|
为什么按牛顿运动定律会出现“混沌”？ 费邦镜 feibangjing@163.com 2022/01/18 目录 摘要 引言 一、 “惯性”究竟是物体的固有属性，还是一种力？ §1.1 为什么牛顿定义：“惯性”是一种“力”？ §1.2 为什么爱因斯坦说“惯性必须归结为物体之间的相互作用”？ 二、 “惯性运动”是指“匀速直线运动”吗？ §2.1 为什么伽利略认为，“惯性运动”是绕地心的匀速圆周运动！ §2.2 为什么“匀速直线的惯性运动”没有物理机制？ §2.3 “绕地心的匀速圆周运动”拥有怎样的物理机制？ 三、 “惯性定律”就是“牛顿第一定律”吗？ §3.1 为什么爱因斯坦断言：“真正的定律不会是线性的”？ §3.2 为什么爱因斯坦说：牛顿运动定律都是“微分定律”？ 四、 按“微分定律”来预测长期的运动怎么可能不“混沌”？ 参考文献 摘要 物理学家们迄今仍在纠结，为什么按牛顿运动定律会出现 “混沌”（chaos）—— 牛顿运动定律描述的很多运动都具有不可长期预测和不可重现的特征。 这是因为普遍没有认识到 —— 牛顿第一定律同牛顿第二定律一样，都只是“微分定律”（只考虑在无限短的时间内发生了什么）！ 为了阐明这个观点，本文着重论证了 —— 1）“惯性”其实是“万有引力”； 2）伽利略依据“斜面实验”发现的“惯性运动”并非“匀速直线运动”，而是“绕地心的匀速圆周运动”； 3）伽利略提出的“圆周惯性定律”才是描述“整个运动”的真正的“惯性定律”，而“牛顿第一定律”只是“惯性定律”的“微分形式”。 关键词：混沌，惯性，惯性运动，惯性定律，牛顿第一定律 （ 可到《国家科技图书文献中心》的 【预印本】-【自然科学】-【物理学】栏目 免费下载本文的电子文档。 https://www.nstl.gov.cn/service_list.html ） 引言 牛顿力学的惊人成功和巨大贡献是众所周知的。特别是海王星和冥王星的发现，都是事先按照牛顿定律计算出方位，然后才得到了观测的证实。 因此，人们普遍都相信 —— 物体的运动由牛顿定律和初始条件唯一地确定。 然而，20世纪后半叶的研究表明，“牛顿运动定律描述的很多很多的运动都具有不可长期预测和不可重现的特征，即表现出某种‘内在随机性’”。[1]① 物理学家们“通常把这种牛顿力学内在的随机行为称为混沌（chaos）”。[2]① 然而，“对混沌现象的进一步研究发现，混沌运动虽然是局域随机的，但其长期行为的某些全局特征却是稳定的，与初始条件无关，与真正的随机行为有所区别”。[2]① 迄今，学界对“为什么按牛顿运动定律会出现混沌”，似乎还没有令人信服的说法。 这引起了笔者的兴趣。 根据笔者的研究，所谓的“混沌”，竟然起因于普遍都误解了牛顿对“惯性”的定义！ 一、 “惯性”究竟是物体的固有属性，还是一种力？ “惯性”是牛顿力学中最基础的概念之一。 而中科院理论物理所郭汉英研究员却哀叹：“作为一个理论体系，牛顿理论并没有完成 …… 惯性在牛顿体系中起着核心作用，其起源却无法解决。”[3] 北师大赵峥教授也深感疑惑： 为什么“看似毫不起眼的水桶实验，竟然隐含着至今尚未解决的物理学基本问题 —— 惯性效应的根源究竟是什么”？[4] 可见“惯性的本质”其实是个悬而未决的问题！ 然而，现行教科书对“惯性”的定义却毫不含糊！ 