设圆盘半径为6厘米，质心离支点为6厘米不变。自转转速为18转/秒。陀螺自转轴从α= 90度位置开始释放，两盘分开12厘米：

自转速度为18转/秒、180转/苗、1800转/秒

谢谢

精确的计算可能还早一点？不过总可以试一下看，
不知马先生具体是怎样计算的？
进动角速度W与圆盘“自翻惯量”J2=（r2*r2/4）m相关已经被鹤兄的实验证明了，
还剩下一个定性的实验，就是要看W是否还与J1=r1*r1*m相关，
r1是圆盘质心到支点的距离，马兄的计算是否包括此项呢？
从计算结果看，似乎是考虑了？

我也粗略估算了一下，不过原来的公式先要修正一点，
原来考虑在自转的T/2=Δt时间内，角动量L的变化量是ΔL=2L=2ΩJ，
但是想来，其实在T/2后，已经出现了抵抗倾倒的力量，否则陀螺将不断倾倒下去？
所以估计是：ΔL≈L=2ΩJ，
这种近似就决定了目前只能是以定性研究为主？

于是具体的估算是：当两盘合并时，
W≈Ω= πmgr1/（J1 + J2）ω
= πgr1 / [ r1*r1 +（r2*r2/4）] ω
=3.14*918*6 / （6*6 + 6*6/4）18*2*3.14
=17295.12 / 5086.8
=3.4  （弧度/秒）
转换成转速N为：
N=Ω/2π = 3.4 / 2*3.14 = 0.54 （转/秒）

不过从鹤兄的录象看，r1≈3cm  （不是6cm），r2=6cm，
转速ω就不好说了，一般电脑风扇的转速是3000转/分钟左右，
也就是大约50转/秒，不过显然电机现在是负担较重运转的，
所以转速可能会有不少下降，可到底是多少就不清楚了，
先假设就是18转/秒吧，计算结果是：
W≈Ω = 3.14*918*3 / （3*3 + 6*6/4）18*2*3.14
=8647.56 / 2034.72
=4.25 （弧度/秒）
转换成转速N为：
N=Ω/2π = 4.25/ 2*3.14 = 0.68（转/秒）

反复看了一下录象，估计了一下时间，好象差不多，
“两盘合并”的那个转一圈的时间大约是1秒多，
不过这种估算也只能是比较粗略的，以后还要看电机的转速到底是多少了，

只要定性的问题解决了，定量的问题只是一个确定常系数k的问题？这也是一般通用的方法？
计算过程写的比较详细，主要是我经常出错，这样方便各位帮助验算一下？

经典理论认为自转惯量I的改变会引起进动角速度W的改变，
而从对章动角速度和线速度的分析看，
W只与章动或进动惯量J相关，与自转惯量I无关，

那么可以用实验检验一下：
设法使得进动惯量J=J1+J2保持不变，只改变自转惯量I，
比如光盘可以改用两个小盘，这样自转惯量I就必然明显改变，
再把两个小盘分开放置，分开的距离假设为2R，
（小盘连线的中点到支点的距离保持不变）

要保持“自翻惯量”不变，必须满足：
（r--小盘半径；  r'--大盘半径；R--小盘间距的一半）
2[(rr/4 + RR)m] = (r'r'/4)2m
解出R为：
R = sqr(r'r'/4 - rr/4)
假设：
小盘半径是：r=3cm
大盘半径是：r'=6cm
则两小盘应相距2R：
2R= 2sqr(r'r'/4 - rr/4)= 2sqr（6*6/4 - 3*3/4）= 5.196（cm）≈5.2 cm

按照经典理论，大盘换小盘后，自转惯量I将显著改变，
所以进动角速度W也会明显变化，因为经典认为：
M= Iω1*ω2  +  (I-J)ω2*ω2*cosθ
即：
cosθ(I-J)(ω2)^2  +  Iω1*ω2  -  mgl =0
这个二次方程的解是进动角速度W=ω2为：
ω2= {-(Iω1) + sqr[(Iω1)^2 - 4cosθ(I-J)mgl]} / 2cosθ(I-J)
或：
ω2= {-(Iω1) - sqr[(Iω1)^2 - 4cosθ(I-J)mgl]} / 2cosθ(I-J)
可以看出：ω2显然与自转惯量I强相关，

而我们分析的结果认为：大盘换小盘后，只要把小盘分开5.2cm放置（不会影响小盘自转惯量I），
进动惯量J=J1+J2可以保持与大盘时相同，所以进动角速度W也将保持不变，

当然也可以说是“角动量定理”本身的问题，

“质点系的角动量定理：
质点系对任一固定点O的角动量对时间的微商等于作用于该质点系的诸外力对O点的力矩的矢量和。”

