我终于弄明白了地球经线圈的真实形状

山东章丘 马国梁 

这个问题我从1986年开始研究，至2024年已经三十八年了。直到最近几天才终于搞明白。中间一波三折，几经反复，真是太不容易了。因为地球不是一个质点，它也不是一个密度均匀的球体，故无法从理论上计算球面物体所受的万有引力和重力。虽然重力可以测量，但无法得到准确值，故只能得到经验公式。理论分析实在是困难无比。

关于地球经线圈的形状，可能有很多人想当然地认为“就是椭圆！”其实严格的说：并不是椭圆，只是非常近似。

决定地球水平面形状的当然是重力，而重力则是万有引力和惯性离心力的合力。但在计算万有引力时不能把地球的质量看成是都集中在球心上，也不能把万有引力的方向还认为是指向球心。否则就会得出错误的计算结果。下面我们就来验证一下。

（一）与实际不符的推导

假设地球的质量都集中在球心上。那么稳定的地球表面必然是一个等势面，它上面任一点的重力方向都与本地的水平面垂直。

设在经线圈上某点的重力方向线与球心矢径r的夹角是φ，球心矢径与赤道半径a的夹角是β

则  tgφ = - dr/(r dβ) = (ωωr cosβsinβ)/(GM/rr -ωωr cosβcosβ)     ⑴

通过解此微分方程，可得

cosβcosβ= C/rr - 2GM/(ωωrrr)                             ⑵

利用边界条件，在赤道上β= 0       r = a

在极地  β= 90°    r = b

可推得地球的扁率为  ε=（a - b）/a = ωωaab/(2GM)

                      = 3ωω/(8πGρ)                         ⑶

将有关数据代入计算，我们就会发现：等式并不成立。用角速度ω和平均密度ρ计算的扁率比用a、b计算的几乎少一半。

(a - b)/a = (6378240 - 6356860)/6378240 = 0.003352

3ωω/(8πGρ) = 12π/(8.6164*8.6164*8*6.672*5.518) = 0.001724

这就说明：地球的质量并没有全部集中在球心上，我们这样算万有引力的大小和方向从根本上就是错误的。

      此时经线圈的方程是   cosβcosβ= (aaa/rrr)(r - b)/ (a - b)            （4）

此方程求解 r 因为牵涉到解一元三次方程的困难，所以我们这里没有方程的r ～β形式。

（二）比较接近实际的推导

我们再考虑另一个情况：假设地球的质量是均匀分布的，其密度处处相等，那么所有的等势面都将成为平行的相似形。在同一等势面上，压强处处相等。所有的重力（场）线都与等势面垂直，且弯曲着指向球心。

此时不论沿着哪一条重力线，对密度和重力加速度的乘积进行积分，最后的结果即总压强都是相等的。即

∫ρg dl =ρg l =ρg r = 恒量

由此可知：地球表面的重力加速度大约与球心矢径的长度成反比。因此前面所列的微分方程（1）就应该修改为

- dr/(r dβ) = (kωωr cosβsinβ)/(GM/Rr )                 （5）

此微分方程的解是     cosβcosβ= (aa/rr)(rr - bb)/ (aa - bb)      （6）

这是一个标准的椭圆。其r ～β的形式是

r = ab/sqrt[aa sinβsinβ+ bb cosβcosβ]

球的扁率公式是  ε=（a - b）/a = kωωaab/(2GM)

                    = 3kωω/(8πGρ)                     

式中的k是一个与地球的形状及质量分布有关的修正系数。因为即便是密度均匀的椭圆球，其万有引力的方向一般也不再指向球心，从而使重力方向与球心矢径的夹角增大了。k就是这个夹角增大的倍数。

对于标准的椭圆来说，当b → a 时，可以算得 k = 2

故地球的扁率公式变为    ε=ωωaab/(GM) = 3ωω/(4πGρ)     （7）

（三）地球经线的标准方程

我们已经知道：真实的地球并不是一个密度均匀的椭圆体。因为利用前边的两个扁率可以算得

 k = 0.003352/0.001724 =1.944 ≠ 2

理论计算证明：在纬度45°处，质量集中于球心的经线圈比质量均布的椭圆圈内偏27米。因为地球物质的分布是“内密外疏”，所以实际的经线圈应该比标准的椭圆稍微内偏一点。

根据实地测量的不同纬度海平面上的重力加速度精确值，我们发现：加速度与矢径的1.58次方成反比。即

     g r^1.58 = 恒量

因此我们可将微分方程修改成这样

- dr/(r dβ) = (kωωr cosβsinβ) (R^0.42) (r^1.58 )/(GM)         （8）

那么该微分方程的解是    

    1/r^2.58 = 1/b^2.58 - (1/b^2.58 - 1/a^2.58 ) cosβcosβ           （9）

理论计算证明：在纬度45°处，该方程的经线圈比质量均布的椭圆圈内偏5米，这符合我们的预期。因此我们可以将之作为地球经线圈的标准方程。

此时地球的扁率公式是  

ε= (a - b)/a = 1 - ( 1- 1.29kωω(R^0.42) (b^2.58 )/(GM) )^(1/2.58)    （10）      

（四）偏差最大但却是最简单的推导

即是将微分方程（5）简化到最简程度，即

- dr/(R dβ) = (kωωR cosβsinβ)/(GM/RR )        （11）

可得其解为    cosβcosβ= (r - b)/(a - b)                  （12）

             r = b + (a-b) cosβcosβ                     

将 a = 6378240 米、b = 6356860 米代入，可求得当 β= 45° 时其经线圈比椭圆的（5）式偏外偏27米，比标准的经线圈外偏偏36米。

【最后的结论】

总的说来，地球的经线圈形状绝对不是一个严格的椭圆，但却是高度近似的椭圆。因此我们就把它叫作“类椭圆”吧！真实的地球是一个有核心的圈层结构扁圆球。

                                                （ 2024.9）