特征:
y(x,0)=0 for x<-dx/2 or x>dx/2 (7)
这就是所谓波包.这时候从(6)可以看出a(k)必然有定域dk的特征:
a(k)=0, for kdk/2 (8)
比如初始波形直接就是平面波, 那y(x,0)是三角函数, 随x蔓延无穷, dx=Inf.
这时候观察(6), a(k)就是个Delta函数, dk=0.反过来, 如果初始波形是个delta函数,
dx=0,则(6)表面a(k)的定域dk=Inf. 一个普遍的结论就是:
dx*dk>=1/2 (9)
(9)很有意思的, 量子力学也用到来讲所谓测不准原理, 那里把粒子看成一个波包了.
考虑初始波包, 设它具有较长定域dx, 这就意味着dk比较小, 也就是说如果你画出a(k)
图象, a(k)分布在一个尖峰k0附近小范围内. 既然如此, 就可以把w(k)在k0作台劳展开到
一阶:
w(k)=w(k0)+D[w(k),k-k0](k-k0) (10)
这就是说我们的初始波有一系列频率非常接近的平面波叠加而成.
把(10)带回(4),经历一系列运算, 可以得到:
y(x,t)=y(x-t*D[w(k),k=k0],0)*Exp[i*f(k0)] (11)
Exp[i*f(k0)]只是一个相因子, 模为一.
(11)表明t时刻x处的y是从t=0时刻x-t*D[w(k),k=k0]处的y运动过来的, 而且运动速度就是
vg=D[w(k),k=k0] (12)
这样, vg具有波包整体运动速度的含义, 所以叫做群速度. 今后我们用vp表示相速度:
vp=w(k)/k=c/n(k) (13)
所以vg和vp是完全不一样的.
我们下面把vg也用折射率表示出来:
vg=c/[n(w)+w*n'(w)] (14)
vg=c/[n(w)+w*n'(w)] (14)
where n'(w)=D[n(w),w].
n'(w)>0叫做正常色散, 对大多数介质适用, 这时候明显vgvp, 甚至可以vg>c! 但是不要以为这里违反了SPR的光速
最大的结论. 因为这时候数学上表示w(k)随k变化非常迅速, 台劳极数的一阶近似就不适用
了.
要讨论介质中速度的极限问题, 首先要讨论e(w)以及n(w)的关系问题. 这一问题本世纪
初其已经被很好的建立起来, 叫做Kramers-Kronig Relation, 数学非常复杂, 不益写在
BBS上. 我直接列出主要结论:
设入射电磁波在t=0到达x=0,i.e., y(0,t)=0, for t<0, 这样我们就表示了一个任意
入射波; 可以证明:
y(x,t)=Integrate[(2/(1+n(w))*a(w)*Exp[ikx-iwt],w]
a(w)=1/(2*Pi)*Integrate[u(0,t)Exp[-iwt],x]
最后利用Kramers-Kronig Relation可以证明:
y(x,t)=0, for x-ct>0
这就表示任何电磁波传播速度不可能大于c.
以上就是群速理论的简单介绍以及指出, 在经典电动力学的范围内, 已经证明, 任何介质
中的任何电磁波, 其传播速度不可能大于真空光速.
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