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爱因斯坦的旋转圆盘理想实验使之顿悟到广义相对论需要非欧几何。至于他对旋转圆盘实验本身的解释是否正确并不重要。
但既然各位朋友这么看重这个已完成其使命的理想实验，本人就不揣冒昧地来解释这个理想实验，以期就正于各位方家。 在三维惯性系中使用静止极坐标系Σ'(t',r',θ')，相应的度规为：ds2=-c2dt'2+dr'2+r'2dθ'2，从度规无交叉项可知这是一个正交曲线坐标系。 Σ'系到以角速度ω旋转的极坐标系Σ(t,r,θ)的坐标变换式为：t=t'，r=r'，θ=θ'-ωt'；这就是久广先生常说的相对论中使用伽氏变换，但与时空度规联系起来考虑时仅是形似而已，与时空各自独立的牛顿时空有本质的不同。 在此坐标变换下，度规相应变换成（推导过程略）ds2=-(c2-ω2r2)dt2+dr2+r2dθ2+2ωr2dtdθ，由于有交叉项dtdθ，故Σ不是正交曲线坐标系。 在Σ中极径为R的圆周上（dr=0）来考察，由Σ的度规有ds=sqrt[-(c2-ω2R2)(dt/dθ)2+2ωR2(dt/dθ)+R2]dθ 在45652一帖“必须用理论将观测结果还原为物理实在——以尺缩为例”一帖中，讲解了如何在时空几何中确定“世界带”的宽度——世界带两边缘的最大类空距离——现在要再次使用同样的方法。 在这里，要求dθ对应于最大的类空距离ds，也就是(dt/dθ)的取值使(ds/dθ)满足极值条件，即d(ds/dθ)/d(dt/dθ)=0，由此可得 d{sqrt[-(c2-ω2R2)(dt/dθ)2+2ωR2(dt/dθ)+R2]}/d(dt/dθ)=0 ==>(dt/dθ)=ωR2/(c2-ω2R2) ==>(ds/dθ)max=R/sqrt(1-ω2R2/c2) ==>旋转圆盘圆周长L=∮ds=2πR/sqrt(1-ω2R2/c2)>2πR 在欧氏几何中，圆周长L=2πR，由此可见旋转圆盘上的空间几何是非欧几里德的。 (dt/dθ)=ωR2/(c2-ω2R2)表明了Σ坐标时的“同时”不符合长度测量的“垂直”要求，该式定量刻划了满足长度测量要求的“同时”所需的对坐标时的“同时”的校正。 |