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电动力学背景
狭义相对论的直接思想背景在于电动力学规律的经典协变不成立, 导致绝对参照系
的存在, 而探寻这参考系的努力均失败之上. 后来为狭义相对论所作的实验, 很多
又基于电动力学原理. 了解这些实验就必须熟悉电动力学. 另外,
50年代前大部分实验是无物理意义的, 比如迈氏实验. 其原因也是电动力学的原因.
所以无论想了解狭义相对论的发生基础, 还是想了解相对论的现代实验, 以及了解
为什么50年代前的大部分实验无意义, 都得懂电动力学.
本节因此用来介绍电动力学. 由于电动力学涉及非常复杂的数学, 所以很多地方
只能给结论, 无法作推导. 希望写完后能使相对论爱好者至少知道相对论的这最大的
发生基础.
首先介绍电动力学的实验背景; 然后介绍实验的数学归纳(Maxwell方程组); 再介绍
Maxwell方程组在经典相对性下的矛盾; 其后介绍Lorentz变换下的协变性.内容太多,
大概得分子节来写.
电磁学基本实验定律:
1. Coulomb's Law
这个是实验法则: 两个点电荷(q,q')间的相互作用力为强度随距离平方成反比,
于电荷电量乘积正比, 方向在电荷连线上, 同性相排斥, 异性相吸引.
这个大家如次熟悉的承述, 经历非常复杂的推导后, 可以化成微分等价形式,
称为高斯定理, 构成Maxwell方程组的一个方程:
div[E(X)]=p(X)/e0 (1)
div[.]表示散度算子, 定义为:
div[E]=Sum[D[E_{i}(X),X_{i}],{i,1,3}]
E_{i}是电场坐标投影; X_{i}是位置坐标分量; D是求导运算.
p(X)是X处带电体电荷密度.
位置X处电场E(X)定义为该点单位正电荷受的力.
2. Ampere's Law.
安培定律也是大家中学就接触的.
这个定律是根据测量一个电流对路对附近另外一个电流回大家知道电流在周围将造成磁场, 所以这实验其实测量的是磁相互作用.而且
这个测量也就是磁感应强度B的理论定义.可惜这结果不想静电力那样容易用嘴描述,
因为它涉及回路积分. 对长导线来说,
电线周围的磁场就尊重中学的所谓右手大母子法则:
磁场方向是绕电流方向的圆切线, 而其强度正比于电流强度, 反比于轴向距离.
同样经理非常复杂的数学运算后, 我们同样得到一个等价微分形式:
curl[B(X)]=u0*J(X) (2)
curl是场旋度微分算子, J(X)是X处的电流密度, 表示X处单位时间通过单位横截面
的电荷, 是矢量; u0是比例常数.
curl的形式比较复杂, 不方便在BBS上用文本方式表达; 用张量表示的话又怕大部分
人都不明白, 只好就写到这了.
另外, 从Coulomb's LAW 还可以直接得到E(X)的旋度为零:
curl[E(X)]=0 (3)
从Ampere's Law 得到B(X)的散度为零:
div[B(X)]=o
(1),(2)是两个实验归纳; (3),(4)是两个性质.
性质三表明可以把电场表达为一个标量的梯度, 从而极大化简数学复杂度:
(3)=>E(X)=-Grad[v(X)] (5)
v(X)是标量函数, 叫电势. Grad 是梯度微分算子.
性质(4)表示B(X)可以表达为另外一个矢量的旋度:
(4)=>B(X)=curl[A(X)] (6)
A(X)称为矢量势.
{(1),(5)}=>L[v(X)]=-p(X)/e0 (7)
{(2),(6)}=>L[A[X]]=-uoJ(X) (8)
L是Laplace微分算子. {(7),(8)}就是电势和矢量势的微分方程. 解出它们来,
稳恒电磁场就确定了.
以上原则上稳恒电磁现象全部理论就完了. 整个部分不含时间在里面, 所以叫稳恒.
但是, 电磁现象的另外一个重要部分是电磁波的传播, 它涉及下面的实验定律:
3. Faraday's Law.
这实验也是中学就介绍过的: 磁场中放一闭合电路, 让磁场变化起来,
结果方向电路中出现电流. 结论就是磁场的变化造成电动势.定量的说, 就是这
感应电动势负正比于磁通变化率(磁通是B(X)的面积分). 但是电动势本身是
电场E的回路积分, 这样就有关系:
Integrate[, 回路]=-D[phi,t]
phi=Integrate[,回路所围面积]
Integrate是积分算子, <.,.>是矢量内积算子, D是微分算子. 上面是Faraday's Law
的积分形式的数学描述.
如果这电路是静止的, 则通过比较直接的计算可的微分关系:
curl[E]=-D[B,t] (9)
这样就看出磁场的变化将改变电场.静电场的性质三此时被(9)取代.
如果回路相对于我们的坐标系有相对速度V,
则通过剧复杂数学推导可同样得到微分关系(9). 这是非常重要的, 它说明Faraday's
Law 是满足经典相对性的!.
还有一个电荷数守恒条件, 也是电流的连续性条件:
div[J(X,t)]+D[p(X,t),t]=0 (10)
到目前为止, 真空中的实验规律已经被总结完了.
在均匀线性介质中的电磁学规律经过进一步推导可得下述更普遍规律:
div[D(X,t)]=pf(X,t) (11)
div[B(X,t)]=0 (12)
curl[E(X,t)]=-D[B(X,t),t] (13)
curl[H(X,t)]=Jf[X,t] (14)
其中:
D(X,t)=e0*E(X,t)+P(X,t)(P是介质极化强度) (15)
称电位移矢量.
H(X,t)=(B(X,t)/v)-M(M是介质磁化强度) (16)
称磁场强度.
pf是自由电荷, 区别于极化电荷等束缚电荷; Jf同理是自由电流.
但是(14)是明显数学不对的, 因为它导致div[curl[H]]!=0, 这是数学错误的.
其原因在于这些实验总结的规律发生了冲突. Maxwell改写(14)为:
curl[H(X,t)]=Jf[X,t]+D[D(X,t),t]
于是最后得到:
div[D(X,t)]=pf(X,t) (17)
div[B(X,t)]=0 (18)
curl[E(X,t)]=-D[B(X,t),t] (19)
curl[H(X,t)]=Jf[X,t]+D[D(X,t),t] (20)
这就是著名的Maxwell方程组. 我文章前面说法有错误, 实际它们是三个实验的归纳,
不是四个. 一开始我多记了焦耳发热定律, sorry.
可以说, 电磁学全部建立在(17,18,19,20)这些方程上面.
它们就是电磁场的物理规律, 完全是实验归纳. 按一贯的经验,
这些规律该是不依赖于惯性系选择的. 可是事情将大出你的预料: 结果表明,
它们将对惯性系的选择不独立. 下节再谈这部分.
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