|
这篇专门谈Lorentz变换,因为它是所有内容里最简单的. 由于涉及线性代数运算, 有
些地方就直接给结论了. Lorentz变换的推导需要狭义相对论的两个基本假设. 光速
独立于源和参考系这一条件, 将给出时空的联系. 正是这一原理, 使得时间和空间
首次出现了联系. 并且这一原理, 将直接给出这时--空的度规结构.度规是几何结构
的内蕴量, 是最重要的.但是我们下面的推导将不用这些抽象概念, 直接用线性代数.
相对论另外一个基本假设就是物理规律在惯性系等价. 这一假设蕴涵一个重要对称
性, 而这对称性将保证满足光速独立不变原理的变换是线性变换. 也就是说,
Lorentz变换必然是线性的. 读到这里, 相信你可以回想起来,科普级别的推导, 线性
形式是作为假设, 或者以"为方便记"这样的借口引进的.
Part A. Lorentz 时空.
光速独立性导致时间空间不独立, 以后以时空这词表示.设两个惯性系K,K'.
K中坐标X=(x1,x2,x3,x4)(x4=ict), K'坐标X'=(x1',x2',x3',x4')(x4'=ict').
i=Sqrt[-1], 为方便引进的.
K'在K中速度为V. 设t=0两坐标系原点重合, 并且这时位于元点设一点光源发光.
由光速独立原理, 我们在两个坐标系中都将观察到一个球面波的传播. 其波前以
光速c沿径向传播.传播距离平方R=(ct)^2=x1^2+x2^2+x3^2 in K and
R'=(ct')^2=x1'^2+x2'^2+x3'^2. 所以有:
x1^2+x2^2+x3^2-c^2t^2=0
x1'^2+x2'^2+x3'^2-c^2t'^2=0 (1)
这样就知道:
x1^2+x2^2+x3^2-c^2t^2=p(V)*(x1'^2+x2'^2+x3'^2-c^2t'^2
其中p(v)=>0是一个可能和速度有关的量,表示由于相对运动引起的可能度规变化.
但是由于K,K'两系统对称性,我们必然有p(V)^2=1=>p(v)=1, 这样我们就知道K,K'的
时空是等度规的. 度规相同表示一切几何内蕴量一致.
x1^2+x2^2+x3^2-c^2t^2=x1'^2+x2'^2+x3'^2-c^2t'^2
用内积(就是矢量点乘运算)表示就是:
= (2)
注意,(2)是光速独立及不变性的直接严格结果(在提醒一下,相对论两个基本假设直接来源
于波动方程的Galilean不协变性, 从而引起电动力学困难, 最后导致ether假设,
激发早期(被证明有严重问题)实验探求, 终于引发革命这个历史.严格实验是60年代作的).
普遍的相对性原理就是, 寻求坐标变换:
X=F(X';V) (3)
使度规不变性(2)得以满足. F是一个矢量函数,V是个参数表示K'在K的速度.
我们讨论一下它的性质.
由于相对论惯性系等价的假设, 变换F必然有唯一的逆变换G:
X'=G(X;V) (4)
同时这等价性蕴含下述对称性:
G(X;V)=F(X,-V) (5)
(4),(5)是很强的条件, 它们限制F必然是线性变换, (5)同时也为这线性变换作了
更强限制. 线性变换可以用矩阵表示
X'=A(V)X
X=A(V)^{-1}X' (6)
A(V)^{-1}表示依赖于速度的逆矩阵. A(V)是四阶矩阵, 有16个元素需要确定.
由下列条件:
=; X'=A(V)X;X=A(V)^{-1}X' 及线性代数运算可以证明,A(V)是列正交,
行正交的矩阵, 这就有12个方程, 所以还差四个参数待定.
再考虑K,K'关系:
For x1'=x2'=x3'=0, X的坐标部分位置是Vt. 这时三个条件,
但是同时带进来矩阵A(V)外的元素t和t'. 所以现在这三个条件其实只相当于一个,
我们还剩三个元素待定;
For x1=x2=x3=0, X'的坐标部分为-Vt'. 这有是三个条件.
这样我们终于唯一确定了矩阵A(V).
以上便是Lorentz变换的推导. 对特殊情况, 选K,K'某坐标重合, 另外两坐标平行,
就可以得到简单变换关系, 通常科普书上的就是.
如果在形式话,并且深刻一些, 应该讨论Lorentz群.它是O(3,1)群.
--
※ 来源:·BBS 水木清华站 bbs.net.tsinghua.edu.cn·[FROM: tethys.itp.ac.c]
|