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（山东 章丘一职专 250200） 马国梁
"最速运动路线"是一个已经研究了几百年的经典问题。说的是：在空间中有A、B两个定点，求质点从一点运动到另一点沿什么样的路线用时最短。无疑，"费马原理"和"最速降线"都是这个问题的研究结果。前者揭示了光在通过界面时的折射规律；而后者则解决了物体在均匀重力场中下降的路径问题，亦被称为"最速降线"问题。但是长期以来，这两个方面的结果迟迟没有得到统一。直到最近经过笔者的深入研究，才终于成功解决了这一难题，将两者统一到一个方程式中。 一、费马原理的广义公式 2006年，笔者先后在《中国当代思想宝库》一书和自己的博客中发表了《费马原理的最新表达形式及其应用》一文。我在文章中指出： 费马原理还有另外一种表达形式，其微分式是 d (n r sinα) = 0 （1） 式中α是光线与介质中微元面法线的夹角，在该微元面上折射率处处相等；r是在由光线与法线决定的平面内微元面的曲率半径。虽然n、r和sinα都在随地点变化，但其乘积却始终保持不变。该公式适用于光在所有不均匀介质中的折射情况。在有些情况下用起来特别方便。 这是由笔者发现的表达费马原理的广义公式。关于它在大气折射和"海市蜃楼"现象中的应用，我在文章中已经作了交代。 二、最速运动路线的普适方程 由于介质的折射率与光在其中的运动速度成反比，所以（1）式也可以写成 d ( r sinα/v) = 0 （2） 式中α是质点运动方向与等速微元面法线的夹角；r是在由运动方向与法线决定的平面内微元面的曲率半径。质点在运动中，虽然v、r和sinα都在随着地点变化，但其乘积却始终保持不变。 笔者通过进一步的研究发现：该公式竟然有更为广泛的适用范围。它不仅反映了光在所有不均匀介质中的连续传播规律，还确定了质点在所有保守力场（引力场、电场、磁场）中的最速运动轨道，且在某些情况下用起来也特别方便。在均匀重力场中的"最速降线"问题只是其中的一个特例而已。 这就是由笔者独立发现的最速运动所共同遵循的普适方程。该方程一举解决了在不均匀力场中质点的最速降线问题，这是前所未有的成果。 三、应用实例A 下面我们就以地球的重力场为例，具体讨论对该方程的应用。此时各等速面都是同心球面，各点的法线都是它们的半径。 设地球的半径是6371 km .我们想从A地开凿一条地下隧道通到远处的B地，让货物在重力作用下且用最短的时间自己运动过去。但由于地质条件的限制，所以隧道的最低点不能超过1000 km的深度，求A、B间的最远距离及轨道方程。 我们知道，上面（2）式也可以写成 r sinα/v = r。sinα。/v。 （3） 当物体在A点时 r。= 6371 km v。= 0 所以必然有 α。= 0 就是说，物体在一开始必定是自由下落的。 而在隧道最低点，半径最小 R = 6371- 1000 = 5371 km 速度最大 V = sqrt[g (r。- RR/r。)] = 4.25 km/s 夹角最大 α= 90° 在隧道的其它点上，设极半径为ρ，极角为φ. 在A点 φ= 0 则因为 sinα= ρdφ/sqrt[(dρ)^2 + (ρdφ)^2 ] = 1 /sqrt[(dρ/ρdφ)^2 + 1 ] 所以 dφ = dρ/(ρsqrt(1/sinα^2 - 1)) 再将 v = sqrt[g (r。- ρρ/r。)] 和 V = sqrt[g (r。- RR/r。)] sinα= Rv/(ρV) = (R/ρ) sqrt[(r。r。-ρρ)/ (r。r。- RR )] 代入φ式并积分 得 φ = ∫[1/(ρsqrt(((ρ/R)^3)(r。r。- RR)/ (r。r。-ρρ) - 1))]dρ = arctg[(R/r。)sqrt((r。r。