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“欧几里德第五公设”确不可证 最近，我偶然看到郑铨老先生独创的“欧几里德第五公设的证明”。我很早就知道，罗巴切夫斯基创立了非欧几何，证明了“欧几里德第五公设不可证。”那么，郑铨先生的“证明”是否严谨，在此我想发表一下我的看法。 B’ C’ “从点C画直线CB1⊥BB’，和BB’交于B1 从点B1画直线B1C1⊥CC’，和CC’交于C1 从点C1画直线C1B2⊥BB’，和BB’交于B2 …… 如此进行下去。” 当然，为了不引用欧氏第五公设的等价命题，在“证明”过程中没有用到相似三角形。原来的证明是这样写的： “根据三角形大边对大角的公理，直角的对边大于锐角的对边，可得 BC>CB1>B1C1>C1B2>… (1) 因为BB’和CC’两线之间的距离逐渐减小，可以期待最后相交于一点C”。 将不等式用等式的形式表示，得 CB1=K1BC B1C1=K2CB1 C1B2=K3B1C1 式中K1<1，K2<1，K3<1，… 因为不能预先确定图中的三角形是否是相似三角形，我们不妨暂时假定 K1≠K2≠K3≠… 现在假定r是所有K值中的最大的值，必有 CB1≤rBC B1C1≤rCB1≤r2CB C1B2≤rB1C1≤r3BC 将这些不等式相加，得 BC+CB1+B1C1+C1B2+…≤BC(1+r+r2+r3+…)(2) 不等式(2)的右方为一等比级数，其和为 BC/(1-r) 因为r小于1，BC为有限值，故BC/(1-r)为有限值。因此当∠CBB’为锐角时，BB’与CC’相交于有限远点” 我认为，在证明中有一些不严格的地方。就是K1，K2，K3…都小于1，那它们一定存在最大值r吗？如K1=1—0.5，K2=1—0.52，K3=1—0.53…，那么它们的最大值r是多少呢？ 在数学分析中认为，一个无限的集合，它有上界，必然有上确界，但上确界未必属于这个集合。所以上述证明是不严格的。 要想举个反例也不困难。如果上述证明是严格的话，那么两条异面直线也应相交。因为按照上述证明，你可以在其中一条直线上取一点，按照上述方法作垂线，无限作下去，最终不也交于一点吗？这显然是荒谬的。那么它错在哪儿呢？事实上，你把两条异面直线，按上述办法作垂线，垂线将越来越短，但它不会成为零，而是越来越接近这两条异面直线的公垂线。所以如果无限作下去，那么它将与公垂线重合。因此上述郑铨先生的证明是不正确的。 郑铨先生知难而进的精神值得我们学习。然而自然科学规律是不容违反的。一条结论，一旦被证明，就无法被否定，一旦否定，就无法被证明。古希腊有一个作图难题，就是可不可以用原规直尺按照“尺规作图公法”的规定把一个已知的任意角三等分？直到近世代数的创立，才证明这是一个不可能问题。然而有些人对于这些证明不相信，仍然坚信自己付出努力就可以做到，实际上是白费工夫，就像试图发明“永动机”一样可悲。因此，我们要在学习的基础上探索。 建议郑铨先生上一下“泽璇个人网页中的几何学习天地(网址：http://steiner.math.nthu.edu.tw/ne01/tjy/)”，上面有很多精美的非欧几何图形。如果郑铨先生对非欧几何有着较深的了解，就不会得到上述不严格的证明。 如果郑铨先生想对非欧几何中的定理初步了解，请给我写信，我将给你一个通俗而又深入的理论体系。 我的信箱地址为malongsddx@126.com （ 作者 马龙 ） |