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野云鹤问题新解
[楼主] 作者:马国梁  发表时间:2006/06/22 10:16
点击:177次

野云鹤的问题是:陀螺的自转惯量和自转角速度一定、陀螺的重力和重心位置也保持不变,自转轴从水平位置开始释放,求当进动惯量无限增大(两盘无限分开)时的低头角度和进动角速度。
这个问题细算起来比较复杂,故在这里我们只介绍计算结果。
我们设圆盘半径为6厘米,自转角速度是18转/秒,重心离开支点6厘米,那么
当两盘不分开时,自转轴离开竖轴的角度是91.456°,公转速度的0.4586转/秒;
当两盘相距12厘米时,自转轴离开竖轴的角度是92.882°,公转速度的0.4567转/秒;
当两盘相距1.2米时,自转轴离开竖轴的角度是117.153°,公转速度的0.2173转/秒;
当两盘相距12米时,自转轴离开竖轴的角度是124.475°,公转速度的0.02625转/秒;
可以看出,两盘分开的距离越大,低头越多,公转角速度就越小。
可以算出,当两盘分开的距离趋于无限大时,自转轴离开竖轴的角度将趋于atan(sqrt(2))≈125°16′,公转速度将趋于0 .
另:当两盘不分开,但将重心无限远移时,因为重力矩的增长远不如进动惯量增长的快,所以最终也是趋向于这么个结果——张角为125°16′,公转速度将趋于0 .
因为进动速度等于公转速度除以张角的正弦,张角最大才125°16′,所以两个速度的大小悬殊不大,变化规律相同。在此不再赘述。
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[楼主]  [2楼]  作者:马国梁  发表时间: 2006/06/22 10:48 

当陀螺自转轴始终保持水平时属于另一个问题。此时如果陀螺的自转惯量和自转角速度一定、陀螺的重力和重心位置也保持不变,那么它所需要的进动角速度确实不变。当进动惯量增大时,只是它所需要的进动动能也增多了。机械能不再守恒。
 [3楼]  作者:正和  发表时间: 2006/06/22 14:57 

设陀螺自转轴从水平静止开始……

如果形成规则进动时自转轴水平,那么从自转轴静止开始的初始条件显然是自转轴上仰。这个过程非常复杂,一般只能数值解。但我们可以略过这个过程,来看初始态与进动态的关系。
设陀螺初始态自转轴水平静止,自转角速度为ω,自转惯量为i,水平公转惯量为I,自转轴水平时重力矩为M;并设形成规则进动时自转轴倾角为A(与z轴正向的夹角)。
初始时垂直角动量分量为0,由于重力矩始终垂直于ω,故形成规则进动后ω不变,
自转角动量的垂直分量为iωcosA,
进动角动量的垂直分量为IΩsin2A。
由于重力矩水平,故垂直角动量分量守恒,于是有
iωcosA+IΩsin2A=0
并由规则进动公式(参见本人早前帖子)
2cosA-iωΩ+M=0
于是可解得从水平静止开始形成规则进动时的公式
Ω=(M2-I2Ω4)/(iωM)
这是一个迭代公式。Ω很小而I不太大时,有Ω≈M/(iω)。如果I非常大,则有Ω≈0;如果I-->无穷大,则有Ω-->0。

请马先生和鹤先生用此公式根据你们的具体实验参数计算你们的光盘实验进动角速度。

[楼主]  [4楼]  作者:马国梁  发表时间: 2006/06/23 15:32 

回复:聪明的正和先生
聪明的正和先生,你凭什么认为陀螺自转轴在从水平静止到进动平衡的过程中,不遵守机械能守恒定律、而遵守动量矩守恒定律?此时重力矩干什么去了?真的不起作用吗?
即使单在竖直方向总动量矩也不守恒。虽然陀螺在水平静止时总动量矩的竖直分量等于0,但在进动平衡后竖直分量即不等于0了,只是大小不再变化而已。这是由于重力矩作用的结果。你是不是也爱自作聪明啊?
 [5楼]  作者:正和  发表时间: 2006/06/23 17:15 

重力矩始终水平,垂直方向的角动量分量当然不变。
其它守恒定律虽然未直接使用,但不会被违返。就象用dJ=Mdt时,转动动能增量一定等于构成力矩的各力所做的功。
大略地说,重力矩做的功变成了进动的动能了。

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