我的回复见(((        )))中:

小猪：彼此彼此：但我现在准备数学化，所以对您的辩护不一一反驳。

采用您的流水中细线模型。假定细线无限长，取相距为单位距离的两个横截面。下图为横截面，中央为细线，取包围细线的任意闭环：

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对闭环上的内磨擦进行积分，则可得到单位长度上的内磨擦阻力。由于任意两个闭环间的流水速度分布恒定，即动量恒定，也即所受合外力为零，因此任意闭环上的内磨擦积分相等，等于单位长度细线所受的粘滞阻力。

由于内磨擦与切向速度梯度正相关，即切向速度梯度越大则内磨擦越大，内磨擦越大则切向速度梯度也越大。

现在假定在中央细线附近再增加一根细线(((这是关键,增加的这根线距离原来的细线有多远?)))，则两根细线受到的总粘滞阻力将大于一根细线，从而包围两根细线的任意环路上的内磨擦积分（等于两根细线单位长度上所受粘滞阻力）都比一根细线时为大，也就是任意环路上的平均切向速度梯度增大。

从无究远处（即流水速度为零处）开始对环路平均切向速度梯度积分(((何为"平均"切向速度梯度?)))，积分变量为环路半径，积分到最内层环路位置，则可得到最内层环路上的平均速度((("平均"速度是如何得来的?)))。由于任意环路上的平均切向速度梯度都是双线比单线大，因此积分的结果，即最内层环路上的平均速度也是双线比单线大。

因此，当细线不断增加时，包围细线的区域内的水流平均速度也将加大。

换到菲索流水实验中时，就是水管内径越大则光介子气被拖动的速度越大，拖动系数与管径有关！

而且这种“有关”绝非微不足道的。可反证：只有当细线区域内流水速度等于细线速度，增加细线才不增加细线族所受的总粘滞阻力，从而不增加包围细线族的环路上的平均水流速度。细线区水流平均速度越小，增加细线对水流平均速度的贡献就越大。这个过程的极限就是细线族中流水与细线同速。

这个“数学化”纯用文字描述，但比起使用流体力学的经验公式反而更严密。

(((这儿的关键问题是两根细线相距离多远?!我说过,当两根细线很近时,它们对周围水的拖动效果肯定比一根在强,这没有什么可怀疑的.可是当两根线相距非常遥远时,两根线附面层已不相连,中间的水根本不会被拖动.你能说两根线的拖动比一根强吗?另外,你整个推导过程中的"平均"速度是如何得来的??请解释一下.以一根细线为例,取的闭环大小不同,获得的平均速度肯定不一样,若取闭环为无穷大,则该区域内的平均速度必然趋近于0.)))

黄德民

采用您的流水中细线模型。假定细线无限长，取相距为单位距离的两个横截面。下图为横截面，中央为细线，取包围细线的任意闭环：

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对闭环上的内磨擦进行积分，则可得到单位长度上的内磨擦阻力。由于任意两个闭环间的流水速度分布恒定，即动量恒定，也即所受合外力为零，因此任意闭环上的内磨擦积分相等，等于单位长度细线所受的粘滞阻力。

由于内磨擦与切向速度梯度正相关，即切向速度梯度越大则内磨擦越大，内磨擦越大则切向速度梯度也越大。

现在假定在中央细线附近再增加一根细线(((这是关键,增加的这根线距离原来的细线有多远?)))，则两根细线受到的总粘滞阻力将大于一根细线，从而包围两根细线的任意环路上的内磨擦积分（等于两根细线单位长度上所受粘滞阻力）都比一根细线时为大，也就是任意环路上的平均切向速度梯度增大。

从无究远处（即流水速度为零处）开始对环路平均切向速度梯度积分(((何为"平均"切向速度梯度?)))，积分变量为环路半径，积分到最内层环路位置，则可得到最内层环路上的平均速度((("平均"速度是如何得来的?)))。由于任意环路上的平均切向速度梯度都是双线比单线大，因此积分的结果，即最内层环路上的平均速度也是双线比单线大。

