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相对论运动学简明讲义 abada ----通过相对论，我门可以看到：怎样从简单的观察，进入深刻的思考---- 一、地铁上的简单实验和观察： 在匀速开动的地铁上，在地板上拍皮球，与在停着的地板上拍，和在家里地板上拍皮球， 没有感到什么不同。 思考：我们深入思考一些有关的相同性和相对性的问题。 物理规律的相同性 在拍皮球的人看来，皮球的每次运动都是垂直于地板的，做上下直线运动。 这可以说明一个假设：在匀速开动的地铁上，和停止的地铁上，以及在家里，物理规律是完全一样的。 但在站台上的人看来，皮球的运动是一个接一个的抛物线。 这又可以说明： 1、物体的运动轨迹的相对性，直线与曲线的相对性 物体的运动轨迹是相对的；在不同的参考系的观察者看，可以不一样。一个参考系看是直线运动，另一个参考系看 则可能是曲线运动。 2、运动垂直与倾斜的相对性 运动轨迹的垂直性是相对的。在一个参考系下看一个物体运动的轨迹可能是垂直于地板的， 但在另一个参考系看，可能是倾斜的。 3、同一地点的相对性 在匀速运动的地铁上看，垂直拍皮球每一次皮球都落在地铁地板的同一地点上； 而在站台上看，皮球每一次都落在地面坐标或铁轨坐标的不同地点上。 不存在超距作用 假如世界上物质作用和信息传递有速度的极限（即不存在超距作用），而存在极限速度的运动。 那么，根据物理定律在参考系的一致性的假设，极限速度对所有的参考系都是一样的常数。 真空中光速的相同性 光速若是物理极限速度，则一光的速率与在什么参考系上观察无关，与光的方向也无关（空间的对称性）。 同时性的相对性 同时的定义 如果两个瞬时事件发出的光子，在这两个事件发生的地点的连线的中点相遇， 则定义这两个事件是同时发生的。 假如相对站台运动的地铁列车的头和尾，分别都与铁轨摩擦而出现了火花。 那么，列车头和铁轨打出的火花，与列车和铁轨尾打出的火花，是否是同时打出的？ 这要根据同时性的定义来判断。 假如在列车看来，两火花在列车头与尾的中点相遇（列车坐标系），则说明， 打出两火花在列车坐标系是同时性的两个事件。 而若是这样，站台上的人看，打出两火花必然不会是同时性的两个事件，证明如下。 因为打火花这个事件，在地面坐标系，铁轨的两个位置上各有地点记录A-B。 火花相遇需要一段时间，在这段时间内，列车已经移动一个距离。 又知火花在列车的中点相遇，所以，列车的中点此时必定不在铁轨坐标系的A-B的中点。 所以，在铁轨坐标系看来，两火花不是同时打火的。 列车坐标系上得出两火花同时打火，而铁轨坐标系上的出这两火花不同时打火， 说明了同时性的相对性。 有些相对性，在地铁上效应不明显，所以我们想象在飞船上。 二、飞船上发射光子 深入思考：时间间隔的相对性，长度的相对性 这需要一些计算。然而，只需初中数学、懂勾股定理就能看懂。 时间间隔的相对性 在水平方向，航天员在飞船上垂直往下发射一颗子弹，子弹与飞船在飞行方向上是相对静止的，而地面上的人看子 弹的轨迹是向飞船飞行方向倾斜的斜线（忽略空气阻力和重力），子弹下落时，在水平方向也会做惯性运动，跟着 飞船跑。假设，飞船扔的子弹是光子（以光速射出），暂称为光弹。 在航天员坐标系看，如下图： 飞船 1 1 H 1 1 1 光弹 上面图里，飞船上计算飞机的高度：H=ct', t'为光弹落地所需时间（按飞船钟表）： 而在地面看来，示意图变为： 飞船->u 1 1 1 H 1 1 1 --------------------光弹->u 光弹轨迹是比飞船高度H更长的斜边，斜边长为ct，光弹水平走了ut距离。于是： H平方+(ut)平方=(ct)平方 又根据H=ct'，得到：(ct')平方+(ut)平方=(ct)平方，或： (ct')平方=(ct)平方-(ut)平方，即 t'={squr[1-(u/c)平方]}t 设γ=sqr{1/[1-(u/c)平方]}, 得： t'=t/γ 或 t=γt' 这就是飞船扔光弹落地，飞船上测得时间间隔t'与地面测得的时间间隔t的变换关系。 由于光速c是速度的极限，u小于光速c，可知γ>1. 两事件若在地面上间隔1小时，飞船观察则间隔：t'=t/γ <1小时。 这就是时间间隔的相对性。 有了以上的准备，你就很容易进行： 洛伦兹变换的推导 狭义相对论的二个基本原理： 1、对等原理：物理定律对所有惯性系的观察者对等; 对各个不同的惯性系中的观察者来说，物理定律的数学形式应是一样的. 如果一个物体在太空距离其他物质足够远，就可近似看作是孤立物体。.太空中远离其他星球的自由漂流物体都近似于孤立物体。 孤立物体在某参考坐标系中如果做静止或匀速运动，那么这个参考系就是惯性系。 2、定律：物体运动、相互作用或信息传递，有极限. 推论： 根据1，2所述的定律应当对所有惯性系一致。假如极限是常数c，那么，所有惯性系中的速度极限都是c. 按极限速度运动的物体，在所有的惯性系看来，都是相同的速度. 通常认为真空中的光速就是极限速度c. 