我承认在一点上误解了你，表示歉意。但你的表述也确实有问题。一般不说“初速度是不变量”，因为“不变量”是指在一个时间过程或一个空间范围上不变。初速度是一个特定时空点的边界条件，不用说它就是一个常量，说它是“不变量”反而是误导，以为你在说一个过程。
这个问题的动力学方程（微分方程）没有解析解，但可以在不求出解析解的情况下研究它的某些性质，比如有没有平衡点。你的解法仍不正确，因为变速率非圆周运动的离心力公式不是你那样凭直觉可以得到的，用加速度的定义去严格求解a，它非常复杂。
概念清晰的解法如下：
对平面上的小球而言（以小孔为原点，r是平面上小球的极径，θ是极角，用蓝色字符代表矢量）
r=(rcosθ,rsinθ).........................(1)
v=dr/dt=(r'cosθ-θ'rsinθ,r'sinθ+θ'rcosθ)
v=(r'cosθ-ωrsinθ,r'sinθ+ωrcosθ).........(2)
初始条件为r₀=(L,0)，v₀=(0,V)
由角动量守恒r×mv=r₀×mv₀
得mrcosθ(r'sinθ+ωrcosθ)-mrsinθ(r'cosθ-ωrsinθ)=mVL
即ωr²=VL................................(3)
(3)式对于熟悉角动量守恒的人来说，是可以直接应用的。
(3)代入(2)得
v=(r'cosθ-(VL/r)sinθ, r'sinθ+(VL/r)cosθ)................(4)
对(4)用a=dv/dt去求加速度a，非常复杂，不要凭直觉假定其结果与匀速圆周运动相似，得出什么a=vv/r之类的东西。我这里打算绕过它，由(4)得
v²=v_x²+v_y²=r'²+(VL/r)².....................(5)

由机械能守恒定律得
1/2mv²+1/2mr'²-mg(2L-r)=1/2mv₀²-mgL=1/2mV²-mgL

v²+r'²=V²+2g(L-r)...........(6)

将(5)式代入(6)得
2r'²+(VL/r)²=V²+2g(L-r)...........(7)
这就是径向运动方程或垂直小球的上下运动方程（作线性代换r=z+2L即可），没有解析解。

现在来求解是否有平衡点。假定有平衡点，即r不再变化，于是有r'=0，且离心力与重力平衡。

r'=0时(5)式变成v²=(VL/r)²，即

v=LV/r.........(8)

由离心力与重力平衡有

mv²/r=mg

r=v²/g.......(9)

(8)代入(9)得

r³=L²V²/g........(10)

用a表示初始离心加速度，即a=V²/L，代入(10)得

r/L=(a/g)^1/3

这就是平衡条件；如果初始离心力小于重力，平衡在下降后达到；如果初始离心力大于重力，平衡在上升后达到。更严密的分析将发现垂直小球的下降（或上升）越来越慢（当然是在开始的加速达到最大升降速率之后），无限趋近而不能实际达到平衡（这是一种极限平衡），但在实验上应当很快达到平衡，因为实验的精度有限。

前面77798帖用径向速率r'=0及力平衡两条件得到的r³=L²V²/g........(10)

只是达到平衡的必要条件之一，还有一个必要条件——能量守恒条件

只有r=L这个解有意义。也就是说，平衡只能在r=L时达到，即一开始就是平衡态，垂直小球一直静止不动，否则小球将产生振荡。

    非常抱歉﹕昨天晚上或还对相关的讨论内容感到莫名其妙，原来是 正和 在一个星期前的老帖重新讨论，而在此之前我还根本不知道有这个“经改造的绳球模型”。

    我承认，这个“经改造的绳球模型”的小球是一种具势运动而且离不开“角动量守恒”这条基本原则，具势运动把它当做一种天体运动的模型解题的方法就轻而易举了。对于yanghx的那种“绳球模型”约束运动解题可能真的会要打破动量矩守恒的框框了。

    在这里，正和采用的能量守恒法解题的，但在这里仅仅是解出了一个r′= 0 的特例，而且第(7)式的第一项可能出现了误笔。r′= 0 成立的充要条件是“在小孔处用夹子夹着不能移动”时系统已经处于力学平衡状态，因而“松开小孔处夹着绳子的夹子”后作圆周运动的小球仍无径向运动。

    更普遍的方程是应根据角动量守恒原则，把方程进一步化解为极坐微分方程的表达形式﹕

(d²u)/(dφ)² + u + g/(uVL)² =  0     (其中u=1/r)

这个方程也只能在 r≈L的附近范围内按级数展开近似求解得到一个近似的椭圆方程，准确的r极坐标方程表达形式几乎不大可能。

    m(d²r)/(dt)² - m(dφ/dt)²r = mg      r²dφ/dt = VL

代入计算同样得到小球运动方程的普遍表达形式﹕