我们一步步说

下面的图，当圆盘受到图示两个力的作用，圆盘将以3-9为轴翻转

角加速度α=Q/I    I……圆盘直径转动惯量

（这个公式与f=ma等价，是最基本的公式，无需推导）

那么圆盘边缘是否存在如图所示的线加速度？

“角加速度α=Q/I    I……圆盘直径转动惯量
（这个公式与f=ma等价，是最基本的公式，无需推导）”

怎么能不推导呢？推导如下：
由f=ma，两边同乘r得：
fr=mra = mr dv/dt = mr d(rΩ)/dt
如果r是常数，则：
fr= mrr d(Ω)/dt = mrr α = I α = Q
才有：α=Q/I，

否则就要对r微分得（假设Ω为常数）：
fr= mrΩ d(r)/dt = mrΩ Rcos(ωt) = mRRΩ sin(ωt) * cos(ωt)

不过这里还有个问题，f=ma两边同乘r有问题，
因为Q=f*l，l是力偶的间距，而f*r是什么意思呢？

我看能否先简化一下，虽然不准确，
但是可以表达一下利用“章动惯性力”的思路：
假设12点有质点m，先不考虑它向3点方向的转动，
那么在力偶矩Q=FL的作用下产生角加速度：
α=Q/I = FL/mRR
现在假设经过陀螺自转的T/4周期后，
m在12点位置所具有的角速度w近似等于m旋转到3点处时的进动角速度Ω，
那么有定积分，积分范围为t=0到t=T/4：
w=∫αdt = ∫（FL/mRR）dt =（FL/mRR）t
=（FL/mRR）（T/4）= FLT/4mRR
= FL（2π/ω）/4mRR
=FLπ/2ωmRR
=FLπ/2ωI
≈Ω

但实际中，12点处的m要向3点处转动，
所以计算就复杂一些？具体你再看看吧？
我只能大概表达一下自己的意思，

我的意思是只有f=ma，以及推论M=m d(rv)/dt，
（推导的方法就是在f=ma的两边同乘r）
没有现成的Q=Iα可以套用，因为Q=Iα是M=m d(rv)/dt的特殊情况，
即当M=m d(rv)/dt中的r为常数时，才有Q=Iα成立，
否则就要用M=m d(rv)/dt来推导出角加速度α的表达式，

同样，v=rω是成立，但a=rα就不一定了，要做简单推导：
由v=rω，两边微分：dv/dt = d(rω)/dt，如果r=常数，就有：
a=d(rω)/dt = r d(ω)/dt = rα
否则就要计算：a= d(rω)/dt = ωdr/dt + rdω/dt
就不是简单的a=rα关系了？

比如你现在有的是线速度：
v(t)=RΩsin(ωt)
线加速度：
a(t)=RΩωcos(ωt)
不能用简单的：α=a/r，而是：
a= Ωdr/dt + rdΩ/dt = Ωdr/dt + rα
 
如果Ω=常数，则dΩ/dt=α=0，于是：
a= Ωdr/dt = ΩRωcos(ωt)
还是原来的那个式子，得不到a与α的关系式，因为α=dΩ/dt=0，
即如果Ω=常数，那么dΩ/dt=α=0，
如果简单套用a=rα，启不是得到：a=0了？
但实际上a=RΩωcos(ωt)

你再考虑一下吧，看来你还没从某个怪圈里绕出来，
其实我说的推导方法思路算是比较清晰了，
虽然与书上的答案差着一个常数π/2≈1.5，
不过以后再仔细分析一下看了，
可能还是要用类似你那个“光盘实验”的模型才好，
然后分析光盘边缘上12点处的质点m向3点转动，
在12点处：
α=M/I = mgL/m（RR+LL）
在3点处：
α=M/I = mgL/m（LL）

在12点处：
α=M/I = mgL/m（RR+LL）
在3点处：
α=M/I = mgL/m（LL）

怎么会有这个？？

角加速度是整个刚体对旋转轴（定轴）说的，同一个刚体上怎么会出现多个角加速度？

看图，力偶矩Q作用于圆盘，圆盘必以3-9为轴旋转，旋转的角加速度就是α=Q/I

圆盘上各点垂直于盘面的线加速度a=αr…… r---该点到3-9轴的垂直距离，不是吗？？？？？

双盘？先看看这个

还是考虑一个圆盘的情况，
圆盘因章动（章动角变化量为θ）引起质心高度变化为：
Δh=L*sinθ
于是势能变化量为：mgΔh，
假设圆盘质心的进动线速度为v，由机械能守恒得：
mgΔh=mvv/2
即：
v = sqr（2mgL*sinθ/m）
把v=LΩ代入得：
Ω= sqr（2g*sinθ/L）

