最近又见到论坛上 liangjz 再提 SR "时钟变慢" 的佯缪问题,好像持相一方没有就此发表看法。
本来这应该算是 SR 的一个科普问题,可能是过于简单了,因此大师们不愿出手。
不过对于相对论入门者来说,这还是一个比较常见的困惑,澄清一下有好处。
重新描述一下题目:
地面 S系中两个已同步的时钟 A,B,A 位于 x=0 处, B 位于 x=L 处(L>0)。
钟 C 相对于 S 速度 v 沿 x正轴方向运动,取与 C 保持静止的坐标系为 S'。
t = t' = 0 时,钟 C 坐标与钟 A 坐标重合。
问当钟 C 运动到钟 B 处,C 和 B 的读数各是多少,如何体现“时钟变慢”?
该问题中涉及两个事件:
I. 钟 C 坐标与钟 A 坐标重合
II. 钟 C 坐标与钟 B 坐标重合
为了简化表述,设 γ = 1/sqrt(1-v^v/c^c), L/v = T
S 系观点:
事件 I
Tb1 = 0
Tc1 = 0
事件 II
Tb2 = T
Tc2 = T / γ
ΔTb = Tb2 - Tb1 = T
ΔTc = Tc2 - Tc1 = T / γ
因此 ΔTb = γ * ΔTc, S 系中认为 C 的时钟速度慢
S' 系观点:
事件 I
T'b1 = T * (v^v/c^c)
T'c1 = 0
事件 II
T'b2 = T
T'c2 = T / γ
Δ'Tb = T'b2 - T'b1 = T / γ / γ
Δ'Tc = T'c2 - T'c1 = T / γ
因此 Δ'Tc = γ * Δ'Tb, S' 系中认为 B 的时钟速度慢
观察以上各事件在 S, S' 中的不同看法,可以看到起关键作用的是 T'b1,
正是由于 T'b1 非零,才使得双方对于对方的时钟变慢得到了一致看法。
T'b1 非零也意味着对绝对同时的否定,因在 S 系中,A与B是两个异地相互同步的时钟,
有 Tb1 = Ta1 = 0,但在 S'系中看来,S 系中的异地同时意味着S'系中的不同时。
在该例中,以 S' 的观点,事件 II 时 B钟比 C 钟读数大的缘故是因为
B钟与 A钟不同步,在事件 I 时 B钟比 C钟超前了,这样尽管 B钟有时慢效应,
但到事件 II 时,仍然比 C 钟读数大。
而 S 系的观点,则可以用简单的时慢效应解释。
T'b1 的计算由洛伦兹变换公式
t' = γ * ( t - vx/c^c )
因事件 I 的 t'=0,则 t = vx/c^c,
令 x = L,则 t = T * (v^v/c^c)