对gdr求积分，r从无穷远处开始积分到R，无穷远处v=0，积分结果也就是R环上的平均速度。根据前面的论述，两根细线所受粘滞阻力总和比一根细线大，因此对应的同一r环上恒有g2>g1，故对g2,g1积分的结果必然是v2>v1]]

因此，当细线不断增加时，包围细线的区域内的水流平均速度也将加大。

换到菲索流水实验中时，就是水管内径越大则光介子气被拖动的速度越大，拖动系数与管径有关！

而且这种“有关”绝非微不足道的。可反证：只有当细线区域内流水速度等于细线速度，增加细线才不增加细线族所受的总粘滞阻力，从而不增加包围细线族的环路上的平均水流速度。细线区水流平均速度越小，增加细线对水流平均速度的贡献就越大。这个过程的极限就是细线族中流水与细线同速。

这个“数学化”纯用文字描述，但比起使用流体力学的经验公式反而更严密。

(((这儿的关键问题是两根细线相距离多远?!我说过,当两根细线很近时,它们对周围水的拖动效果肯定比一根在强,这没有什么可怀疑的.可是当两根线相距非常遥远时,两根线附面层已不相连,中间的水根本不会被拖动.你能说两根线的拖动比一根强吗?另外,你整个推导过程中的"平均"速度是如何得来的??请解释一下.以一根细线为例,取的闭环大小不同,获得的平均速度肯定不一样,若取闭环为无穷大,则该区域内的平均速度必然趋近于0.)))

[[注意！这里并不是针对一根细线在两个环上比较，而是针对一个R环内包含一根和二根细线进行比较。可以想见当菲索水管内径从r开始增加时，不变的R环上的光介子气平均速度也是增加的，因为R环内包含的“细线”是增加的。R环上的平均速度增加，意味着R环内的平均速度也增加。

您的“两根线附面层不相连，中间的水根本不会被拖动”是一种错误的直觉，并非定量分析的结果。定量分析的结果如上所述。

当然，我的论证中也作了一点近似处理，但在这个基础上加一点直觉就比您的完全靠直觉强多了。]]

1、数学方面：你说“两个半径相差dr的闭环上的平均速度相差dv，则平均速度梯度就为g=dv/dr。对gdr求积分，r从无穷远处开始积分到R，无穷远处v=0，积分结果也就是R环上的平均速度。”，这明显与积分概念相背。积分具有“求和”的含义，对gdr求积分，根本不是环内的平均速度而是“总的速度梯度”。

2、宏观分析：很明显，积分的初始值r取得越远，积分值越大。难道环越大被拖动的水流平均速度越大，环越小被拖动的水流平均速度越小？？？？显然应该相反！！！取个极端情况，从无穷远内开始计算，整个环内被拖动的水流平均速度显然趋近于0，但你的积分结果不为0，说明你说的积分结果是“平均速度”的说法不成立。

望你进一步推敲积分结果的物理含义。

黄德民

1、数学方面：你说“两个半径相差dr的闭环上的平均速度相差dv，则平均速度梯度就为g=dv/dr。对gdr求积分，r从无穷远处开始积分到R，无穷远处v=0，积分结果也就是R环上的平均速度。”，这明显与积分概念相背。积分具有“求和”的含义，对gdr求积分，根本不是环内的平均速度而是“总的速度梯度”。

[[小猪：您这次的疑问不是我的表达不清，是您对积分意义的理解出了偏差。gdr=dv，即相邻环上的平均速度微差。对gdr积分的结果就是终点环与起点环上的平均速度差，由于起点环在无穷远处，平均速度为零，因此积分结果就是终点环上的平均速度。注意，我提的是环上平均速度，不是环内整个区域的平均速度。以下您的理解再次出了偏差。但环内平均速度与环上平均速度也是正相关关系。]]