θ=∫wdt = ∫∫αdt
α=M/I = mgL/mLL = g/L
所以在自转周期T/4内定积分（t1=0，t2=T/4）：
θ=∫∫αdt = ∫∫(g/L)dt = ∫[(T/4)g/L]dt
=(T/4)(T/4)g/L
= TTg/16L
=(2π/ω)(2π/ω)g/16L
=ππg/4ωωL

当θ很小时，近似有：sinθ≈θ，代入得：
Ω= sqr[2g（ππg/4ωωL）/L]
= （πg/ωL）sqr（1/2）
= [π/sqr（2）] g/ωL
=[π/sqr（2）] mgL/ωI

我上次算出来的是近似值是：
Ω=[π/2] mgL/ωI
而：
Ω=[π/sqr（2）] mgL/ωI
怎么比较书里给的值相差更多了？书里的公式是：
Ω= mgL/ωI
再看看吧，或者老马来指点一下？

http://cache.baidu.com/c?word=%D5%C2%B6%AF&url=http%3A//cai%2Etongji%2Eedu%2Ecn/wanluokecheng/Reading/R%5Fxuanjin/xuanjin7%2Ehtm&b=36&a=18&user=baidu>

例如，先在陀螺轴的外端水平地托住陀螺的轴，让陀螺自转后，将其外端由静止释放，可以看到陀螺轴的端点将沿一条摆线运动，如图11所示，这就是章动的一种形式。以后，在阻力的作用下，章动逐渐消失，陀螺作稳定的旋进。

章动都没了，只剩下稳定的旋进（进动），此时你用章动还怎么解释？

原来老哥一直没弄清我在说什么……

请来看视频http://8711.51aj.com/YTBlog/MusicFrame.aspx?VideoID=V000305980

圆盘以ω自转，并以Ω稳定旋进，这时才有v(t)=RΩsin(ωt)，注意那个代表速度的箭头长短变化，事实就是如此啊

唉，怎么回事呢？我还是从你的介绍中明白的一些东西，
可怎么看来你自己却还不知道陀螺进动和不倒的原因？
首先，那个v是怎么来的？你可别说是由于有进动角速度Ω，所以有v=rΩ，
因为我们要探讨的不就是进动现象Ω产生的原因吗？
所以如果你这样回答，我就要问：Ω是怎么来的？
也许你又回答：是测出来的，那不是开玩笑了吗？

其次，你应该知道自转角速度ω越小，“光盘点头”会越明显，
这个“光盘点头”是什么意思呢？不就是与章动角变化量相关的吗？
即：
θ=∫∫αdt = ππg/4ωωL
所谓“稳定旋进”是当ω较大时，相对ω较小时的明显“点头”而言的？
只不过是“点头”幅度减小很多而已，但始终还是存在的，只是大小不同罢了？
连续增加ω，“点头”幅度（或角度θ）就会以ω的平方倍减小，


唉，这些问题如果还难以取得一致的话，确实就很难探讨下去了，
你再慢慢考虑一下吧，还是最初的那个问题：v和Ω是怎么来的？

已知圆盘正在规则进动，进动角速度Ω，这个角速度是多大没有关系，只是一个标记符号，就算是假设吧。
以此为基础，寻找并建立它与力偶Q和自转角速度ω的关系

这在分析问题时不是常用吗？

在这个假设前提下，v(t)=RΩsin(ωt)已经是事实，再据此推算与其相对应的加速度。此加速度形状为a(t)=2RΩωcos(ωt)

圆盘在Q的作用下，边缘事实上就存在角加速度导致的线加速度
a=QRcosθ/I=QRcos(ωt)/I

现在只是将这两个事实联系起来就是了，这两个加速度就是上图的同一条蓝线

这种反推有点凑公式了，其中的问题我也只能点到为止？
还是别着急，也许过一段、冷静下来会想通的，

另外，我说的θ可不是ωt，是圆盘微小的“点头”，

我说的θ就是ωt，而你说的θ，在稳定旋进时=0

这个公式是一步步推出来的，丝毫没有凑的嫌疑，不然请老哥指出哪一步走不通？

我的中心思想是质点自转一周，经历的加速度a=QRcos(ωt)

正是这个加速度导致质点运动速度的变化为v=RΩsin(ωt)

由于质点在12、6位至垂直于盘面的速度为0，所以圆盘不会沿3-9轴翻转（不倒）；由于v在左右半盘的变化，所以进动，就这么简单

“我说的θ就是ωt，而你说的θ，在稳定旋进时=0”

这就是书里的一种错误认识，看看怎样才能逐步澄清吧，