| SPR两个原理里面有一个是信念: 物理规律不该依赖于惯性系的选择. 在经典相对性里面, 力学规律就是Newton第二定律. 它明显是独立于(惯性)坐标系选择的. 但是现在关于电磁场的物理规律, Maxwell方程组, 则被发现如果按照经典相对性, 这规律 是依赖于坐标系选择的. 下面这节就要讲这个问题. 首先我们还是要回顾Maxwell方程组: 1. 电磁场方程组(Maxwell方程组): div[D(X,t)]=pf(X,t) (1) div[B(X,t)]=0 (2) curl[E(X,t)]=-D[B(X,t),t] (3) curl[H(X,t)]=Jf[X,t]+D[D(X,t),t] (4) 方程组(1)-(4)是完备的电磁学方程组, 适合于任何介质. 我们的目标是解E,B. 把(5)-(8)带进(1)-(4), 就得到关于E,B的非常复杂的方程组, 并且依赖于具体介质对 电磁场的感应方式. 2. 均匀线性介质中的Maxwell方程组. 把以上讨论带进(1)-(4), 有: div[E(X,t)]=pf(X,t)/e (14) div[B(X,t)]=0 (15) curl[E(X,t)]=-D[B(X,t),t] (16) curl[B(X,t)]=u*Jf[X,t]+u*e*D[E,t] (17) 这里已经忽略掉介质是导体的情形. {14,15,16,17}可以得到非常复杂的相互耦合的关于{v(X,t),A(X,t)}的方程组, 共四个偏微分方程;根据Helmholtz 定理, A还有一个规范自由度,i.e.,我们可以 按需要规定div[A(X,t)]而不影响物理结果. 通常采用的规范是Lorentz规范, 这时候 关于v(X,t)的方程和关于A(X,t)方程将不在互相耦合, 可以独立求解. 如果电磁波 传播的媒介是非导体线性均匀介质,那么它们的方程就变成经典波动方程: L[v(X,t)]-u*e*D[v(X,t),{t,2}]=-pf(X,t)/e; (18) L[A(X,t)]-u*e*D[A(X,t),{t,2}]=-u*Jf(X,t); (19) {注: 在{e,u}随频率相关明显的介质, 以上方程只对特定频率满足} E和B可一如下得到: E=-grad[v]-D[A,t] (20) B=curl[A] (21) (18),(19)就是波动方程(实际上是Poissoin方程), 重要评注: (18),(19)的推导利用了Lorentz规范条件; 记住我们还有一个自然的电流连续 性条件. 考虑到这二者之后, 并考虑(20),(21), 则(18),(19)完全等价于(14)-(17). 也 就是说, 电磁场规律完全由(18),(19)决定. 讨论Maxwell方程组的协变性, 也就等价于讨论 (18),(19)两个偏微分方程的协变性, 电流连续性条件的协变性,还有Lorentz规范的协变性. 如果这几个规律同时在坐标变换下协变, 则一定保证Maxwell方程组协变. 我将如下讨论: A) 首先证明Maxwell方程组在Galilean变换下不协变. 为此只需要证明上述几个条件任意一个不协变即可. 我下面证明波动方程不协变.为简单记, 证明真空中的一维波动方程不不协变. 真空中一维自由波动方程是: (取其中一个分量来研究) 在我们的实验室参考系K中, D[Y(x,t),{x,2}]-u0*e0*D[Y(x,t),{t,2}]=0; (22) D[Y(x,t),{x,2}]是对位置x的二阶导数, 同理D[Y(x,t),{t,2}]是对时间t的二阶导数. 现在考虑运动中的惯性系K', 设它的x'轴于K重合, y',z'两轴于K有相同指向; 再设K'以 速度V沿K的x正向运动. 那么Galilean变换为: x'=x-v*t, y'=y,z'=z,t'=t (23) 现在利用隐函数求导法则求微分算子的变换规律: D[Y,{x,1}]=D[Y,{x',1}]*D[x',{x,1}]=D[Y,{x',1}] (24) => D[Y,{x,2}]=D[Y,{x',2}] (25) 这表明对位置的微分在galilean变换下协变;现在看对时间的微分: D[Y,{t,1}]=-D[Y,{x',1}]*D[x',{t,1}]+D[Y,{t',1}]*D[t',{t,1}] =-V*D[Y,{x',1}]+D[Y,{t',1}] (26) => D[Y,{t,2}]=V^2*D[Y,{x',2}]-2*V*D[Y,{x',1},{t',1}]+D[Y,{t',2}] (27) 于是波动方程在Galilean变换下成为: D[Y,{x',2}]-(u0*e0-V^(-2))*D[Y,{t',2}]+2*V*D[Y,{x',1},{t',1}]=0 (28) (28)表示波动方程不协变! 另外, 交叉导数项表明, 任何只针对空间坐标的变换是不可能 导致波动方程的协变的(这个你可以自己按这方法作一下). 任何想使得波动方程协变的 坐标变换必须连时间一起变! |