从相对论导出麦克斯韦位移电流假设

 （本文粗字体为矢量）

相对论认为，一个点电荷Q相对于我们观察者以速度v沿x轴正方向匀速直线运动(如下图)，在v的垂直方向上的电场E将发生变化，会产生和v以及E相垂直方向的磁场B，B和E，v满足以下关系：

B = E ×v/C²

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麦克斯韦方程认为，在电荷附近某处自由空间中，不存在其他电流的情况下，变化的电场E可以产生和E相垂直的环绕磁场B，且满足以下关系：

• ∮ Bdr = （d/dt ∮s Eds)/ C²

我们知道，速度包含了时间，随速度变化意味着肯定随时间变化，所以，应该可以从相对论中导出麦克斯韦的位移电流假设，下面来给出推导。

我们不作一般推导，给出最简单的点电荷、真空下的情况。

在上图中，参考系x'y'z'Q沿x轴正方向以速度v匀速直线运动，Q静止于x'y'z'Q'系中的原点，我们来考察y'轴上一点P【在zyzO参考系中观察】变化的电场E和磁场B之间的关系。

为此，我们将方程B = E ×v/C²两边点乘一个微小的空间长度矢量dr（方向和B同向） ,结果为：

• Bdr = （E ×v/C²）dr = (1/ C²)（E ×dx/dt）dr = (1/ C²){(dE/dt)×dx}dr = (1/ C²)(dE/dt)(dx×dr )

由于dx和dr相互垂直，对于dx，就是P点在某一个微小时间内沿x轴方向的一段位移，正是由于P点运动了dx这么远距离，和dr相乘产生了一个矢量面元，我们用ds = dx×dr 来表示这个矢量面元，由于ds的方向和dx、dr相互垂直，和E同向，因此可以把ds看成一个小的高斯面，所以：

• Bdr = (1/ C²)(dE/dt)ds

将上式两边取积分，结果为：

• ∮Bdr = （d/dt ∮s Eds)/ C²
• 这个就是麦克斯韦位移电流假设，注意，积分∮Bdr是沿B的环绕方向的线积分，∫s Eds是高斯面积分。