北大赵凯华教授的《力学》定义：“物体保持静止或匀速直线运动状态的这种特性，叫做惯性。” [5]① 哈工大的《理论力学》定义：“不受力作用的质点，不是处于静止状态，就是保持其原有的速度（包括大小和方向）不变，这种性质称为惯性。”[6] 华东师大朱鋐雄教授在《物理学思想概论》中断言： “惯性是物体的固有属性，而不是一种力。”[7]① 非常遗憾的是，现行教科书如此来定义“惯性”，既不符合牛顿对“惯性”的定义，也违背了爱因斯坦对“惯性”的认识！ §1.1 为什么牛顿定义：“惯性”是一种“力”？ 牛顿对“惯性”的认识，来自于他对“力”的长期研究。据中科院自然科学史研究所阎康年研究员考证：“牛顿在1668年左右写的《论流体的重力和平衡》中，他基本上采用了伽利略对力下的定义：力是‘运动或静止的原因’。牛顿这时力的定义为：‘力是运动和静止的原因，或是加在某一物体上的外因，产生或破坏它的运动……；或力是内因，物体的运动或静止由这个内因而保持下来’”[8]① 又经过十九年的思考，在1687年的《原理》中，牛顿进一步完善了力的定义 —— 力有两种，一种是“惯性或惯性力”，另一种则是“外力”，并“分别”用“定义3”和“定义4”进行了明确的定义：“定义3 vis insita?，或物质固有的力，是一种起抵抗作用的力 …… 这个固有的力可以用最恰当不过的名称，惯性或惯性力来称呼它。 定义4 外力是一种对物体的推动作用，使其改变静止或匀速直线运动的状态。”[9]① 既然伽利略和牛顿都定义：“力是运动和静止的原因”，且牛顿的“定义3”又定义：惯性或惯性力是物体保持静止或匀速直线运动状态的固有的力，那么当然可以断言：按牛顿的本意，惯性也是一种力！惯性又叫做惯性力！ 让人欣慰的是，这个断言与爱因斯坦的观点高度吻合！ §1.2 为什么爱因斯坦说“惯性必须归结为物体之间的相互作用”？ “古代的自然运动是一个被广泛注意并做了很多研究的题目。”[8]② 两千多年前亚里士多德就“把运动分为自然运动和强迫运动：重物下落是自然运动，天上星辰围绕地心做圆周运动也是自然运动。”[10]① 亚里士多德还指出：“被自身推动的运动者是自然地运动的。”[11] 在现代的我们看来，亚里士多德所说的“重物下落”等自然运动，当然是“万有引力”所维持的运动。 那么，在牛顿发现“万有引力”之前，这些“自然运动”似乎只能被认为是“被自身推动的”。 笔者猜测：牛顿所谓的“物质固有的力” ——“惯性或惯性力”，应该就是亚里士多德所说的运动者的“自身推动力”。 笔者进而推断：惯性或惯性力，其实就是万有引力！ 这个推断，竟然与爱因斯坦的观点非常吻合 —— 1918年爱因斯坦指出：“惯性和重力是本质上相同的现象”；[12]① 他还强调：“惯性必须归结为物体之间的相互作用”。[12]① 更关键的是，这个推断拥有厚实的实验基础 —— 迄今，所有的实验都不能否定：惯性质量等于引力质量。爱因斯坦认为：“惯性质量和引力质量在数量上的相等必须追踪到本质上的相同。”[12]② 北师大赵峥教授由此认为：“比较自然的理解是，引力质量和惯性质量可能是同一个东西。”[4] 那么，引力和惯性，当然可能是同一个东西。 而且，爱因斯坦说：“等效原理与惯性质量等价于引力质量这个定律是密切相关的……正是通过这一概念我们实现了惯性与引力本质的统一。”[13] 既然当今主流学界已普遍接受了等效原理，那么，根据奥卡姆剃刀原则，我们就更应该接受“惯性就是万有引力”！ 因为赵峥教授已证明：等效原理“只在每一时空点的邻域内等效”，[4] 而“惯性就是万有引力”却不需要这个严苛的前提。 