这里使用了“力矩矢量和”的概念，这就留下了一些隐患？
不小心就会把与M不相关的L带入公式，
可能应该是：
质点系对任一固定点O的角动量对时间的微商等于作用于该质点系的诸外力对O点的力矩矢量和在角动量方向上的投影，

不过书里其实已经定义了“力矩矢量和”就是在角动量方向上的投影了，
但是如果没有注意到这一点的话，就很容易出错的？
比如陀螺的重力矩M矢量在进动角动量L矢量方向上的投影显然为零？
即使把自转角动量L'分解到各坐标轴，也只能说明重力矩M可能会影响自转角动量L'，
（可是一般又认为自转角速度ω是不变的常量）

总之M决不会直接影响与其垂直的进动角动量L的，所以不能直接使用M=dL/dt ，
所以这里带入公式的L只能是与M矢量平行的章动角动量，不能是其他的角动量？

有了章动角动量L的变化，才能通过结合自转的时空分析，间接得到进动角速度的近似或精确表达式？

不仅如此，书里还要求M=F*r中的F必须是“外力沿其作用点转动圆周的切向分力”，
参见：一般的教科书，比如《大学物理》天津大学出版社91页，

该书是这样分析陀螺进动的：
首先把倾斜的自转角动量L分解到Z轴和X轴：
L=Lz + Lx
Z轴分量Lz显然垂直于M，所以不用考虑，而X轴分量Lx却是与M平行的，
所以就得到：
dL/dt = d(Lz + Lx)/dt = (Lsinθ)dLx/dt
既然Lx没有大小的变化，当然就只有方向的变化了：
dL/dt = (Lsinθ)dLx/dt = (Lsinθ)di/dt = (Lsinθ)dψ/dt = (Lsinθ)Ω
（i是X轴的单位矢量，Ω是进动角速度）

于是就得到：
dL/dt = (Lsinθ)Ω = M =mg(r*sinθ)
所以：
Ω= mgr/L = mgr/Iω
（其中r是陀螺的质心位矢，I是陀螺自转角动量，ω自转角速度）

这样的分析初看好象没有什么问题，但仔细分析就可以看出问题来了，
首先M不会引起角动量L分量Lx的方向改变（di/dt），因为M垂直于进动角速度di/dt=Ω，
其次M=F（rsinθ）中的重力F显然不是Ω转动圆周上的切向分力，
引起分量Lx的方向改变（di/dt=Ω）另有原因，
这个原因就是他们认为过于复杂而忽略了的陀螺“章动+自转”？

所以最后就出现了“带错转动惯量”的问题？

按经典的估算一下：
M= [I + (I-J)(ω2/ω1)cosθ]ω1*ω2
对于“光盘进动”实验近似有（cosθ≈1）：
M= [I + (J-I)(ω2/ω1)]ω1*ω2
ω2= （M /ω1）[I + (J-I)(ω2/ω1)]

保持（M /ω1）换盘前后是不变的，主要分析[I + (J-I)(ω2/ω1)]，

一、两个合并大盘：
（两大盘质心到支点的距离r1=6，大盘半径r2=6cm ）
由马先生算出的数据可知：
 (ω2/ω1)≈0.5/18= 1/36
所以：
I + (J-I)(ω2/ω1)
= (6*6/2) + [(6*6 + 6*6/4 - 6*6/2)/36]
= 18 + 0.75
= 18.75

二、两个分开小盘：
（两小盘质心到支点的距离仍然是r1=6，小盘半径变为r2=3cm，小盘分开的距离是2*2.6=5.2cm）
先假设ω2会增加2倍：(ω2/ω1)≈1/18 I + (J-I)(ω2/ω1)
= (r2*r2/2) + [(r1*r1 + r2*r2/4 + RR) - (r2*r2/2)] /18
= (3*3/2) + [(6*6 + 3*3/4 + 2.6*2.6) - (3*3/2)] /18
= 4.5 + 2.25
= 6.75 这样算下来，换成分开小盘后：ω2的确要增加：18.75 / 6.75 = 2.7倍≈2倍，
而我们估计只要小盘分开的距离是2*2.6=5.2cm，就可以基本保证ω2不变，

如果增加转速ω1，使得ω2/ω1很小，则经典计算的结果是： 分开小盘比合并大盘的进动角速度ω2趋近于增加18/4.5 = 4倍！ 不知我的计算是否正确？请各位帮助检查一下？以便及时修正，

陀螺问题是一个很复杂的问题，一般人最好不要涉及

我看起来却非常简单，不知马先生看了我的解释没有，可以说一目了然。造物主不会让陀螺充满宇宙，然后却说不清，弄得博士们都稀里糊涂，平头百姓更不用说了。

其实何需如此？按我的解释这个现象简直是顺理成章，而且稍具刚体运动初级知识的人都可以理解。