-ρρ)/ (ρρ- RR ))] - (R/r。) arctg[sqrt((r。r。-ρρ)/ (ρρ- RR ))] 这就是隧道的极角方程。严格的计算证明：它是标准的滚轮内摆线！ 在A点，因为 ρ= r。 所以 φ= 0 而在隧道最低点，因为 ρ= R 所以 φ= 0.5π(1- R/r。) = 0.246554 rad = 14.1265° 这也是从最低点到达B点的极角φ。 由此可得从A到B的最远距离是 s = 2φ。r。= 2×0.246554×6371 = 3141.59 km 以上计算考虑了在地面以下重力场减小的问题。此时重力场强是与半径成正比。 与上同理，我们还可以证明：在地面以上，如果变成斥力，且斥力场强与半径成正比，那么A、B间的最速运动路线将是标准的滚轮外摆线！恕此处不再赘述。 四、应用实例B 当假设地球的质量都集中于地心时，重力场强将与半径的平方成反比。但此时的隧洞已经不是隧洞，而是变成了两头高的"天桥"。 在A点，物体一开始的运动仍然是自由下落的。 而在天桥的最低点，速度仍然最大。 V = sqrt[2g r。(r。/R - 1)] = 4.822 km/s 在天桥的其它点上，则因为 v = sqrt[2g r。(r。/ρ- 1)] 和V = sqrt[2g r。(r。/R - 1)] sinα= Rv/(ρV) = sqrt[((R/ρ)^3)(r。- ρ)/ (r。- R )] 将之代入φ式得 φ = ∫[1/(ρsqrt(((ρ/R)^3)(r。- R)/ (r。-ρ) - 1))]dρ = ∫[1/(ρsqrt(((ρ/5371)^3)(6371- 5371)/ (6371-ρ) - 1))]dρ 此时我们无法得到积分的原函数式，但是可以利用数值进行积分运算。 因为积分区间是 R → r。 所以可以算得从最低点到达B点的极角是 φ。= 0.2245838 rad = 12.8677039° 从A到B的最远弧长是 s = 2φ。r。= 2×0.2245838×6371 = 2861.64678 km 比上边滚轮内摆线所对应的地面距离要小。 此时从零速圆周上开始的最速降线已经不是滚轮内摆线，但是仍然类似。且R/r。越接近1 ，两者就越类似，甚至趋同；而R/r。越接近零，两者则越悬殊。 我们知道：在直线上，所有的滚轮摆线都是相似的；同理，在零速圆周上，所有弧角相同的最速降线也都是相似的。（注意：相似不是类似！相似形的对应边比例都相等，而类似形的对应边比例则定有不等。） 此时R/r。越小，最速降线的张角2φ。就越大。但是当R/r。→ 0 时，2φ。却不能趋于π，而是趋于一个极限值（约等于1.04676 rad）。所以只有当始、终点的半径夹角小于该张角时，才能有连接它们的最速曲线；而当始、终点的半径夹角大于该张角时，两点之间的最速降线则变成了它们所在的两条半径。
总之，最速运动路线的形成必须是在确定的速度场中，而确定的速度场的形成又必须是在保守的力场中。在非保守力（如摩擦力）场中是绝对不行的。保守场的方向和强度分布不同，最速运动路线的类型也就不同。它可能是滚摆线（也叫旋轮线），但也完全可能是别种线。所以滚摆线未必总是最速线，它必须在特定的情况下才能成为最速线。 最速运动路线普适方程的发现，在物理学和几何学上都有着重大的意义，它填补了人类科研史上的一项空白。物体是没有思想的，更不可能想那么长远，使自己能沿着用时最少的路线运动。不仅保证自己在每个微分段用时最少，还能保证在整体上也用时最少。但是如果给它一个合适的机制，那么就能使它走出用时最省的路线，这不难理解。对于这一问题的研究，人们曾走了许多弯路，耗费了无数人的精力；可现在我们所得到的运动制约竟是如此简单，真是出人预料，令人叹奇！
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