在推石头问题上，是您自己添加了摩擦作用，从而把稳定性问题转化为不是稳定性问题。为什么不容易倒下，这是一个对外部微挠的响应
细节问题不追究，只谈点主要的，回复在（（（ ）））中：
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如果把自行车与地面重力看作一个系统的话，骑着的自行车的稳定性与陀螺的稳定性是两回事。前者是由智人控制的调节作用。也就是说它们的动力学数学结构是不同的。
只有陀螺的稳定性与行星轨道的稳定性，在数学结构上一致（幅度微挠在稳定位置附近做关于时间的正弦或者余弦函数振荡，幅度不会增长）。（（（（所谓微挠理论，说的都是冲击响应，是指外界给系统一个短时间的冲击，看系统能否失去稳定以及它的稳定品质如何。请问在陀螺问题中，重力的作用能看成是一个短暂的冲击吗？））））
【【【沈回复：您把我的“幅度微挠”与“重力矩”错看成同一个东西了。在我的“数学思路中，存在两个外部作用：1.重力矩；2.幅度微挠。
如果没有幅度微挠，只有重力矩，陀螺无非是导致进动而已。这种进动是绕着重力轴方向的，给它加一个幅度微挠，微挠不会放大。其次，给章动一个幅度微挠，微挠也是不会放大的。章动微挠如果放大，那么陀螺就倒下了。如果进动与章动的微挠都被放大，那么陀螺就沿着螺旋性轨迹倒下。】】】】
以上，我认为才是真正解释了陀螺稳定性的本质问题（详见昨天我的“陀螺稳定性数学思路”）。
至于，HUdemin先生的下面一段话我不同意：
“但实际中，由于空气阻尼以及轴承磨擦力的影响，陀螺的角动量矩必然会不断损失。损失后，角动量矩变小，同样的外力作用必须使进动的速度增大，致使陀螺水平面内的进动半径增大。而进动速度的增大，意味着进动能量的增大。根据能量守恒定律，陀螺的转动能量会减少，这样进一步加剧了陀螺角动量矩的损失，所以陀螺的进动半径越来越大，进动速度越来越快，角动量矩迅速损失，只至轰然一声倒下。这就是我们平常看到的陀螺为什么最后阶段越转越快并迅速倒下的原因。所以说，陀螺问题本质上不是一个稳定问题，而是一个动态运动问题。因为谁都知道，陀螺最终都会倒下，倒下才是它的稳定状态。而我们现在问题关心的不是这种稳定状态，我们最关心且要分析的是进入“倒下”这种稳定状态前的动态运动过程。所以从这种角度讲，沈建其等人的回答与问题的本意是不沾边的”
HUDEMIN以陀螺因为空气摩擦导致陀螺最终倒下这一结果，得出“陀螺问题本质上不是一个稳定问题”，“陀螺最终都会倒下，倒下才是它的稳定状态”，这完全是把基本问题复杂化，非本质化，范畴扩大化，这就转化为其他问题了。我们原始的问题是“自行车与陀螺为什么在重力矩作用下不倒下”，此时我们的主旨是还暂时不考虑空气摩擦等非本质因素。（（（（对于不考虑空气摩擦等理想情况，主贴中已交待得很清楚。我是在讨论完理想情况后，才讨论有空气阻尼、摩擦等引起角动量矩损失这种实际情况的。难道这不对吗？我并不是“因为空气摩擦导致陀螺最终倒下这一结果才得出陀螺问题本质上不是一个稳定问题”这一结论的，即使陀螺永远不倒下，它也不是一个稳定问题，而是在外力作用下如何运动的问题。就象用外力推了一个石头一下，石头运动了一段时间后停了下来，你能说这是一个稳定性问题吗？这是一个外力作用下的运动问题。不管石头最终停没停下，始终是一个动力学问题。））））
【【【【沈回复：反抗外作用影响所导致的响应能力，这就是稳定性问题。不加外作用，系统有一个状态；加了外作用，系统就要发生一个演化，这个演化的快慢与幅度大小（对外加的响应能力）就是状态稳定性问题。
您的推石头问题中，石头停下来，这是因为有摩擦（石头状态是不是稳定，在于其惯性大小）；您的陀螺问题（也考虑空气摩擦）。我想：这些问题不属于我上面所提到的稳定性问题范畴。是您自己添加了摩擦作用，从而把稳定性问题转化为不是稳定性问题。
也许您我关于稳定问题的定义不同。至于到底如何定义，您说这不是稳定性问题，我说这是稳定性问题，在这个问题上，其实它们都是概念之争，却不涉及具体问题实质，争来争去，也没有导致具体问题解决。我们可以不必把争论的精力放在其上。】】】】
