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实数是不连续的
实数为什么是不连续的？ 第一，我们知道，点是没有长度的，但线是有长度的。人们认为线是由点组成的，于是，没有长度的点组成了有长度的线，这就是“无中生有”悖论。 由于点没有长度，点与点挨着了，它就重合了，因此点与点之间永远不可能挨着，我们已经证明：点与点之间毫无例外地总能插入无数个点。 我们知道，直线是有长度的，直线同时是连续的和没有空隙的。人们认为直线是由点组成的，这样就可推得点与点之间是没有空隙的。但从逻辑上说，挨不着的点之间一定有空隙。所以，点组成直线的观点是不合逻辑的。 为了解决“无中生有”悖论和直线连续的问题，只好说：线不是由点组成的，线是由线元组成的。线元不是点而是无穷小的线段。 有人会提出这样的问题：永远挨不着的点，它们之间是不连续的。可是为什么永远挨不着的数，它们组成的实数是却连续的呢？ 我们说，根椐数和点的类比可以推出实数是不连续的。详细推导如下：直线对应于数轴；点对应于数；线段对应于区间；线元（无限小线段）对应于数元（无限小区间）。 点的线段长度为0对应于数的区间长度为0；永远挨不着的点对应于永远挨不着的数；点是不连续的对应于数是不连续的；线不是由点而是由线元组成的对应于数轴不是由数而是由数元组成的。 因此，实数是不连续的。 第二，什么是连续？我们知道，对象的运动是连续的。线、面、体是连续的和无限可分的。我们就从线、面、体是无限可分的特性中抽象出连续的概念： 假设对象处处都有意义，如果对象的任意一部分都能无限地分割，我们说对象是连续的。 有了连续的新定义，就很容易证明，所有的集合都是不连续的。因为所有集合里的最小单位是元素，在这里元素（例如数）是不能再分的，根据连续的新定义，所有的集合都是不连续的，实数集R当然也是不连续的。 连续的新定义的意义不仅在于此，这一新定义告诉人们：还存在着不属于集合的东西！凡是连续的东西都是不属于集合的！ 第三，康托尔连续统和区间套定理是有问题的！我们以后专门讨论。 |