假设小球的离心力小于向心力：mv0v0/r ＜ mg，（否则小球不是飞走就是不动）
假设球1是旋转球m1，另一个是m2，两球做加速运动，
初始径向加速度是：r"=|a|=mg - mv0v0/r 径向初速度u= （mg - mv0v0/r）t 就不知道以后加速度是否会变呢？小球m2会自己停止下落吗？

如果m2不能自己停止下落，那怎样使m2逐步停止下落呢？
用一个弹簧垫在下面？直到弹力=重力：kx=mg
这样看来一旦失去了径向速度u，可就只是剩下切向速度v0了？
（轨道切线速度v=v0+u  矢量和）

我想了一下，虽然球是以v切入小圆的，但是由于小圆的半径r不变了（不拉绳了），
可螺旋线的r还要以惯性减小，结果绳力小于离心力，
所以还是离心力使得小球做径向的减速运动，振动数次后使得径向速度u=0，
比如你的模型中如果不用弹簧减速，而是用一个卡子使得m2落地后就被固定，
那么m1就会出现我说的“衰减振荡”使得最后的u=0 ？
不夸张地说，小球m1恐怕不会自己停下来？

最简单的一个实验就是：当小球旋转时，用力收一下绳子，
都知道当一个物体受力平衡时，我们一般只要加一点点力，
这个物体就会开始运动，并且移动一段距离才因为摩擦力停下来，比如一辆玩具车吧，
可是这里的旋转小球怎么不会如此呢？按说离心力不是与向心力平衡的吗？
这就是离心力代替了“摩擦力”，很快就让小球停止了拉动方向的惯性运动，
那么剩下来的恐怕也只能是原来的圆周线速度了？

行星的情况比较复杂，可能还要另外考虑？

相信你也知道我的意思了？问题出在哪里呢？探讨着看吧，不许太夸张了哈？
我想来想去还是首先要多谢你想出这个改进模型，使得匀速收绳成为可能，

其次，
一、这种情况下的小球m1的轨迹就肯定是一条“等角螺线”（对数螺线）了，
其极坐标形式为：r=ae^kθ
最大特点是：
该螺线上任意点P的切线与极轴（r方向）的夹角φ都相等：φ=C，
所以被称为“等角螺线”（又叫对数螺线），
这意味着该曲线与圆心在极点O的圆不可能有“公切点”（除非u=0），
所以小球不能以 v=v0+u 切入小圆轨道，
只能与小圆轨道相交后，由离心力提供径向减速力，
最后使得径向速度u=0后，才能进入小圆轨道，

该螺线的另一个特点是（推论）：
该螺线上任意点P的切向分速度v0与径向分速度u之比不变，
因为：v0/u = tgφ =C
只要u不变，v0也不会变，当u逐步减小到零时，φ也同步减小到零，
于是大圆和小圆的线速度都是v0，
这就保证了“切向动量守恒”在此情况下成立：r*ω=C=v0

另外，由于在小球沿等角螺线的运动过程中，
总有：离心力=向心力：mv0v0/r  = mg，
所以沿轨道切线方向上的合力为零，即总有：
v= v0+u =C（常数）
|v|=sqr(v0v0 + uu) = C

但并不是所有的轨道都满足“切向动量守恒”，
目前看，似乎只有等角螺线可以满足“切向动量不变”，
不过自然界中存在着大量的等角螺线，动物中有贝壳、鹦鹉螺、象鼻、
一些动物的角与毛等，植物中有向日葵、凤梨、雏菊等，
还有就是一些旋转星云等，总之不夸张的说：圆只是一种特殊的等角螺线，

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那么什么轨道不满足“切向动量守恒”呢？
只要螺线上任意点P的切线与极轴（r方向）的夹角φ不是常数：φ≠C，
或者离心力≠向心力：mv0v0/r ≠ mg，
就难以保证“切向动量不变”了，因为：

1、由于φ≠C，切向分速度V=v*sinφ ≠ C = v0，
即使没有切向力的作用，切向速度 V=v*sinφ 也会变化，
特别当某点P的切线与极轴（r方向）的夹角φ=90度时，
P就可以成为轨道与小圆的“公切点”， 使得小圆线速度rω = 轨道切线速度v = 极轴切向速度V，
（比如在P点处停止拉绳）
而不是“切向动量守恒”要求的：rω= v0 =C，

2、如果离心力≠向心力：mVV/r - mg = f≠0，
那么由于φ≠C，轨道切线方向上的f分力为：
f'=f*sinφ，所以轨道切线速度v≠C，
于是极轴切向速度 V=v*sinφ中的v与φ都是变量，
这就难以保证：V= v*sinφ = C = v0，

再看椭圆轨道（一半是拉绳，一半是放绳）和双曲螺线，
它们都满足φ≠C的要求，于是都可以与小圆有一个“公切点”，
所以即使没有切向力，极轴切向速度V=v*sinφ也会变化，这是由轨道特性决定的？
具体到行星椭圆轨道问题，显然大多情况下都有：mVV/r - mg = f≠0，
V= v*sinφ 中的v与φ都是变量，而且在椭圆长轴顶点（最近日点）处有：
椭圆切线与极轴（r方向）的夹角φ=90度，可以成为小圆的切入点，
所以在这种情况下存在“角动量不变”是有可能的，
也确实有用万有引力公式、f=ma、角动量不变来证明其运动轨迹为椭圆的文章，
而且天文观测也确实证实了在此种情况下的角动量基本不变（还是比较精确的），