可见，“惯性就是万有引力”这个推断，拥有推理、实验两方面的强有力支持。 因此，笔者断言：在物理学中，“惯性或惯性力”就是“万有引力”！ 许多人反诘 —— 如果“惯性就是万有引力”，那为什么物体在这个“力”的作用下不会产生“加速度”，反而保持“惯性运动”—— 匀速直线运动 —— 状态不变呢？ 二、“惯性运动”是指“匀速直线运动”吗？ 现行教科书都定义： “牛顿第一定律指出：孤立质点静止或作匀速直线运动。这样的运动常称惯性运动。”[1]② 然而，根据近代物理学的开山鼻祖 —— 伽利略 ——所提出的惯性定律，“惯性运动”却并不是“沿直线的”，而是“沿圆周的”（即“沿水平面的”）！ §2.1 为什么伽利略认为，“惯性运动”是“绕地心的匀速圆周运动”！ 伽利略提出的“惯性定律”，是他研究亚里士多德的自由落体观念——物体愈重下落愈快——而附带发现的。 南京大学林德宏教授在《科学思想史》中记载：“1589年伽利略登上比萨斜塔，让10磅重和1磅重的两个球同时下落……为了取得更精确的结果，他想‘冲淡重力’，让物体下落得慢一些。于是……他在长约11米的木板上刻上光滑的槽子，让不同重量的小球在同一高度的斜面上滚下，发现它们滚动的速度是相同的，这与斜面夹角大小无关。……调整斜面夹角为90°时，小球的滚动就成了自由下落，于是，他通过斜面实验揭示了自由落体运动之谜…… ‘斜面实验’还使得伽利略发现了‘惯性原理’。”[15] 伽利略发现，当一个球沿斜面向下滚时，其速度增大，而向上滚时，其速度减小，于是他推断： 若无阻力，当球“沿水平面”滚动时，其速度应不增不减，球将永远滚动下去； 在另一种斜面实验中，伽利略相对地安置两个斜面，当球从一个斜面的顶端滚下后，即沿对面的斜面向上滚，并达到原来的高度，于是他推断：若无阻力，当后一斜面安置成“水平”时，球将永远滚下去。[5]① 根据“斜面实验”，1638年伽利略在《关于两门新科学的对谈》中归纳：“任何一个速度，一旦赋予了一个运动，就会牢固地得到保持，只要加速或减速的外在原因是不存在的。 这种条件只有在‘水平面’上才能见到，因为在平面向下倾斜的事例中，将不断地存在一种加速的原因；而在平面向上倾斜的事例中，则不断地存在一种减速的原因。由此可见，沿水平面的运动是永无休止的。”[16] 伽利略因此而成为“科学史上第一个用严格的科学论证提出惯性律的科学家”！[8]② 那么，沿水平面的匀速运动，就是指匀速直线运动吗？ 否！早在1632年，伽利略在《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话》中就明确指出：“沿地平线的运动，既不向上也不向下，将是环绕一个中心的圆周运动”，[17]① 还强调：“对一个既不向下也不向上的表面来说，它的各部分一定是和地心等距离的……平静的海洋上航行的船只，就是这样的一种运动体……要是排除一切外界的和意外的阻碍，它一旦获得冲力就会不停地以匀速运动”。[17]② 显然，根据伽利略“斜面实验”的结论——“惯性运动”当然是绕地心、沿圆周、速度均匀、永无休止的！ 因此，《西方科学史》指出：“伽利略的惯性原理，与笛卡尔的惯性原理或牛顿的惯性原理不同，必须把它称作为‘圆周惯性原理’。”[18] 可惜主流学界普遍认为，“圆周惯性原理”是有欠缺的。 