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数学中的分析分支是专门研究实数>与复数>及其函数>的数学>分支。它的发展由微积分>开始,并扩展到函数的连续性>、可微分>及可积分>等各种特性。这些特性,有助我们应用在对物理世界的研究,研究及发现自然界的规律。
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历史
历史上,数学分析起源于17世纪,伴随着牛顿>和莱布尼兹>对微积分发明而产生的。在17、18世纪,数学分析的主题,如变分>,微分>和偏微分方程>,傅立叶分析>以及母函数>基本上发展于应用工作中。微积分方法成功的运用了连续的方法近似了离散的问题。
贯穿18世纪,函数概念的定义成为了数学家们争论的主题。到了19世纪,柯西>首先地通过引入柯西序列>的概念将微积分建立在一个稳固的逻辑基础之上。他还开始了复分析的形式理论。泊松>、刘维尔>、傅里叶>以及其他的数学家研究了偏微分方程和调和分析>。
在那个世纪的中叶,黎曼>引入了他的积分>理论。在19世纪的最后第三个年代还产生了魏尔施特拉斯>对于分析的算术化,他认为几何论证从本质上是一种误导,并导入了极限的
定义。此时,数学家们开始担心他们在没有证明的情况下假设了实数连续统的存在。戴德金>用戴德金分割>构造了实数。大约在那个时候,对黎曼积分定理>精炼的种种尝试也引向了实数函数的非连续集合的“大小”的研究。
另外,“妖怪”们(到处不连续函数,连续但到处不可微函数,空间填充曲线)也被创造出来。在这个背景下,若尔当>发展了他的测度理论,康托尔>发展了现在的朴素集合论>,以及拜尔>证明了拜尔范畴定理。在20世纪早期,微积分用公理化集合论被形式化。勒贝格>解决了测度>的问题,希尔伯特>也导入了希尔伯特空间>以解决积分方程>。赋范向量空间>的思想开始流传,到1920年代巴拿赫>创立了泛函分析>。
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分支领域
数学分析在当前被分为以下几个分支领域:
- 实分析>是对于实值函数>的微分>和积分>进行形式严谨>(formally rigorous)的研究。这包括对极限>,幂级数>和测度>的研究。
- 泛函分析>研究函数空间>和介绍例如巴拿赫空间>以及希尔伯特空间>的概念。
- 调和分析>处理傅里叶级数>以及其抽象。
- 复分析>,是对从复平面>到复平面的复数可微函数的研究。