| 下面是一些数学变换,使上述共8个方程得到约化. 因为计算复杂, 我直接给约化逻辑: (18)=>存在矢量势A使: B(X,t)=curl[A(X,t)] (21) {(21),(19)}=>存在标量势v(X,t)使: E(X,t)+D[A(X,t),t]=-grad[v(X,t)] (22) {17,20,21,22}可以得到非常复杂的相互耦合的关于{v(X,t),A(X,t)}的方程组, 共四个偏微分方程;根据Helmholtz 定理, A还有一个规范自由度,i.e.,我们可以 按需要规定div[A(X,t)]而不影响物理结果. 通常采用的规范是Lorentz规范, 这时候 关于v(X,t)的方程和关于A(X,t)方程将不在互相耦合, 可以独立求解. 如果电磁波 传播的媒介是非导体线性均匀介质,那么它们的方程就变成经典波动方程: L[v(X,t)]-a*D[v(X,t),{t,2}]=-pf(X,t)/e0; (23) L[A(X,t)]-a*D[A(X,t),{t,2}]=-u0*Jf(X,t); (24) (23),(24)就是波动方程(实际上是Poissoin方程), a是一个常数,依赖于介质. 取其中一个分量来研究: L[Y(X,t)]-(1/a)^2*D[Y(X,t),{t,2}]=0; (25) 令右边为零, 表示是在自由空间传播. 这波动方程的通解是: Y(x,t)=f(x+a*t)+g(x-at) (26) 这里用小x表示一维情形, 是为简单.表示波沿x轴方向传播.f,g是两个任意光滑函数. g(x-at)表示沿x正向传播, f(x+at)表示逆向传播. 现考察正向波g(x-at). w=x-at (27) 叫作这波的一个相. D[w,t]=0是保相条件=> D[x,t]=a (28) 所以a就是相速度. 2. 补(群速度). 必须指出来的是, 这里的速度a是和光传输介质有关系的. 电荷相互作用测量总结成 库仑定律时引入一个参数e0;电流线路的相互作用总结成安培定律时引入一个比例常 数u0; 真空里方程(25)里面的a其实是: a=(e0*u0)^(-1/2) (29) 在介质中, 因为介质里的原子会被电场E极化; 而同时磁场也会磁化介质; 这电场与介质的相互作用直接改变介质里面电荷与电流的分布. 对最简单的所谓 线性均匀各向同性价值来说, 经过复杂运算, 可以证明只要把以前一切公式里面的 e0和u0换成: e=(1+ke)*e0; (30) u=(1+ku)*u0; (31) 其中ke>0,ku>0, 则以前一切在数学上都是适用的. 具体到目前的问题上, 就是介质 里面的电磁波速度变成; v=(e*u)^(-1/2) (32) 显然小于真空里的速度. 今后把真空里的速度记为: c=(e0*u0)^(-1/2) (33) 这就是通常所谓光速了. 另外, (26)是一方程(25)的通解. 它表明电磁波波, 不管是什么样的波, 其速度在真空和线性各向同性均匀介质中都是一样, 完全决定于电磁参数{e,u}. 这样的情况下, 电磁波的速度就是就是相速, 所谓群速度和相速度在真空和这线性介质中没有任何差别. 如果你学过傅立叶展开的话, 就知道我们的通解可以被三角函数展开. 这展开的 没一项叫作一个平面波; 每个平面波的形式是: Exp[i(k*x-w*t)] (34) 显然w/k=v是速度. 对所有可能的k叠加起来就是我们的通解.由于v是由介质 电池参数决定的,所以k和频率w不是互相独立的, 它们是个函数: w=k*v (35) 在不是真空或者均匀线性各向同性的介质中(比如介质是个导体), 我们可以得到 不同于(25)的电磁波方程. 这方程的解也不在有(26)那样的通解形式. 但是平面 波这样的特解常常是方程的解, 并附加条件: w=f(k) (36) 显然(35)是这里的特例. 再用傅立叶展开, 里面的每个平面波都具有速度: v(k)=w/k (37) 由于现在w/k不是常数, 所以每个平面波的速度不一样, 以至于我们的初始波形会随时间变化. 这个变化中的波形的中心位置随时间移动的 速度为: vg=D[w,k] (38) 这就是所谓群速. 在真空中或者线性均匀介质中, 显然: vg=v 这表示所有分波传播速度一样, 波形不会改变. |