清华郭奕玲教授在《物理学史》中指出：“伽利略的欠缺得到了笛卡尔的弥补……笛卡尔在《哲学原理》中明确指出……惯性运动的物体永远不会使自己趋向曲线运动，而只保持在直线上运动…… 然而，笛卡尔也有不足之处，他完全是从哲学的角度考虑问题，把这一切都归因于‘上帝’的安排。…… 真正明确提出惯性定律的是牛顿”! [10]① 华东师大朱鋐雄教授在《物理学思想概论》中也指出：“牛顿改变了伽利略提出的‘物体会沿着水平方向永不停止地一直运动下去’的惯性运动的表述，明确提出惯性的运动是直线运动而不是水平运动。”[7]① 因此，现行教科书都一致定义： “惯性运动”，就是指“牛顿第一定律”中所说的“静止或匀速直线运动”。 不幸的是，“沿直线的惯性运动”却有两个可疑之处！ 第一个可疑之处： “沿水平面的惯性运动”，拥有“斜面实验”这个坚实的实验基础！ 相反，教科书却告诉我们：牛顿“第一定律不能直接用实验证明”，[2]③ 这应该意味着“沿直线的惯性运动”并没有实验基础！ 何况，斜面实验在物理学中的地位无可比拟，教科书告诉我们：“伽利略的理想实验（斜面实验）找到了解决运动问题的真正线索。爱因斯坦说：‘伽利略的发现以及他所用的推理方法是人类思想史上最伟大的成就之一，而且标志着物理学的真正的开端。’”[5]① 既然“斜面实验”是解决运动问题的真正线索，而且标志着物理学的真正开端！那我们怎么可以贸然修改“斜面实验”的结论 ——“惯性运动是绕地心、沿圆周的”呢？ 第二个可疑之处： 迄今，居然没有一个人能说出“沿直线的惯性运动”具有怎样的物理机制！ §2.2 为什么“匀速直线的惯性运动”没有物理机制？ 费曼（1965年诺贝尔物理奖得主）哀叹： “为什么它（惯性运动）能保持直线运动？我们不知道。”[14] 有学者认为，“沿直线的惯性运动”无需物理机制，因为它的依据是神圣的牛顿第一定律！ 而牛顿第一定律是理想化抽象思维的产物，是作为“公理”提出来的。 这种观点似是而非。华东师大朱鈜雄教授说得好：“与欧几里得几何学的‘公理’不同的是，与几何学相比，物理学有着附加的约束：它必须与真实世界相符。”[7]② 因此，在物理学中，即便是“公理”，也应该给出它的物理机制，否则，何以判断它与真实世界是否相符呢？ 其实，迄今谁也说不出“惯性运动”的物理机制，也是情理之中的事，因为一直以来，我们连“惯性”的本质都不清楚，遑论“惯性运动”的物理机制？ 既然我们现在已论证了“惯性就是万有引力”，那么，伽利略提出的“绕地心、沿圆周”的惯性运动，是否可能因此而拥有物理机制呢？ §2.3 “绕地心的匀速圆周运动”拥有怎样的物理机制？ 依据伽利略的“斜面实验”，惯性运动当然是绕地心、沿圆周、速度均匀的！ 那么，斜面实验中小球的这种运动，是否可能拥有物理机制呢？ 让我们分别从以下两个角度进行分析： 1）从受力的角度： “理想的”斜面实验中，小球仅受到竖直方向上两个力的作用，一个是地心对小球恒定大小的引力，另一个是平面对小球的支撑力。 原先都误认为这两个力是一对平衡力，其实不然 —— 正是这个恒定大小的“引力”与“平面支撑力”的“差”，为小球绕地心作匀速圆周运动提供了恒定大小的向心力。 可见，作“惯性运动”的小球并非不受力。 笔者归纳：所谓“惯性运动”，就是“质点”在“恒定大小”的引力作用下，绕引力中心的“匀速圆周运动”。 注意：虽然“惯性的方向”就是引力的方向，但“惯性运动的方向”，却是沿圆周的！ 还必须强调：唯有“质点”在“恒定大小”的引力作用下所做的“匀速圆周运动”，才是“惯性运动”！ 