非欧几何中的坐标也能进行线性变换的。一种时空结构可以有无数多个坐标系描述，有限坐标系之间的变换是线性的，有些不是。不要看到线性变换，就认为该空间是欧氏的。

不要看到坐标变换是线性的，就套上‘欧氏几何’。欧氏几何是欧氏几何，坐标变换是坐标变换。欧式几何中也可以有非线性坐标变换，但它描述的时空结构是线性的。

不要将空间结构的线性与坐标变换的线性相互混淆。至于什么是时空结构的线性性，你若想知道，那就去读读近世代数。

请问原来学几何或经典力学的时候，是否见过这样的变换？在二维非欧几何中用一下欧氏坐标变换试试。

弯曲空间和线性空间是两回事，线性变换与线性空间又是两回事。

弯曲空间中的坐标变换可以是线性的，线性空间中的坐标变换可以是非线性的。

不要将线性变换当成线性空间的唯一标志。

照此推理，非线性时空经线性变换也可以得到线性时空，那岂不是说没有非线性时空了吗？先不管你的逻辑多么荒谬，请解释下面的问题：

惯性系，即欧氏空间经下面的变换后，得到的是什么： 

在我看来

你本来提出的是个物理问题：相对论的“弯曲空间”在具体定位时似乎总是要用到“平直空间”。到底弯曲空间能不能独立定位？

现在搞了几下，变成了数学问题。

我的理解可能太技术化了，但我理解这是个重要的物理问题，不是数学能讨论清楚的。我就很想搞清楚呀。

由于广义相对论不能建立全局坐标，（非线性），而现实问题需要建立全局坐标（线性）。实际运用的广义相对论与理论上的广义相对论实际大不一样。

对吗？

任意度规都要使用几个坐标变量（包括其微分形式dx_i），坐标变量的个数决定了空间的维数，同时一般还要使用若干参数，这些参数与度规的总体形式一起决定了空间的几何性质。

如史瓦西度规ds²=-(1-2M/r)dt²+1/(1-2M/r)dr²+r²(dθ²+sin²θdφ²)中就有四个坐标变量及其微分，r,θ,dt,dr,dθ,dφ，和一个参数M。四个坐标变量完全可用x₁,x₂,x₃,x₄替换，对度规的性质没有任何影响，决不能仅因为用了r,θ,φ就认为是球坐标，坐标变量用什么字母是无关紧要的。

可以从度规导出空间流形的全部性质以及在该空间流形上与该度规对应的坐标网，从某种意义上可以说是先有度规后有坐标。史瓦西度规刻划了一个弯曲时空流形。一般的科普书上都有该时空流形的一个二维空间截面图，呈漏斗状，有一个称为史瓦西喉的结构。

然后来看坐标变换，x_i'可以写成x_i的线性组合或非线性组合，度规g_ij相应地根据微分几何的规则变成g'_ij ,在这里，坐标及度规的变换与涉及的空间流形是否平直没有任何关系。在弯曲空间上可以用线性坐标变换，在平直空间中也可使用非线性坐标变换。

不知久广的欧氏坐标是什么含义？如果是指平直空间，那就是将坐标与空间流形混为一谈。坐标是依附于空间流形的，如果空间流形是平直的，则可以建立直角坐标系（笛卡儿坐标系），不知久广的欧氏坐标是否就是指这个？

另外，对于某些空间流形不可能建立直角坐标系，但可建立正交曲线坐标系，如二维球面，经纬坐标就是正交曲线坐标系。球面上也可建立极坐标，仍是正交曲线坐标。

现在讨论久广在楼下帖中涉及旋转坐标系。这个例子前提是在平直时空中，静止观察者的柱坐标系是正交曲线坐标系（是否也是久广所指的欧氏坐标系？），通过线性变换到一个转动观察者的参考系中成了旋转坐标系（是一个非正交曲线坐标系），但这个变换不改变时空的平直性。因为时空是客观存在，不因观察者的运动而改变，请参考本人以前的“领略爱因斯坦的幸福思想”系列帖子。

读者可能要问，既然这个旋转变换不改变时空的平直性，为何又有旋转圆盘上的几何是非欧几何一说？

只需要提请读者注意，在旋转坐标系中，虽然四维时空仍是平直的，但不意味着用某种方式截取的子流形也是平直的。对应的例子就是虽然三维欧氏空间是平直的，但在其中截取的一个子流形——二维球面——却不是平直的。

要更深入理解这一点，可看本人早先帖子——旋转圆盘几何的非欧性质。

在弯曲流形上建立坐标系，一般地，直接的坐标差——坐标网格的格子数——不可能具有度量意义。说温和一点就是，坐标不具有直接的度量意义。一切度量都取决于度规。告诉你经度差一度，纬度差两度，有什么度量意义呢？你能告诉我这样的两个点的距离吗？但在平直空间的平面直角坐标系中，告诉你x坐标差3米，y坐标差4米，你就能知道这两点距离5米，看来坐标具有直接度量意义。然而，不要忘了，实际上还是隐含地用了度规——只不过平直度规（更严格地说是单位度规）通常被我们忽略了而已。

但愿本帖能对久广等人有所帮助。