假设两惯性系xoyt和x'o'y't'相对以速度u沿x轴运动： y y' | | | | | | | | ---->u | | | | | O'-------------------------->x' | O-------------------------->x 假设在某时刻，两惯性坐标系xoyt和x'o'y't'重合，且各自的钟表t=t'=0 惯性坐标系o'以速度u只有沿x轴的运动.根据原理，u 同一个物理事件，在xoyt坐标系中定位为(x,y,t)发生， 在在x'o'y't'坐标系中定位为(x',y',t')发生. （一）坐标变换--洛伦兹变换 先证明y=y' 假设你现与y相对静止，并看到y'相对于y向右运动， y y' | | | |--->u | | | | 到纸（屏幕）的背面会看到上述运动是： y' y | | u<---| | | | | | 再回到屏幕正面，但现在你保持与Y'静止，看到： y y' | | u<---| | | | | | 上两图说明，y'与y是可互相替换而无差别的。即y=y'. 同理若有另外的不沿其方向相互运动轴：z=z' 现在考察两坐标系x,t与x',t'的关系。 假设方程组P： x'=Ax+Bt+D t'=Ex+Ft+G 其中A、B、D、E、F、G都是待定系数。这个变换之所以假设是线性的，因为不是线性的话， 在一个惯性坐标系看没有加速度的运动，在另一个惯性坐标系看就有加速度了。这与原理1矛盾。 现在考察以下几个特殊事件，以决定待定系数。 事件1） o'与o重合的时候，o'在xoy坐标系为x=0,t=t'=0, 代入方程组P，得到：D=0，G=0. 所以方程组P可简化为方程组P1： x'=Ax+Bt t'=Ex+Ft 事件2） 在xoy中观察，o'在o的钟表t时刻所在的位置为 x=ut，这时在x'o'y'中x'=0. 代入方程P1，得到x=(x'-Bt)/A=ut，可得B=-Au. 所以方程组P1又可写为方程组P2： x'=Ax-Aut t'=Ex+Ft 事件3） 在x'o'y'中观察，o在o'的钟表t'时刻所在的位置为 x'=-ut，这时在xoy中x=0. 代入方程P2，得到x'=-Aut=-Aut'/F=-(A/F)ut'，可知A/F=1即F=A. 故方程组P2又可写为方程组P3： x'=Ax-Aut t'=Ex+At 事件4） 在t=t'=0时刻，沿x轴有一光子发出。根据原理2，光速在两坐标系中都是一样的常数c， 所以t时刻后，光子的位置在各坐标系中的表述分别是： x=ct x'=ct' 代入方程组P3，可得：E=-Au/c(平方) 方程组P3可写为： x'=Ax-Aut t'=-[Au/c(平方)]x+At 事件5） t=t'=0时刻，沿y'轴发射一光子。t（t'）时刻后，光子在各自坐标的定位表述分别为： 在x'o'y't'看那光子的位置： x'=0 y'=ct' 在xoyt看那光子的位置（光子沿y'运动则必是倾斜于y轴运动的）： x=ut x平方+y平方=(ct)平方 再由y=y'可得： (ut)平方+(ct')平方=(ct)平方 上式通过代入方程组P3中的t'=-[Au/c(平方)]x+At， 可得出： A平方=1/[1-(u/c)平方] 因此，一事件在两坐标系时空表述变换方程组是 x'=Ax-Aut t'=-[Au/c(平方)]x+At 其中：A平方=1/[1-(u/c)平方] A常称为变换因子γ. 这就是狭义相对论的基础：洛伦兹变换。 （二）速度变换 设一物体在两不同参考系的速度分别表为v和v'（只考察x轴的分量，其他轴的分量各系一样） 它们之间的变换关系如下： v'=dx'/dt'=γ(dx-ut)/[γ(dt-udx/c平方)] =(dx/dt-u)/[1-(dx/dt)u/c平方] =[v(x)-u]/[1-v(x)u/c平方] （三）尺缩效应： x'o'y't'系中有一与x轴平行长L'的细杆，则由x'=γ(x-ut)得：△x'=γ(△x-u△t), 又△t=0(要同时测量两端的坐标)，则△x'=γ△x, 即： L=L'/γ L'=γL 上式设细杆在xoyt坐标系测长度为L. （四）钟慢效应： 由洛伦兹变换可知，t=γ(t'+x'u/c平方), 故得△t=γ(△t'+△x'u/c平方), 又△x'=0, (要在同地测量)， 所以 △t=γ△t' △t'=△t/γ 四、新的不变量 通过洛伦兹变换 x'=Ax-Aut t'=-[Au/c(平方)]x+At 其中：A平方=1/[1-(u/c)平方] 可以看到时间标度t和空间标度x，都随坐标系的变换而改变。 但通过洛伦兹变换计算，还可以发现一个新的不变量： x平方-(ct)平方= x'平方-(ct')平方 若取用一定的单位，使得c=1，又采用复数记法i，可知： x平方+（it）平方 在坐标变换中为不变量。而此式恰是更高维的(x, it)时空坐标中的“时空距离的平方”。 换言之，在惯性系坐标变换中，“两事件时空距离”是一个不变量。 时间度标it | | | 事件B | | | 事件A |_________________________ 空间标度x 而参照系坐标变换相当于使四维时-空坐标系发生了旋转。 （待续） |