而抛体运动、落体运动、开普勒椭圆运动，它们虽然也是物体在引力作用下所做的运动，但它们都只是一般的自然运动，而不是“惯性运动”。 很遗憾，伽利略对惯性运动的认识也是有瑕疵的 —— 受时代限制，伽利略曾误以为：行星是按“圆周轨道”作“等速运动”，故行星的运动也是惯性运动。[10]① 这可能就是主流学界误认为伽利略的“圆周惯性定律”是“有欠缺”的主要理由！其实，伽利略提出“圆周惯性定律”的依据是“斜面实验”，而不是“行星的圆周运动”！ 2）从机械能守恒的角度： 尽管“理想的”斜面实验中，在水平面上作匀速运动的小球受到了恒定大小的引力作用，但小球在引力方向上并没有位移，亦即该引力对小球并不作功。因此，匀速的（动能不变的）小球，为了机械能守恒，就只能在水平面（等势面）上运动。 可见，“惯性运动”一定是“等势面”上的“匀速圆周运动”！ 而不可能是“匀速直线运动”！ “惯性运动”的上述两种物理机制，可以相互印证！ 这无疑是令人兴奋的 —— 在纠结了300多年之后，“惯性运动”总算拥有了清晰、合理的物理机制！ 我们总算找到了“为什么物体会按惯性而行”的原因！ 究其原因，当然是因为我们终于搞清楚了，牛顿定义的“惯性”，其实是万有引力！ 然而，有许多学者质疑：如果否定了“匀速直线运动”就是“惯性运动”，那岂不是意味着牛顿第一定律 —— 这个神圣的“惯性定律” —— 也将被否定吗？ 其实，“惯性定律”并不等同于“牛顿第一定律”！ 三、“惯性定律”就是“牛顿第一定律”吗？ 教科书都定义：“牛顿第一定律又称惯性定律。”[5]① 那么“惯性定律”怎么可能不是“牛顿第一定律”呢？ 或许，杨振宁先生的观点能为我们指点迷津。 §3.1 为什么爱因斯坦断言：“真正的定律不会是线性的”？ 杨振宁先生在德国纪念爱因斯坦诞生125周年的演讲中赞扬：“爱因斯坦曾一再强调下列的研究方向，直到现在物理学家才真正认识它们的重要性：（a）物理学的几何化?……（b）自然定律的非线性化?? 爱因斯坦在其《自述注记》中写道：真正的定律不会是线性的，也不能从线性定律导出 ……（c）场的拓扑?……”[19] 根据爱因斯坦和杨振宁先生的这个观点，似乎可以推断—— 线性的牛顿第一定律，并不是“真正的（自然）定律”！ 真是匪夷所思！ 难道牛顿力学的第一块奠基石 —— 牛顿第一定律 —— 竟然不是“真正的（自然）定律”吗？ 面对这个困惑，笔者不禁想起了那个视野开阔的“力学原理的分类原则”，我们似乎应该站在这个更高的平台上来审视“牛顿第一定律”。 §3.2 为什么爱因斯坦说：牛顿运动定律都是“微分定律”？ 王振发先生在“21世纪高等院校教材”《分析力学》中给出了“力学原理的分类原则”—— “力学原理可分为两大类：不变分原理和变分原理。每一类又可分为两种不同的形式：微分形式和积分形式。”[20] “不变分原理是反映力学系统真实运动的普遍规律。如果原理本身只表明某一瞬时状态系统的运动规律，称为微分原理，例如达朗伯原理就是不变分微分原理。如果原理是说明一有限时间过程系统的运动规律，则称为积分原理，例如机械能守恒原理即不变分的积分原理。 而变分原理则不同，它提供一种准则……。如果准则是对某一瞬时状态而言的，则该原理为微分变分原理，例如虚位移原理，动力学普遍方程……。如果准则是对一有限时间过程而言的，则该原理为积分变分原理，例如哈密顿原理，拉格朗日最小作用量原理……。”[20] 根据这个分类原则，牛顿第一、第二定律当然属于“不变分原理”，然而，它们属于积分原理？