2、宏观分析：很明显，积分的初始值r取得越远，积分值越大。难道环越大被拖动的水流平均速度越大，环越小被拖动的水流平均速度越小？？？？显然应该相反！！！取个极端情况，从无穷远内开始计算，整个环内被拖动的水流平均速度显然趋近于0，但你的积分结果不为0，说明你说的积分结果是“平均速度”的说法不成立。

[[如上所述积分值是终点环与起点环的平均速度差，起点环取得越远，起点环上的平均速度就越小，当然与终点环的速度差就越大，即积分值越大，但终点环上的平均速度等于速度差（积分值）加上起点环的平均速度。一点也没有矛盾。您的理解完全反了。

此外，对菲索实验起影响的只是很小的一个环内的平均光介子气速度。]]

望你进一步推敲积分结果的物理含义。

[[希望您仔细推敲。]]

你用的"平均"一词容易让人产生歧解,这次通过你的解释,我明白了你的意思,是"环上"平均速度而不是"环内"平均速度.我前帖对积分意义的理解没有错,我说积分的结果是"总的速度梯度",不就是你现在说的这个意思吗?

尽管如此你的推导仍不成立.

1.你曾说过,两根细线离得很远.这样,我问你:你怎样划定内环R,使一根线时的情况与两根线时的情况具有可比性?显然,两根线时,内环难于R划定!即使勉强划出,跟一根线的情况也无法比较.

2.一根线引起的流水"速度梯度分布函数"与"二根线时的"速度梯度分布函数"大不相同,对不同的函数积分,你如何预测结果的大小?(你的推理过程中已隐含两者具有类似的分布函数,最多只是比例系数不同而已!)

黄德民

2.一根线引起的流水"速度梯度分布函数"与"二根线时的"速度梯度分布函数"大不相同,对不同的函数积分,你如何预测结果的大小?(你的推理过程中已隐含两者具有类似的分布函数,最多只是比例系数不同而已!)

不管细线怎么分布，由动量定理，总有环路上的内磨擦积分恒等于环内全部细线所受粘滞阻力之和，而内磨擦又与速度梯度正相关，因此内磨擦积分大也就意味着平均速度梯度大。因此，两个被积函数起点值（无穷远处）都为零，但在积分路径上一个处处大于另一个，积分值当然也应保持这个关系。]]

本证明的关键是：任意环柱面上的内磨擦积分应当严格等于环内包围的细线所受粘滞阻力的总和（由环内流水施加，因而环内流水受到了相等的反作用力），才能保证环内流水的总动量不变。

现在考虑两个细线族。左边细线族分布在直径10cm的圆上，右边细线族分布在20cm的圆上。线的直径为1埃，相邻距离为3埃。

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再假定积分终点环都从20cm收缩到10cm。可以证明，在这个过程中，环内细线受到的粘滞阻力之和始终大于零，因此环上平均速度梯度也始终大于零，因此在收缩过程中环上平均速度是单调增加的，中心点是速度最大的点；环内平均速度也是随着环的减小而单调增加。

前帖已经证明，在20cm处时，终点环上的平均速度是右边大于左边。

但在收缩过程中左边环包围的线数不变，而右边环包围的线数减少，但始终多于左边环。

右边环在收缩过程中其上的内磨擦积分应当恒大于零，如果等于零则意味着环内细线所受粘滞阻力和为零，也就是流水与细线同速了，相当于完全拖动。这是您不可能接收的。

如果右边环在收缩过程中包围的每根细线所受平均粘滞阻力与左边相同，则右边环上的内磨擦积分始终比左边环大，平均速度梯度也较大，因此到达10cm环时，右边环上的平均速度也应当比左边环大。

如果右边环内包围的细线所受平均粘滞阻力小于左边环，则意味着环内细线与环内平均水流速度的差较小，也就是右边环内平均水流速度较大，直接得到了您不希望的结果。