正和说：“始终不能脱离参考系。离心力是非惯性系内的等效力”，
那么我们平时说的“向心力=离心力”都是在非惯性系内的观测结果吗？

///正和：“向心力=离心力”是指“作用力与反作用力等大反向共线”中的“等大”。

我记得总是假设原点O是静止的呀？这应该是属于惯性系了？

///光是一点静止还不行，还要不旋转才是惯性系。

正和说：“如果在惯性系中看问题，小球当然只受绳力（向心力）”，
那么绳子的方向永远是：F - mvv/r =0 ???

///不要将作用力与离心力搅在一起。且mvv/r不是离心力的普适公式，只适用于匀速圆周运动，而且是一个标量式，不好用。
普适公式是第二定律（矢量式，由于黑体字不明显，以下用蓝色字母表示矢量，非蓝色字母表示标量）
F=ma=m(dv/dt)
其中v可以用正交分解法(r方向和垂直于r方向)写成如下矢量式：
v=(dr/dt)(r/r)+ω×r
当且仅当dr/dt=0时
v=ω×r
a=dv/dt=d(ω×r)/dt
当且仅当dω/dt=0时
a=ω×(dr/dt)=ω×v=ω×(ω×r)=-ω²r=-(v/r)²r

上述推导中的两个“当且仅当”的含义是什么呢？其实就是匀速圆周运动！还要注意上式的a是向心加速度，所以有一个负号。ma是向心力，-ma才是离心力。

你下文中的问题是伪问题，把不作用在同一物体上的力混在一起。我就不答了。

是否有：F - mvv/r = ma 的情况呢？
如果有，那么这里的mvv/r 不是“等效”于一种力吗？简称“等效力”，
各位怎么看这个问题呢？我真的被搞糊涂了，

还请正和给指条明路：
具体在什么情况下我们才能说：做匀速圆周运动的小球受到两个力---向心力F和离心力mvv/r ？
具体在什么情况下我们只能说：小球只受到一个向心力F？

总之小球的运动轨迹很大程度上取决于极轴方向（径向）的：
f=ma = m|r|"
这个约束条件怎样考虑呢？

总不能只考虑垂直于极轴方向（切向）的：
r×F= r×d(mv)/dt

我本来对这些小问题不感兴趣，但见你们争论这么久没有结果，现给出一个自以为是最简便的解法如下：
对上下两个球都以绳为Y轴，初始点为原点，则小球在各自坐标系上的运动方程都是（仅在Y轴运动）：

g+2d^2Y/dt^2=v^2/(L+Y)

///正和：这个方程表达得简明些就是
g+2Y''=g+2a=v²/(L+Y)
物理解释是什么呢？两边乘以m，得
mg+2ma=mv²/(L+Y)
mv²/(L+Y)-2ma=mg
由此可看出宇观的思路：离心力（反作用力一）加上两个小球在绳向的惯性力（反作用力二）等于下垂小球的重力（都用标量值计算）。原理上符合牛顿第二、第三定律。但可惜的是，离心力公式mv²/r不是普适的（详见77750帖），只适用于匀速圆周运动，不适用于这个问题中的非匀速圆周运动。

g为重力加速度,V为初始的垂直于绳的速度，它们均为不变量。此方程为非线性非齐次微分方程，较难解，参考一般的高数即可。

///v怎么能是不变量呢？在垂直小球下降过程中，收绳力做功，v增大；反之v减小。即使只考虑垂直于径向的分速率，由于角动量守恒，它也会因R=L+Y的变化而变化。

方程解到这一步实际也完成了。

///如果你真的是列出了正确的微分方程，那解不解开都是无所谓的。可惜你的微分方程横空出世，看不到正确的逻辑。

要获得上球在以小孔为原点的坐标方程，仅需要按下式转换：


X'＝cos(L+Y)vt


Y'=sin(L+Y)vt

v=V+U（矢量和），v增加也可能只径向分速度U增加，
因为只有径向的合力不为零，
而切向的合力为零，这你也承认？你甚至假设切向的加速度都为零的？
那这个切向速度V怎么改变呢？

我说的是垂直于极轴的切向力，可你总是说切线方向上的分力，
我们都承认切线方向上有绳的分力，
绳的另一个分力就是沿曲率半径R上的向心力N= m|v||v|/R = Fsinφ，
如果把这个Fsinφ也分解到“切向”，那么绳力在“切向”的合力为零，
这总没有什么疑问吧？哪里还有切向加速力？

那么剩下的就只有N= m|v||v|/R 了，如果把N分解到切向：
Nsinφ= （m|v||v|/R）sin φ  ，
才会出现切向的等效加速力，
而其另一个分量：
Ncosφ= （m|v||v|/R）cos φ 
就是径向（r方向）上的离心力=mVV/r = F，

自己画个图就清楚了，不过你一定要说没有这个离心力N，我也没有办法了，
总之，绳力F在垂直于极轴r的方向上的合力为零，这是没有问题的？因为它们是垂直的关系，
那么切向速度是怎么改变的？你也很难说的清楚了吧？

