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数学上的两个低级错误
时间和空间有抽象的和实际的。抽象的时空可以看成是绝对对空或数学的时空，实际的时空则是相对时空或物理学的时空，所以有必要弄清数学与物理学根本区别。 当今在数学上也存在很多低级错误，只是人们视而不见罢了。例如，人们认为线是由点组成的就是一例。点组成线不过是一种直觉，经不得推敲。 第一，点是没有大小的，线是有大小的。有大小和无大小有本质的不同，有和无是不可调和的。多少个没有大小的点之和仍然是没有大小的点。点组成线的实质是无中生有。无中生有是违背常识的和不可能的。 第二，古人说：一尺之锤，日取其半，万世不竭。这就是说线无论怎么样分割，也是更短的线，永远也分不出一个不能再分的点来。这也就充分说明，线不是由点组成的。 人们认为数轴上的点无限密数轴就变成了直线。这是错的，无论数轴上的点怎样密，总可在它们之间插入无数个新点，证明如下： 设数轴上A、B两点与原点的距离也是A和B。那么在A、B之间就可以插入无数个点（A+B）/n,这里n是大于1的自然数。因此，点总是不连续的，点不能组成线。在数轴上点和数的意义是相同的，既然点总是不连续的，数轴上的数也是不连续的。因此，点组成线和数轴上的数是连续的，这是当今数学上的两个低级错误。 线不是由点组成的，那么线是由什么组成的呢？线是由线元组成的。线元不是点而是无穷小的线段。数轴上除了有点以外，还有线元。其实，函数中的极限、微分和连续的概念中的无穷小都可以看成是线元。 有人会这样反驳说：点运动不是成线么？ 不对！点是没有大小的，物质是有大小的。所以点不是物质，也没有质量和惯性。从哲学上我们知道，没有无运动的物质也没有无物质的运动。因此，点是人们的一种抽象，一种虚构，点实际上并不存在。当然也就不能运动。点运动成线，这里人们是用线元代替了点。运动的是线元而不是点。 历史上 “飞矢不动”的 芝诺悖论就是混淆了点和线元的区别。在芝诺看来，由于飞箭在其飞行的每个瞬间都有一个瞬时的位置，它在这个位置上和不动没有什么区别。 在这里，飞矢不能看成一个点，而是一个线段或一个线元。尽管线元是一个无穷小，但每一个无穷小任何时候都占有无数个位置。于是，飞箭在其飞行的每个瞬间都不是占有一个位置，而是占有无数个位置，其中还有新的位置。也就是说，飞箭始终在动。芝诺悖论就这样轻而易举地破解了。 象点是人们的一种抽象，一种虚构，实际上并不存在的一样，没有粗细的线和没有厚薄的面实际上也是不存在的。 因此，点线面在数学上是存在的，但是，线不是由点组成的，面不是由线组成的，体不是由面组成的。线、面、体分别由无穷小的线元、面元和体元组成。在物理学只存在有大小的“点”（线元）有粗细的线和有厚薄的面。线元、面元和体元分别是一维、二维和三维的，严格地说，现实世界中只存在体元，线元和面元都是不存在的。 一般而言，在数学上具体和抽象的东西都存在，在物理学上只存在具体的东西而不存在抽象的东西。这就是数学与物理学根本区别。必须注意，不是说物理学不可以抽象，只是说抽象的东西在物理学上并不存在。因为物理学是实验科学，抽象的东西是无法用试验的方法加以检验的。 在物理学上只存相对时空，不存在绝对时空。由此看来，牛顿的绝对时空虽然是不存在的，但作为一种物理学抽象也是无可指责的，历史上马赫对牛顿的绝对时空的批判就没有任何道理。 |