还是微分原理呢？ 清华郭奕玲教授指出：“对于第二定律，牛顿当时指出了力（F）的作用同动量（mv）的变化成正比。这是不完全的。直至1750年，欧拉才指出应该是动量的时间变化率与外力成正比，即F∝?d(mv) / dt。”[10]② 如此，牛顿第二定律就不难被归类了。复旦郑永令教授在《力学》中明确指出：根据F = d(mv) / dt，牛顿第二定律是动量定理的微分形式（力的瞬时效果）。[2]④ 遗憾的是，似乎没见谁对“牛顿第一定律”进行归类。 所幸，1927年爱因斯坦指出：“伽利略已经在认识运动定律上作了一个意义重大的开端。他发现了惯性定律和自由落体定律……但是应当注意，上面这两条陈述都是讲的整个运动，而牛顿的运动定律则回答这样的问题：在外力的作用下，质点的运动状态在一个无限短的时间内应该如何变化？只有考虑到在无限短的时间内发生了什么（微分定律），牛顿才得到一个适用于任何运动的公式。”[21]① 这“牛顿的运动定律”包含哪些定律呢？第二定律当然属于微分定律，但不清楚第一定律是否也属于微分定律？ 笔者对此苦苦思索了很久很久，…… 终于有一天，笔者想到了“微分”的几何意义 ——“局部用切线段‘近似’代替曲线段，这在数学上称为非线性函数的局部线性化，这是微分学的基本思想方法之一。”[22] 这让笔者茅塞顿开 —— 伽利略说“斜面实验”中的惯性运动是“匀速圆周运动”，那是“讲的整个运动”；而牛顿第一定律中的“匀速直线运动”，则是“斜面实验”中“匀速圆周运动”的局部线性化 —— 只“考虑到在无限短的时间内发生了什么”！ 只是一种数学近似！ 可以说，爱因斯坦早已发现牛顿第一定律也存在瑕疵 —— 伽利略发现的“圆周惯性定律”才是真正的“惯性定律”！ 而“牛顿第一定律”则是“圆周惯性定律”的“微分形式”！ 遗憾的是，爱因斯坦的这个发现未被大家重视！ 四、按“微分定律”来预测长期的运动怎么可能不“混沌”？ 我们已知道，“牛顿运动定律描述的很多很多的运动都具有不可长期预测和不可重现的特征，即表现某种‘内在随机性’。”[1]① 物理学家们“通常把这种牛顿力学内在的随机行为称为混沌（chaos）”。[2]① 至于为什么按牛顿运动定律会出现“混沌”？迄今还没有一个令人信服的说法。 根据笔者的研究，这是因为普遍没有认识到牛顿第一定律同牛顿第二定律一样，都只是“微分定律”，都只是力的瞬时效果！ 清华郭奕玲教授指出：“对于第二定律，牛顿当时指出了力（F）的作用同动量（mv）的变化成正比。这是不完全的。直至1750年，欧拉才指出应该是动量的时间变化率与外力成正比，即F∝?d(mv) / dt。”[10]② 正因为牛顿第二定律的这个瑕疵得到了欧拉的指正，大家才能正确地认识到：根据F = d(mv) / dt，牛顿第二定律只是动量定理的“微分形式”（力的瞬时效果）。[2]④ 很遗憾，普遍没有发现牛顿第一定律也有瑕疵！ 所幸，1927年爱因斯坦指出：“伽利略已经在认识运动定律上作了一个意义重大的开端。他发现了惯性定律和自由落体定律……但是应当注意，上面这两条陈述都是讲的整个运动，而牛顿的运动定律则回答这样的问题：在外力的作用下，质点的运动状态在一个无限短的时间内应该如何变化？只有考虑到在无限短的时间内发生了什么（微分定律）， 牛顿才得到一个适用于任何运动的公式。”[21]① 这意味着爱因斯坦已认识到 —— 伽利略发现的“圆周惯性定律”才是陈述“整个运动”的真正的“惯性定律”！ 