这也是个办法，不用等效离心力的概念，
就说绳力F或沿曲率半径R上的分力Fcosφ与对应的向心力不等，
即：合力f不为零，
那么这个f在切向的分力大概就是要寻找的切向加速力了？ 不过按理说它们是相等的？合力为零？ 合力不为零的是正和说的切线方向， 但是这样分解绳力就很难看出对切向速度V有何影响了， 只能看出对切线方向上的速度v=V+U有影响， 还不如直接假设小球受到两个力，一个是绳力F，一个是小球曲线运动所需的向心力mvv/R， 由于它们不共线，所以可以直接把mvv/R分解到切向？ 直接得到切向加速力， 即：直接分解曲线运动所需的“向心力”mvv/R，而不是分解绳力F，

也行，反正能把意思表达出来就行，
至于是用向心力还是离心力表述那是次要的，
只要能把切向加速力找到就行，否则实在是令人费解？

v=V+U（矢量和），v增加也可能只径向分速度U增加，
因为只有径向的合力不为零，
而切向的合力为零，这你也承认？你甚至假设切向的加速度都为零的？
那这个切向速度V怎么改变呢？

///正和：真不知你是怎么学初中物理的。合力就是合力，哪还有什么“径向合力”、“切向合力”？我什么时候承认“切向合力为零”了？莫明其妙啊。绳球模型中小球只受一个力：绳力。绳力在切向和法向上的分力都不为零，所以速度的大小和方向都要改变。切向分力只改变速度大小不改变方向，法向分力只改变速度方向不改变速度大小。所以对运动物体受力按切向和法向正交分解才有意义。注意在绳球模型中由于收绳，小球速度不垂直于径向，小球轨迹的“切向”是小球的瞬时速度方向，并不是垂直于绳子的方向。你一直将垂直于绳子的方向当做“切向”，你这个“切向”与小球的速度方向不重合，如果这个方向上有分力，将引起小球大小和方向都改变。而且，如果限定作正交分解，则你的这个“切向”（垂直于绳子方向）上的分力为零。但你这种分解正如前述没有意义。正确的切向是小球瞬时运动方向，绳力沿这个切向和垂直于这个切向的方向（即法向）作正交分解，两个正交分力都不为零，这样分解出来的两个分力性质才是纯粹的：要么只改变速度大小，要么只改变速度方向。

我说的是垂直于极轴的切向力，可你总是说切线方向上的分力，
我们都承认切线方向上有绳的分力，

///那只是你个人私自定义“切向”，与公认的“切向”并不相同（刘岳泉除外），而且没有什么意义。既然你承认瞬时速度方向这个切线上有分力，难道你不承认这个真正的“切向”上的分力是改变速度大小的吗？

绳的另一个分力就是沿曲率半径R上的向心力N= m|v||v|/R = Fsinφ，
如果把这个Fsinφ也分解到“切向”，那么绳力在“切向”的合力为零，
这总没有什么疑问吧？哪里还有切向加速力？

///你这样将法向分力再分解，是正交分解吗？如果是正交分解，那就不能分解到切向。如果不是正交分解，即使你分解到切向上的分力抵销了切向上原来的分力，但另一个分力刚好就是最初的绳向合力！仔细体会去吧！孺子难教也！！下文的可笑问题就不回复了。

那么剩下的就只有N= m|v||v|/R 了，如果把N分解到切向：
Nsinφ= （m|v||v|/R）sin φ  ，
才会出现切向的等效加速力，
而其另一个分量：
Ncosφ= （m|v||v|/R）cos φ 
就是径向（r方向）上的离心力=mVV/r = F，

自己画个图就清楚了，不过你一定要说没有这个离心力N，我也没有办法了，
总之，绳力F在垂直于极轴r的方向上的合力为零，这是没有问题的？因为它们是垂直的关系，
那么切向速度是怎么改变的？你也很难说的清楚了吧？

一时没有考虑角动量守恒，考虑角动量守恒的方程更简单了：

对上下两个球都以绳为Y轴，初始点为原点，则小球在各自坐标系上的运动方程都是（仅在Y轴运动）：
g+2d^2Y/dt^2=v^2L＾2/(L+Y)＾3
g为重力加速度,V为初始的垂直于绳的速度，它们均为不变量。此方程为非线性非齐次微分方程，较难解，参考一般的高数即可。

///正和：宇观先生究竟是否知道如何计算角动量？？V为初始的垂直于绳的速度，而角动量=绳长*垂直于绳的速度，角动量守恒而绳长变化，垂直于绳的速度大小怎能是不变量？？

从这段时间的讨论来看，参与的反相者没有一个对基本物理概念和数学的掌握是合格的。反相还有什么希望？


方程解到这一步实际也完成了。

要获得上球在以小孔为原点的坐标方程，仅需要按下式转换：

X'＝cos(Lvt/(L+Y)^2)

Y'=sinLvt/(L+Y)^2)