我在最近的帖子中有大量的结论是基于史瓦西度规的计算的.但现在我有一个重大困惑,希望建其能解惑.我真担心已经误人子弟不浅了.

史瓦西度规为ds²=(1-2M/r)dt²-1/(1-2M/r)dr²-r²(dθ²+sin²θdφ²)

1.对参数的理解

M是自然单位制(c=1,G=1)下的质量;

r是径向坐标参数,建立r的方式是测量周长L,定义r=L/(2π)

t是坐标时,建立的方式是采用无穷远静止铯钟的原时

θ是纬角,天球对径点角距定义为π

φ是经角,天球一周角距定义为2π

2.在过质心的平面(黄道面)上来考察,则纬角θ=π/2,去掉一维后度规简化为

ds²=(1-2M/r)dt²-1/(1-2M/r)dr²-r²dφ²

3.用变分法求测地线

令r'=dr/dt,φ'=dφ/dt,则

δ∫ds=0 ==> δ∫sqrt(1-2M/r-r'²/(1-2M/r)-r²φ'²)dt=0

令f(r,r',φ,φ')=sqrt(1-2M/r-r'²/(1-2M/r)-r²φ'²),则由变分原理可得

σf/σr=d(σf/σr')/dt            (1)

σf/σφ=d(σf/σφ')/dt          (2)

用以上方法可求出水星进动、光线偏折,从展开式的复杂性来看只有数值解的可能.

4.求解匀速圆周运动的世界线

在匀速圆周运动中,r'=0,φ'=ω,(2)式恒成立,(1)式为σf/σr=0,解得ω²r³=M.这是广义相对论中的开普勒定律,不过只对正圆轨道成立.

5.求匀速圆周运动的世界线长度

s=∫ds

=∫sqrt(1-2M/r-r'²/(1-2M/r)-r²φ'²)dt

=∫sqrt(1-2M/r-r²ω²)dt

=∫sqrt(1-3M/r)dt

6.我的困惑

如果以上理解和计算全部正确,则当r=3M时,卫星钟经历的原时s=∫sqrt(1-3M/r)dt=0.

但卫星是在视界r=2M之外运行的啊,时间怎么会停止呢?

到底问题出在哪一步？建其救我!