而牛顿第一定律则是“惯性定律”的“微分形式”，仅仅是无限短时间内的数学近似！ （ 详见§3.2 ） 而且， 笔者也发现：根据“力学原理的分类原则”，[20] 牛顿第一定律同牛顿第二定律一样，都只能被归类为“不变分的微分原理”！ 既然牛顿第一定律同牛顿第二定律一样，都是“微分定律”，只考虑在无限短的时间内发生了什么。那么，按“微分定律”来预测长期的运动怎么可能不“混沌”呢？ 如此，“为什么按牛顿运动定律会出现混沌？”这个悬疑问题，岂不是就烟消云散了吗？ 真没想到，继1750年欧拉发现牛顿第二定律的瑕疵之后，1927年爱因斯坦又发现了牛顿第一定律也存在相同性质的瑕疵！ 笔者相信，如果大家都能重视“牛顿运动定律”的这两个瑕疵，那么，我们必将“对经典力学的认识从整体上发生重大的改变”！[1]① 参考文献 [1] 漆安慎、杜婵英，力学[M]，第三版，高等教育出版社， 2012：①21、②63、③69、④195 [2] 郑永令、贾起民、方小敏，力学[M]，第二版，高等教育出版社， 2002：①98、②82、③54～56、④116～117、⑤94～95 [3] 郭汉英，杂文选集[M]，广西师范大学出版社，2013：10 [4] 赵峥 等，广义相对论基础[M]，清华大学出版社，2012：11～13 [5] 赵凯华、罗蔚茵，力学[M]，第二版，高等教育出版社，2004：①41～42、②8 [6] 哈尔滨工业大学理论力学教研室，理论力学（Ⅰ）[M]，第7版，高等教育出版社，2009：234 [7] 朱鋐雄，物理学思想概论[M]，清华出版社，2009：①17、②24 [8] 阎康年，牛顿的科学发现与科学思想[M]，湖南教育出版社，1989：①154、②138～140、③381、④378 [9] 牛顿，自然哲学之数学原理[M]，北京大学出版社，王克迪译，2006：①1～8、②270 [10] 郭奕玲、沈慧君，物理学史[M]，第2版，清华大学出版社，2009：①12～13、②27 [11] 亚里士多德，物理学[M]，商务印书馆，张竹明 译，1982：229 [12] 爱因斯坦全集（第七卷）[M]，湖南科学技术出版社， 邹振隆 主译，2009：①34、②333 [13] 爱因斯坦，相对论的意义[M]，上海科技教育出版社，郝建纲、刘道军 译，2005：62 [14] 费恩曼物理学讲义（第1卷）[M]， 上海科学技术出版社， 郑永令 等译，2013：69 [15] 林德宏，科学思想史[M]，第二版， 江苏科学技术出版社，2004：86 [16] 伽利略，关于两门新科学的对谈[M]，北京大学出版社，戈革 译2016：169 [17] 伽利略，关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话[M]，上海人民出版社，1974：①32、②195 [18] M.阿里奥托，西方科学史（第2版）[M]，商务印书馆，鲁旭东 译，2011：340 [19] 杨振宁，在德国纪念爱因斯坦诞生125周年大会上的演讲[J]，香港《二十一世纪》，范世藩译，2004年6月号 [20] 王振发，分析力学[M]，科学出版社，2002：110 [21] 爱因斯坦文集（第一卷）[M]，商务印书馆，许良英、范岱年编译，1976：①223～224、②590、③624 [22] 同济大学数学系，高等数学（上册）[M]，第七版，高等教育出版社，2014：113 |