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对“最小运动原理”的证明
“最小运动原理”又称“最小作用原理”，是物理学上的一条最基本的运动定律。它是物体所固有的惯性（惰性）的具体体现。其含义为 a → b d∫mv ds = 0 或 d∫(1/2)mvv dt = 0 即在空间中，从a点到b 的动量路程积累或动能的时间积累为最小。很显然，牛顿第一定律的内容正与此相符： ①当速率一定时，质点如沿直线运动，则动量的路程积累为最小； ②当路程一定、所用的时间也一定时，质点只有以匀速运动，动能的时间积累才为最小。例当一半时间高速、一半时间低速运动时 虽然 (v + Δv) t/2 + (v - Δv) t/2 = vt 不变 但是却 (v + Δv)^2 * t/2 + (v - Δv)^2 * t/2 > vv t 所以这不符合最小运动原理。 ③在匀强引力场中，质点是受恒力作用的。可以类比证明，当质点沿抛物线做变速运动时，动量的路程积累也为最小。 我们知道在滑梯上，欲想使滑下的时间. 即 t =∫(1/v) ds ( a → b) 最短 必须让下滑方向与铅垂线的夹角正弦与下滑速度之比为一定值才行。 即 sinα/v = 常数 同理，欲使 ∫mv ds ( a → b) 最小 那么就必须让 sinα/（1/mv） = mv sinα= 常数 当质点沿抛物线做变速运动时这一条件是能够得到满足的。因为其中的v sinα为质点的水平运动速度，而这一速度在抛体运动中始终是不变的。 通过计算也可以证明，第③种情况的正确性。例平抛运动. 设 v。= 1 米/秒 g = 10 米/秒秒 t = 2 秒 则 X = v。t = 2 米 Y = gtt/2 = 20 米 (1) 如先自由落体，再水平匀速运动，则a → b ∫v ds =∫sqrt (v。v。+ 2gy) dy + sqrt (v。v。+ 2gy)X = 307.684 米米/秒 (2) 如先水平匀速运动，后再自由落体运动，则a → b ∫v ds = v。X + ∫sqrt (v。v。+ 2gy) dy = 269.634 米米/秒 (3) 当沿斜面滑下时 a → b ∫v ds = ∫sqrt (v。v。+ 2gy) sqrt (XX/YY + 1 ) dy = 268.969 米米/秒 (4) 而沿抛物线运动时 因为 x = v。sqrt (2y/g ) 所以 dx/dy = v。/ sqrt (2gy ) 那么 a → b ∫v ds = ∫sqrt (v。v。+ 2gy) sqrt ((dx/dy)^2 + 1 ) dy = 268.667 米米/秒 可见，还是情形（4）的结果为最小。证毕。 |