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费马原理的最新表达形式及其应用 马国梁 （ 山东省章丘市第一职业中专 明水 250200 ） 摘要 本文从另一角度提出了费马原理的表达形式，并据此推出了球面平行介质和平面平行介质的折射方程. 关键词 费马原理 折射方程 在一般教科书和报刊中，常将费马原理写成如下的微分形式 d（∫n dl ）= 0 (积分区间 A→B) （1） 式中n为介质的折射率，A、B是空间中固定的两点，dl 为连接A、B两点空间曲线上的微元段。然而在实用上，这个公式却极不方便。它使推导过程及结果往往都变得非常复杂。 笔者经研究发现，费马原理还有另外一种表达形式，其微分式是 d (n r sinα) = 0 （2） 式中α是光线与介质中微元面法线的夹角，在该微元面上折射率处处相等；r是在由光线与法线决定的平面内微元面的曲率半径。虽然n、r和sinα都在随地点变化，但其乘积却始终保持不变。该公式适用于光在所有不均匀介质中的折射情况。在有些情况下用起来特别方便。 1. 在球面平行介质中，因每个微元面的法线都在其半径方向上，此时折射率只是其半径的函数。 n = n(r) （3） 设 光线的出发点仍然是A ，则根据（2）式得 n r sinα= nA rA sinαA （4） 在球心极坐标系中，设极角为φ 因为 dφ= dr tanα/r = dr sinα/ r sqrt (1- sinαsinα) 所以将（4）式代入此式可求得得 dφ= dr / r sqrt [ (nr/ nA rA sinαA )^2 – 1 ] （5） 这就是光线在球面平行介质中的折射方程。它适用于宇宙中所有星球表面的大气折射。例如在地球表面上，沿地平线穿过大气层发射到太空中的光线偏折角可这样计算. 设 n = 1+（n。-1）e ^ [- (r-r。) / H ] （6） 其中 no = 1.0002926 ro = 6371 km H = 8 km 那么利用（5）式积分，r的积分区间是从ro → ∞ 可得光线所对的地心角是 φ= 90°39.7′ 光线的偏转角为39.7′，这与实际情况是相符的。 2. 在平面平行介质中，因为各微元面的曲率半径都相等且为无穷大，所以（2）式变为 d(n sinα) = 0 （7） 由此可以推出现在最为常见的形式 n1 sinα1 = n2 sinα2 （8） 此公式不仅适用于折射率渐变的介质，也适用于折射率突变（有分界面）的两种介质间的光折射。 在平面平行介质中，折射率只是其垂直方向上高度的函数。即 n = n(y) （9） 则由 n sinα= nA sinαA 和 dx/dy = tanα 可推得 dx = dy / sqrt [ (n/ nA sinαA )^2 – 1 ] （10） 当然，在r = rA→ ∞ 时，由于 r/rA = 1 ，再令 r dφ= dx 、dr = dy ，故由（5）式也可推得此式。即平面平行介质只是球面平行介质的特殊情况。 再将n = n(y) 式代入（10）式，即可得光线在平面平行介质中的折射方程。 dx = dy / sqrt [ (n(y) / nA sinαA )^2 – 1 ] （11） 解此微分方程即得到光的折射路径方程。例如在地面附近，当研究由大气折射所形成的“海市蜃楼”现象时即可用此法求解。此时可设n = no - ky ，nA = no ，αA = αo ，将之代入（10）式可最后解得 x = (n。sinα。/ k ) ln [n。(1+cosα。) / ( n。- ky + sqrt ( (n。- ky )^2 - (n。sinα。)^2 ) )] （12） 光的折射路径会随发射角αo 的变化而变化。当sinαo > 1/no 时即将在远处产生“蜃景”。其详情不再赘述。 参考文献： [1] 芮策等.试析“海市蜃楼”现象[ J ].大学物理.1991.10（10）：44 ~ 46 [2] 尹增谦等.渐变折射率介质中光线路径的数值计算[ J ].大学物理.2003.3（3）：8 ~ 10 |