也谈对欧氏几何公设的完善问题

辩证唯物主义认为：只有千百万人的社会实践才是检验真理与否的唯一标准。不错，用严格的逻辑推理的方法也能够检验命题的对错，但是进行论证所依据的那些公理、定理无一不是来自人们的社会实践。

比如在几何学上，人们认为：所有的几何体都是稳定的，它们不可能自发的发生变化，不可能因时、因地不同。这一结论的来源就是我们通过观察身边物体的特性得出的。我们发现：凡是无生命的物体都具有一定的惯性，其大小、形态不会无缘无故的改变；即便是生物体的生长、发育它也是随着时间的推移慢慢进行的。物体只有在时间上保持一定的稳定性，我们才能充分的认识它们。瞬息万变的东西会让我们眼花缭乱，无法对他们进行研究。

再就是关于两个几何体是否全等的问题。按照人们的经验：凡是能够相互重合的物体都是全等的，凡是根据同一物体复制的物体也都是全等的。例如印刷和铸造就是这样的。而两个毫不相关的物体就很难说了。难怪有人说：世界上不存在两片完全一样的树叶！但对于两个分居异地几何体来说，如果能够证明它们的组成元素和构造方法都完全一样，那么也能够证明它们是全等的。这是一种用制作过程证明的方式。因为我们相信：只要具有相同的原因，就一定会有相同的结果。

同理，各种几何元素的概念和彼此之间的关系也必须结合我们的实践经验进行定义，采用某些适当的作法进行说明。若从这个角度来看，欧氏几何的公理体系的确是不完备的。欧式几何的五个公设分别是：

公设1. 通过两点能作且只能作一条直线。

公设2. 直线可以任意延长。

公设3. 以任一点为圆心、任意长为半径，可作一个圆。

公设4. 所有的直角都相等。

公设5. 两条直线被第三条直线所截，如果同侧两内角之和小于两个直角，那么两直线在延长时将会在该侧相交。

笔者认为：公设1没有定义“什么是直线”和说明“怎样得到直线”。

公设4在没有定义“什么是直角”的情况下就直接给出了“所有直角都相等”的结论。如果在对直角进行定义时其大小是明确的，那么所有的直角肯定都是相等的，所以这条公设似有“同义反复”的嫌疑。试想：如果有的直角不符合定义，与别的直角不等，那它还是直角吗？

公设5没有提到更没有定义“平行”的概念，它只是意味深长的暗示我们：“同侧的两内角之和当只有等于两个直角时，两直线在延长后才不会在该侧相交”。可是这样给出的“两条平行直线”是不能令人信服的，后来它曾经引起了很多人的不满和修改尝试。

欧几里得只是一位形而上学的唯物主义者，他用片面的、静止的、孤立的方法看待问题。而辩证唯物主义者则不是这样，而是用全面的、运动的、相互联系的方法看待问题。笔者认为：完备的欧式几何公理体系应该把其中的五个公设修改成以下这样才比较妥当。

公设1. 使两点间的连线达到最短可得到唯一的直线段。

公设2. 直线段可向一端无限延伸成射线，也可向两端无限延伸成直线。

公设3. 将直线段的一端固定，另一端朝着固定的方向转动，那么可得到一个闭合的平面圆。

公设4. 将直线段的一端固定，另一端朝着固定的方向转动，那么由动边和始边可构成无数个任意角。其中动边回到原位所旋转的角叫周角，周角的一半是平角，平角的一半是直角。

公设5. 一个角在自己决定的平面内，如果一个边沿着延长线前后移动，那么由另一边即可得到无数相互平行的直线。

由公设5所述的对平行直线的作法可以直接得出“各平行直线的同位角相等”的性质，其实就是同一个角。因此我们接下来就可以证明“对顶角相等、内错角相等、外错角相等、两同侧内角和等于两个直角”等性质。这些性质可用来作为判断两条共面直线是否平行的根据。

例如，在由三条直线段首尾相接构成的三角形中，因为三角形的内角和等于两个直角，其中任何两个邻角的和都小于两个直角，所以三条边没有一组相互平行的。只有当其中有两个邻角的和趋于两个直角时，相关的两条边才能趋于平行；而一旦有两条边真的达到了平行状态，那么该三角形也就不存在了。

这些公设的内容都是人们在千百万次社会实践经验的基础上，所作的抽象概括和合乎情理的推广。都是最为简单的东西，让人一看就能明白，所以是无法再从理论上予以证明的。一切试图进行证明的努力都将徒劳无功。

上述公设1，在实践上为了使两点间的连线达到最短，我们用的是将细绳拉紧的办法。而公设2中的射线，我们则是用发射光线或发射枪弹的办法得到的。公设3和公设4所需的旋转，在现实中的例子更是比比皆是。如将半圆绕其直径旋转我们可得到一个圆球面；而将一个角绕其一个边旋转我们则得到一个圆锥面。

几何公理体系就像搭积木一样层层叠叠。只有底层基础的可靠，才能保证上层建筑的坚实，让大家尽管放心的使用。可究竟应该选择怎样的基石才会牢固，这个课题无疑将继续考验着人们的智慧。