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用相对论、统一场论解释麦克斯韦方程 作者 张祥前 本文大写字母为矢量 麦克斯韦方程中有变化的电场产生磁场 ∮B·dR =μ。 I + （1/C²） dΦe/dt 变化的磁场产生电场。 ∮ E ·dR = －dΦ/dt = - ∮s（- ∂ B /∂t）·dS 相对论加统一场论【百度统一场论5版可以看到】可以给出解释。 麦克斯韦方程组中 ∮ B·dR =μ。I + 1/C² dΦe/dt = μ。I + （d/dt ）（∮s E·dS)/ c² 表示运动的电荷μ。I【也就是电流，安培环路定理中电流项】可以产生磁场，变化的电场（d/dt ）（∮s E·dS)/ c²也可以产生磁场【即麦克斯韦位移电流假设】。 麦克斯韦位移电流假设表示了真空中，点电荷周围空间电场的变化和磁场之间的关系，而安培环路定理表示了许多点电荷运动产生的变化电场和磁场之间的关系，我们应该看到，麦克斯韦位移电流假设是基本的，安培定理只是推广。 本文描述的是物质点在真空中的运动情况，不考虑形状物体在介质中运动情况，所以，略去μ。I这一项，重点解释 ∮ B·dR = （d/dt ）（∮s E·dS)/ c² 麦克斯韦方程认为，在某一个时刻，在点电荷o附近某处自由空间中，不存在其他电流的情况下，变化的电场E可以产生环绕线状磁场B，且满足以下关系： ∮ B·dL = （d/dt c²） ∮s E·dS 以上就是麦克斯韦的位移电流假设，c是光速，dS为矢量面元，t 为时间，d是微分的意思。L是沿B方向的几何线量，方程左边是环路线积分，右边是环路面积分。 我们知道，速度包含了时间，随速度变化意味着肯定随时间变化，所以，应该可以从相对论中导出麦克斯韦的变化电场产生磁场的位移电流假设，下面来给出推导过程。 相对论认为，一个点电荷o相对于我们以速度V运动的时候，在周围空间p处产生了电场E和磁场B，并且满足以下关系： B = V×E /c² 为了推理简单我们假定V沿x轴方向，我们将方程B = V×E /c²两边点乘一个微小的空间长度矢量dL（方向和B同向时候，B·dL的值为最大） ,结果为： B·dL =（V×E /c²）·dL = (1/ c²)（dRx×E/dt）· dL = (1/ c²dt)E·(dL× dRx) 注意dRx /dt = V，方向沿x轴。 在下图中，o点在直角坐标系的原点上，并且以速度V（远小于光速度C）沿x轴匀速直线运动，我们以一个高斯面s = 4πr²【r等于矢量R的长度】包围o点，我们考察s上一点p电场和磁场情况。
由于dL和dRx相互垂直时候，相乘数值最大，因而（dL× dRx)可以看成一个矢量面元，这个矢量面元的方向和E一致的时候，E·(dL× dRx)的值最大。因而dL× dRx可以看成高斯面s其中的一小块矢量面元dS。 如果我们将方程B·dL = (1/ c²dt)E·(dL× dRx)两边的变矢量微分dL求环量积分， ∮L B·dL = (1/ c²dt)E·∮L (dL× dRx) 方程右边的矢量面元dS = (dL× dRx) 变成了一条带状环形面积，宽度为dRx，如上图所式。 ∮L B·dL = （d/dt ∮s E·dS)/ c² 左边取环绕一周的线积分，右边取环绕一周的线积分和dRx的乘积，也可以记为面积分，两个积分区域是相同的，都是角度从0开始到2π结束，因而对方程B·dL = (1/ c²dt)E·(dL× dRx)两边的空间变量求环路积分，等式仍然成立。 ∮L B·dL = （d/dt ∮s E·ds)/ c² 这个就是麦克斯韦位移电流假设，注意，积分∮B·dL是沿B的环绕方向的线积分，∫s E·dS是高斯面积分, 当dRx无限缩小，这个带状高斯面就转化为一个线状圆周，可以说，磁场B是电场E在高斯面S上因高斯面S变化而产生的圆周界线。
下面我们来解释麦克斯韦方程中变化的磁场产生电场中的变化磁场产生电场 ∮E ·dR = －dΦ/dt = ∮s（- ∂ B /∂t）·dS 这个方程也就是法拉第的电磁感应原理。 由相对论中的磁场和电场相互关系式B = V×C/ c²，仍然假定V沿x轴，得到： B = (dRx/dt)×E/ c ² 在统一场论中认为，时间是空间以光速运动造成的，有时空方程： r ² = c²t² r是高斯面s = 4 π r²【r等于矢量R的长度】的半径,这样有： B = (dRx/dt)×E/ (dr/dt) ² B (dr)²/dt = dRx×E 由于高斯面s =4πr²是以r为半径，以光速c扩大，因而在(dr)²很小的情况下，可以把(dr)²可以看成是高斯面其中的微小一部分，用矢量面元dS【数量为ds】表示，则： 将方程两边点乘单位矢量N, N·(B ds)/dt = N·（ dRx×E） 用dS表示ds，方向和N一致，以上方程左边可以表示为：B· dS/dt，方程右边可以为：E·（ dRx× N），因此有下两个式子： B· dS/dt = E·（ dRx× N） B· dS/dt = - E·（N×dRx） 用矢量dL表示N×dRx，则上两式为式为： B· dS/dt = E·dL B·dS/dt = - E·dL 这两个式子我们选哪一个？ 在统一场论中，电荷o点的质量为m，带有电荷q = k dm/dt【k为常数】在周围空间p处产生的磁场B的几何方程为： B =Ψ【μ。ε。(k dm/dt)R×V/4πε。r³】 Ψ 为相对论效应修正相， Ψ = （1- v²/c²）/【√[1- (v²/c²)sin²θ] 】³，其中θ为R和x轴的夹角。 由于1/c² =μ。ε。，所以B =Ψ【μ。ε。(k dm/dt)R×V/4πε。r³】可以写为： B =Ψ【 (k dm/dt c²)R×V/4πε。r³】 由统一场论的时空方程R = ct,上式可以为： B =Ψ【 (k m )d【R】×V/ c 4πε。r³】 【R】为沿R的单位矢量，V/ c的数量式v/ c在统一场论可以表示为cosθ,由于cosθ的微分为-sinθ,所以应该取 B·dS/dt = - E·dL 上式两边是微分式，两边积分，就是法拉第电磁感应式; -∮B·dS/dt = ∮E·dL 注意，上式右边是环绕一周的线积分，左边是面积分，这个面积分是右边同样的环绕一周线积分【所以方程添加积分号仍然成立】和dRx的乘积，是一个圆环带状面积，当这个无限微小带状面积的变化时候，这个带状面积的微小变化可以看成是线性圆周。 |
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