本文是我的第二份GR习题，旨在根据引力场中运动标准钟速率的计算，以及球对称引力场的史瓦西度规，计算一些相关问题（球对称引力场中静止火箭和公转卫星，地面钟和卫星钟，环球双向原子钟）的结果。本文参阅了44641小猪所写的《动钟变慢与动钟变快的情形》，希望和满和正和老师都能来指点一二。
根据 ds2 = c2dτ2=g00(dx0)2+2g0idx0dxi+gikdxidxk
根据纯空间度规的定义：
γi=-g0i/sqrt(g00)
γik =γiγk - gik
dσ2 =γikdxidxk
令ui= dxi/dt (三维坐标速度分量)， u = dσ/dt （三维坐标速度）
可以得到运动标准钟速率与坐标钟速率的关系，
dτ = dt { [(g00)1/2 -γiui/c]2 - u2/c2}1/2 （1）
在时轴正交系γi = 0 条件下，（1）式可简化为：
dτ = dt(g00 - u2/c2) 1/2 （2）
特殊情况下，u = 0，得到静止标准钟与坐标钟的速率
dτ0 = dt (g00)1/2 （3）
根据球对称引力场的史瓦西度规
ds2=(1-2m/r)c2dt2-1/(1-2m/r)dr2-r2(dθ2+sin2θdφ2) （4） （这里m=GM/c2）
取水平运动方向dφ = 0，
ds2=(1-2m/r)c2dt2-1/(1-2m/r)dr2-r2dθ2 （5）
根据该度规可用变分法求得正圆测地线运动满足ω2r3=mc2，与牛顿力学描述一致。
因史瓦西度规对应时轴正交系，因此由（2）可知沿正圆测地线运动的自由粒子，其标准钟速率为：
dτ1= dt(g00 - u2/c2)1/2 = dt(1-2m/r - m/r)1/2 = dt(1 - 3m/r)1/2 （6）
而静止标准钟的速率则为
dτ0 = dt(1 - 2m/r)1/2 （7）
A. 首先讨论静止火箭和公转卫星的问题，可以看出静止火箭的原时就是公式（7），公转卫星的原时公式是公式（6），因dτ1 ＜ dτ0，因此公转卫星所经历的原时更少，时钟更慢。
B. 然后讨论卫星钟与地面钟的问题，因地面钟涉及地球自转，设地球自转角速度为ω，半径为 R，因此由（1）以及γi=0，得到以ω旋转的地面标准钟的速率为
dτ静 = dt(1-2m/R-ω2R2/c2)1/2 （8）
而卫星钟的原时是公式（6）
可见两者的快慢取决于3m/r 与2m/R+ω2R2/c2 的大小。（小猪的结论中忽略了地球自转的影响）
C. 环球双向原子钟
由（8）式可以看出，双向原子钟的问题只等价于ω的不同，设飞机相对地球的角速度为ω0，那么向东的飞机角速度为ω +ω0，向西的飞机角速度为ω –ω0
因此：
dτ东 = dt[1-2m/R-(ω+ω0)2R2/c2]1/2 （9）
dτ西 = dt[1-2m/R-(ω-ω0)2R2/c2]1/2 （10）
总有dτ东 ＜ dτ静 ＜ dτ西，即东向飞行的时钟更慢，与地球随动的在中间，西向飞行的最快。
（小猪的推导过程用了固有加速度和地球的引力磁场叠加效果，增加了推导的难度，似无必要）
D. 以上结果都是从球对称度规导出，对于旋转问题也可以通过旋转坐标变换计算，此时度规表示式、γi 和 u 都有变化，但通过 (1)~(3) 仍然可以得到完全相同的结论。这实际上是用计算验证固有时 dτ是坐标变换不变量。（具体代入计算过程从略，有兴趣的朋友可以自己推算）