类似的，我们说原子是稳定的，因为原子的电子轨道（波函数）有一个基态，这是从电磁相互作用范畴来研究的。仿照Hudemin先生的话，我也可以说：“原子也不是稳定的，考虑其他因素比如核力作用，电子被原子中的核子吸收后形成的态（如在致密星中），才是它的稳定状态”。这没有错，但是这是将原始问题（在电磁范畴的原子稳定性问题）非本质化，范畴扩大化，这就转化为其他问题了。
另，满足Hudemin先生的思想要求，在陀螺问题中，我们即使不考虑空气摩擦，我也可以证明“陀螺最终都会倒下，倒下才是它的稳定状态”（（（请你证明一下，理想情况下陀螺会倒下？？？？事实上，只要陀螺不损失角动量，它就永远不会倒下。）））。
【【【【【沈回复：
只要这幅度微挠足够大，陀螺就能倒下来（大幅度微挠本身也能损失掉一部分角动量）。也有可能，加一个大幅度作用后，陀螺倒下来又爬起来，爬起来又倒下来的“癫痫”现象（大的章动现象），它改变了原来的状态，但是又“不愿意”倒下，这也反映了一种对外力的抗争作用，是一种稳定性问题的体现。
HUdemin说“只要陀螺不损失角动量，它就永远不会倒下”。这句话我觉得等于什么都没有说。在这句话的指导下，那么这个网上就不会有和满一开始提出“自行车为什么不容易倒下”这个原始问题了。自行车为什么不容易倒下？动量守恒嘛。但这等于什么都没有说。
为什么不容易倒下，这是一个对外部微挠的响应问题。我觉得这才是问题的实质，而不是什么“动量守恒，角动量守恒”之类。】】】】】
只要让幅度微挠足够大，那么章动角的幅度变化不再是我昨天说的在稳定值附近做关于时间的小幅度的正弦余弦函数振荡了，有可能是（指数）发散或者其他函数增长的（这需要求解幅度所满足的方程），这就导致陀螺倒下
（（（这里的条件是给定的，即讨论重力对陀螺的影响，哪有你所说的“微挠”，以及你所说的“让幅度微挠足够大”？）））。
【【【【【沈回复：这您说的对。我们的确可以不考虑微挠，只考虑重力。如果没有幅度微挠，只有重力矩，陀螺无非是导致进动与章动而已。这种进动是绕着重力轴方向的。陀螺在重力矩作用下，它的三个角动量（章动，进动，转动角动量）在演化过程中重新分配，不断分配，正是这个原因，导致陀螺不会马上倒下（但是最后还是会倒下的，因为有重力矩作用始终存在）。这是问题之一。
问题之二，就是研究对外部的响应能力。这也是陀螺问题需要考虑的。我对第二个问题更感兴趣。Hudemin对它不感兴趣。但是Hudemin似乎对上述第一个问题更感兴趣，但是却没有涉及到问题实质（三个角动量（章动，进动，转动角动量）在演化过程中重新分配）。
研究以上两个问题，也就意味着完整地研究了陀螺问题。其实，我的数学思路中已经自动包含了以上两个问题，但是突出了第二个问题（关于幅度微挠）。】】】】】】】】】】
所以，用我昨天的数学方法也是可以研究HUDEMIN先生最看重的“最关心且要分析的是进入“倒下”这种稳定状态前的动态运动过程”。
总之，我认为：关于原始问题“陀螺为什么不会在重力矩作用下倒下（暂不考虑空气摩擦）”的实质原因是：幅度微挠在稳定位置附近做关于时间的正弦或者余弦函数振荡，幅度微挠不会增长。（（（你怎么知道陀螺在微挠下的振荡是正弦或者余弦函数等收敛振荡而不是发散振荡。事实上，你这不是在“解释事实”，而是在用已知（陀螺受干扰后不倒）事实反推你的数学模型，哪有象这样解释的？））） 【【【【【沈回复：您可以也亲自去研究其中的动力学方程，去试一试看看。实际上，几乎任何力学方程都是二阶方程（哪怕在量子场论还是广义相对论），正是因为这个特点，只要对它作一个微挠，那么微挠所满足的方程（其主要部分）必然是一个振子方程（或者衰减或者指数发散方程）。在行星轨道问题上，这个幅度微挠就是满足振子方程。】】】】】
关于陀螺问题，这几天这么多人分析来分析去，猜测来猜测去，没有一个人从动力学方程角度去考虑，仅限于定性描述，没有揭露实质原因，其实都是隔靴搔痒（我是真的不愿意去评判其对错）。
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