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无中生有、飞矢不动和大小不分悖论及其消除方法
一、三种悖论 1、无中生有悖论 我们知道，点是没有长度的，但线是有长度的。人们认为线是由点组成的，没有长度的点组成了有长度的线，这就是“无中生有”悖论。（这一悖论是由中国叶波最近发现的，也叫叶波悖论，没有查新，如果历史上已有人先发现，可改为某某悖论。） 2、飞矢不动悖论 历史上有个很有名的“飞矢不动”悖论，是意大利芝诺大约在公元前490年发现的，是四个著名的芝诺悖论之一。 在芝诺看来，由于飞箭在其飞行的每个瞬间都有一个瞬时的位置，它在这个位置上和不动没有什么区别。 无偶独有，中国战国时代“名辩”思潮中的思想巨子惠施也提出过同样的观点，如：“飞鸟之景，未尝动也”与“飞矢不动” 异曲同工。 3、长短不分悖论 意大利的伽利略在1638年出版的《关於两门新科学的对话》一书中，注意到到两个线段AB与CD，尽管CD比AB短，或者CD是AB的一部分，但它们上面的点如果看作两个集合，有办法使它们之间构成一一对应，可想象它们有同样多的点。如果线是由点组成的，那么就有AB = CD。这就是“长短不分”悖论。也称伽利略悖论，它是数学史上最早的一个悖论。 二、三种悖论的消除方法 要彻底消除以上三种悖论，必须引入或重新定义如下概念： 连续：假设对象处处都有意义，如果对象的任意一部分都能无限地分割，我们说对象是连续的。 元：将一连续的对象每取其半地无限分割所得到的无限小的对象称为元。无限小的线段称为线元。 点：元的极限位置称为点。 1、无中生有悖论的消除方法 线不是由点组成的，线是由线元组成的。线元不是点而是无穷小的线。 线元怎样表示呢？表示线元的通式是：A[a,b]，a 有人会这样反驳说：点运动不是成线么？对的，点运动是可以成线，但是这个点不再是静止的，而是动点。何为动点？动点是其位置可以取连续值的点，显然，动点不再是一个静止的点，而是一个线元。 静点是0维的，动点、线元和直线是一元的。线元是无限小的直线，它不是无而是有，直线由线元组成，不再是无中生有。 2、飞矢不动悖论的消除方法 到目前为止，芝诺悖论仍然没有太好的破解方法。 飞矢是在运动的，可以把飞矢作为一个动点，那么，飞矢就是一个线元。飞箭在其飞行的每个瞬间就没有一个瞬时的位置，只有一个瞬时的线元。它在这个瞬时的线元上而不是在一个静止的位置上。不动的飞矢才可以看成是一个静点，点和元是不同的概念，点是孤立的一个，元是连续的一片。飞矢既然是线元，就不能把它看成是点。动和不动有着根本的区别。 因此，芝诺不能够把飞箭在其飞行的每个瞬间看成是一个点，而是要把它看成一个线元。对于线元来说，瞬间无论怎样细分都是一个线元，永远不可能分成一个“瞬时”的点。所以瞬间无论怎样细分，飞矢永远在动，“飞矢不动” 的芝诺悖论就错在这里。 3、大小不分悖论的消除方法 为了简单起见，我们设三角形ABC的A为顶点，中位线为CD，。由平面几何可知，三角形的中位线平行于底边且等于底边的一半。于是CD=1/2AB。 设E为底边任一点，作直线AE必有一点F交于CD。把AB和CD的点看作两个集合，AB和CD之间构成一一对应，它们有同样多的点。如果线是由点组成的，那么就有AB = CD。 人们认为AB和CD是由点组成的，由点组成的AB和CD又是连续的才有AB = CD。这显然是错误的。错在那里呢？ 假设对象处处都有意义，如果对象的任意一部分都能无限地分割，我们说对象是连续的。根据连续的这一定义，就很容易证明，所有的集合都是不连续的。因为所有集合里的最小单位是元素，在这里元素是不能再分的。于是所有的集合都是不连续的，实数集R当然也是不连续的。 既然把AB和CD的点看作两个集合，AB和CD就不再是连续的。这就是说，组成 AB和CD的点与点之间是有间隙，而且点与点之间的间隙不一样，后者是前者的一半，故有CD=1/2AB。 于是大小不分悖论也就消除了。 三、点和元的辩证关系 点和线元是一对矛盾：它们是统一的，第一，它们互为存在；第二，它们共处于数轴之上；第三，在一定的条件下，它们会向自己的反面转化。线元从小的方面的极限转化成点，点一旦运动起来就变成线元。 它们是对立的，点无长度，线元有长度，不能无中生有；点是0维，线元是1维，0维不能自动变成1维；0是常量，线元是变量，常量无法变成变量；点是静止的，线元是运动的，没有外力作用，静止不能运动起来。点是离散的，线元是连续的，离散的不能无故变成连续的。 |