但这还不能保证“角动量守恒”的成立，
因为在“等角螺线”轨道的情况下，“角动量守恒”好象就难以成立？
而且各种轨道就很多了，都能满足“角动量守恒”吗？
是否只有“等角螺线”轨道不满足呢？还很难说？
比如“连锁螺线”：r=a/sqr(θ)，
它对应的条件是：θ'rrr=C，而不是θ'rr=C，

具体的说，如果离心力=向心力：mv0v0/r0 = mg，
此时触碰一下（或下拉一下）m2，
m2将在原来的位置附近做上下振动，

因为当m2获得一定速度u后，m1的r将减小，但是由于极轴切向速度V=v0=C， 所以离心力 mv0v0/r　＞　mv0v0/r0  = mg，
m1将做加速度为（v0v0/r -  g）的径向减速运动：
u=u0 - ∫（v0v0/r -  g）dt
当 u=0 时 ，m1以加速度（v0v0/r -  g）反向运动，
如果没有任何摩擦，m1就可能会在平衡位置附近来回振荡，

如果是用匀速转动的电机带动m2下落，那么这种平衡振荡就不会出现了，
伴随的是电机的负荷越来越大，m1的角速度增加，极轴切向速度不变：V= v0=C，
但是当电机停转时，m1会出现微小的振荡，振荡幅度与电机停转的快慢有关，

如果松夹子前，
小球m1的线速度v0较高，离心力＞向心力：mv0v0/r0  ＞ mg，
那松开夹子后，m1就会以椭圆轨道“振荡”，
因为：
离心力使得m1远离圆心，r增加，VV/r 减小，
V=v*sinφ  中的φ减小，sinφ减小，v在径向分力（mVV/r - mg）sinφ  的反向作用下减小，
所以径向加速度（VV/r - g）在小球远离圆心的过程中迅速减小，
当 VV/r = g 时，径向远离加速度a=r"=0，而后开始反向加速，
在椭圆的长轴顶点处，φ=90度，径向速度u=0，
以后u的方向改变，m1沿返回椭圆轨道运动，

m2在竖向做上下变加速振荡：
z=r= a(1-ee)/(1-ecosθ)

这确实是类似行星的椭圆轨道，
看来这个改进模型还是没有考虑绳子匀速收缩的情况？
椭圆和双曲螺线 r=a/θ 轨道都是满足“角动量不变”的情况， 这就是现在主流学者的思路了，可是他们不能只考虑宏观的天文呀？ 还应该看看身边动植物的生长规律？ 总之，还要考虑到各种轨道下的情况，看看角动量是否守恒？ 比如在此模型中，改用恒速电机带动m2下落， 或者改用磁场加电场的装置来缓慢改变电子的圆轨道半径r， 当然还可以利用某种径向加速度变化的规律， 使得r的变化规律满足“连锁螺线”：r=a/sqr(θ)， 这些情况可能都不满足角动量守恒？



 

如果用两套这种装置，只是把下缀的小球去掉，
两条绳子在木板下面连接，令两个球的mv0v0/r0相同，
那么它们就处于平衡状态下，都做匀速圆周运动，

1、突然用力向一个方向拉动绳子，移动Δr后，固定绳子：
两个球都会沿椭圆轨道进入两个圆轨道，
一个是大圆，一个是小圆，
估计可以保持角动量不变：L= ωrr =C，

2、缓慢（与线速度相比）向一个方向拉动绳子，同样移动Δr后，固定绳子：
两个球近似以“等角螺线”运动，最后同样是一个大圆轨道和一个小圆轨道，
可能是保持切向动量不变：ωr= ω0*r0 =C，

3、如果在2的基础上，突然放手：
两个球都将按椭圆轨道来回运动，相位相差180度，

4、同样在2的基础上，缓慢顺力移动绳子：
当绳子静止后，两个球都恢复到等半径、等线速度的圆周运动，

5、如果向一个方向拉动绳子的力量过大（加速度过大），
绳子固定后，两个球虽然还是作圆周运动，但很可能是遵守如下规律：
ωrrr = C，
甚至可能是：
ωrrrr = C，  或  ωrrrrr = C，...... ，
全看你用多大的加速度去拉动绳子了？
（注意：拉绳子的力可以不是 F=GMm/rr，可以是任意的）
因为当球的径向速度较大时，切线速度v与极轴的夹角φ很小，
所以拉绳子的加速度a=r"越大，在相同的时间内，得到的v就越大，
这样当收绳到0.5r0后，v不但可以增加到2v，还可以增加到3v、4v、...，
而小球最后都可以速度nv、沿“公切线”切入半径为0.5r0的小圆轨道，

是呀,经常出现这个问题,我一般是在“修改”时，把帖子里的换行符号都去掉,
只按排版上的直观换行,一般可以解决,

如果是看贴,就要改用"单屏",至少一般乱码的地方会不同,
这样"双屏"结合"单屏"最后才能看到或复制到完整的帖子,呵，
是不是论坛没有交钱的原因呢？