| 在这节以前, 讲得比较散. 好在前面几节已经至少达到一个目的: 告诉了电磁场规律是 如何从实验总结而来. 今后的讨论, 直接从Maxwell方程组开始. 为这目的, 以比较紧凑 的形式从Maxwell方程组开始, 定义不同介质;定义两个速度:相速度和群速度;详细讨论 群速度; 证明任何介质中电磁波速度小于真空中电磁波速度(所谓光速). 等这一切准备好以后, 就可以讨论电磁学方程组的协变问题, 然后自然指出SPR的光速独立 原理的必然性. 关于群速度问题, Jackson里面有一节讲这个, 非常精采 细致. 我就按他的讲了.另外, 电磁波在任何介质中速度小于光速, 也按Jackson的材料讲. 1. 电磁场方程组(Maxwell方程组): div[D(X,t)]=pf(X,t) (1) div[B(X,t)]=0 (2) curl[E(X,t)]=-D[B(X,t),t] (3) curl[H(X,t)]=Jf[X,t]+D[D(X,t),t] (4) 其中D叫作电位移矢量, 定义为: D=e0*E+P (5) e0是库仑定律中引入的比例常数; E是电场; P代表介质中的原子分子等受电场极化产生的偶极距密度. 既然P有E引起, 可写为: P=G1(E) (6) G1是某种矢量函数, 由介质特性决定. 于是得知D也唯一被电场E决定. (4)中的H叫做磁场强度, 定义为: H=(B/u0)-M (7) u0是安培定律中引入的比例常数; B是磁感应强度; M 表示由于受磁场作用而引起介质的磁偶极距: M=G2(B) (8) G2是某种矢量函数, 由介质特性决定. 于是得知H也唯一被磁场B决定. 方程组(1)-(4)是完备的电磁学方程组, 适合于任何介质. 我们的目标是解E,B. 把(5)-(8)带进(1)-(4), 就得到关于E,B的非常复杂的方程组, 并且依赖于具体介质对 电磁场的感应方式G1和G2. 2. 根据G1和G2划分介质类型. 2-1. 均匀线性各向同性介质. 线性表示P的任何分量是E的分量的线性组合(同理M是B的线性组合), 也即P可以表达为一个矩阵作用在E上: P=A.E A还可能是位置的函数, 表示介质不同部分性质可能不同. 均匀性表示介质性质处处相同, A不依赖于位置, A是常数矩阵. 各向同性要求A是平行于E: P=e0*xe*E (9) 同理有: M=xm/((1+xm)*u0) (10) xe和xm是为方便定义的两个常数, 它们和e0,u0一起给出了P,M依赖于电磁场的比例常数. 对一切介质, xe>0; 但是xm可正可负(顺磁介质/逆磁介质). 显然在这种介质下, D=(1+xe)*e0*E=ke*e0*E=e*E (11) B=(1+xm)*u0*B=km*u0*B=u*B (12) {e,u},或者{ke,km},或者{xe,xm}就代表了介质特性, 我把他们叫做介质的电磁参数. 另外, 我们定义一个量: n=(ke*km)^(1/2) (13) 这叫介质折射率. 2-2. 一点儿推广. 上面的均匀线性合向同性介质明显要求过分苛刻:它要求价值对任何电磁波的响应必须一样. 比如对红光和蓝光的响应必须一样. 实际上从三棱镜可以分光这一事实就知道, 最理想的现实介质, 相应方式其实和电磁波频率有关.所以上面的均匀线性各向同介质 的电磁参数其实是频率的函数. 3. 均匀线性介质中的Maxwell方程组. 把以上讨论带进(1)-(4), 有: div[E(X,t)]=pf(X,t)/e (14) div[B(X,t)]=0 (15) curl[E(X,t)]=-D[B(X,t),t] (16) curl[B(X,t)]=u*Jf[X,t]+u*e*D[E,t] (17) 这里已经忽略掉介质是导体的情形. {14,15,16,17}可以得到非常复杂的相互耦合的关于{v(X,t),A(X,t)}的方程组, 共四个偏微分方程;根据Helmholtz 定理, A还有一个规范自由度,i.e.,我们可以 按需要规定div[A(X,t)]而不影响物理结果. 通常采用的规范是Lorentz规范, 这时候 关于v(X,t)的方程和关于A(X,t)方程将不在互相耦合, 可以独立求解. 如果电磁波 传播的媒介是非导体线性均匀介质,那么它们的方程就变成经典波动方程: L[v(X,t)]-u*e*D[v(X,t),{t,2}]=-pf(X,t)/e; (18) L[A(X,t)]-u*e*D[A(X,t),{t,2}]=-u*Jf(X,t); (19) {注: 在{e,u}随频率相关明显的介质, 以上方程只对特定频率满足} E和B可一如下得到: E=-grad[v]-D[A,t] (20) B=curl[A] (21) (18),(19)就是波动方程(实际上是Poissoin方程), 重要评注: (18),(19)的推导利用了Lorentz规范条件; 记住我们还有一个自然的电流连续 性条件. 考虑到这二者之后, 并考虑(20),(21), 则(18),(19)完全等价于(14)-(17). 也 就是说, 电磁场规律完全由(18),(19)决定. 讨论Maxwell方程组的协变性, 也就等价于讨论 (18),(19)两个偏微分方程的协变性. 取其中一个分量来研究: L[Y(X,t)]-u*e*D[Y(X,t),{t,2}]=0; (22) 令右边为零, 表示是在自由空间传播. 这波动方程的通解是: Y(x,t)=f(x+a*t)+g(x-at) (23) a=(u*e)^(-1/2) (24) 这里用小x表示一维情形, 是为简单.表示波沿x轴方向传播.f,g是两个任意光滑函数. g(x-at)表示沿x正向传播, f(x+at)表示逆向传播. 现考察正向波g(x-at). w=x-at (25) 叫作这波的一个相. D[w,t]=0是保相条件=> D[x,t]=a (26) 所以a就是相速度. 真空中速度为: c=(e0*u0)^(-1/2) (27) 介质中速度为: v=(u*e)^(-1/2)=c/n (28) n是折射率. 如果介质电磁参数明显依赖于频率, (28)意味着不同频率的电磁波在介质中速度不一样. 4. 群速度定义. 如前所述, 介质中电磁波速度为: a=c/n 而如前所述, n一般说来是电磁波频率的函数, 导致不同频率电磁波在介质中跑的不一样 快. 另外, 就我们的均匀线性介质而言, 可以证明 Exp[i(k*x-w*t)] (29) 总是Maxwell方程的一个特解, provided a relation between k and w: w=g(k) 显然w/k=a=(u*e)^(-1/2)=c/n是速度.由于现在电磁参数是频率w的函数, 所以w/k=v(w), 是 某一特定频率电磁波的(相)速度. 如果v不是w的函数, 那它是一个完全决定于介质的常数. 任何频率的电磁波穿越这介质时速度一样. 对所有可能的k叠加起来就是我们的通解.由于v是由介质 电池参数决定的,所以k和频率w不是互相独立的, 它们是个函数: 由于每个平面波的速度一般说来不一样, 以至于我们的初始波形会随时间变化. 这个变化中的波形的中心位置随时间移动的 速度为: vg=D[w,k] (38) 这就是所谓群速. 在真空中或者与频率无关线性均匀介质中, 显然: vg=v 这表示所有分波传播速度一样, 波形不会改变. 我们下面一节要专门讲群速度的意义. |