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美国学者阿尔伯特·H·贝勒在他写的《数论妙趣--数学女王的盛情款待》一书中曾这样说过："从数学史上的黎明时期开始，素数一直是不守规矩的‘化外之民'，所有想把它们分类整理的一切企图都失败了。人们徒劳无功地注视着素数表，想从中找出第n个素数与其数值之间的某种关系，即素数序列的规律，然而一次又一次地遭到挫折。"他的这段话反映了直到上一世纪人们在挫折面前仍然束手无策的困境。然而随着时代的发展，新的思路不断产生，特别是计算机技术的普及，使我们能够对一些计算量非常巨大的设想进行检验了，从而为问题的解决提供了可能。笔者正是在这种形势下，终于找出了解决问题的出路。 笔者虽然不能给出素数真正的递推式，但是我根据素数产生的机制，却推出了与素数序列曲线平行甚至重合的曲线递推式，从而在相当高的精度上反映了素数的上升规律，填补了数学上的一项空白。这在数论发展史上有着里程碑式的意义。 我所发现的基本递推式共有两个，一个是累加式 Pi +1 = Pi + ( Pi - Pi -1 ) Pi / (Pi - 1 ) 若从i = 2开始，那么则 P1 = 2 ， P2 = 3 P3 = 3 + (3 - 2 ) 3 / (3 - 1 ) = 4.5 往下可带着小数无限后推。 通过在计算机上的检验证明：在1万号素数上，推算结果的相对偏差是 +3.08% ；而在1千万号素数上，相对偏差则是 +1.94% ；有减小的趋势。 再一个是累积式 Pi+1 = Pi×Pi ^(1/ Pi ) = Pi + ln Pi + [(ln Pi)^2] /2 Pi + [(ln Pi) ^3 ] / 6 Pi Pi + ...... 其中 P1 = 2 还是通过在计算机上的检验证明：在1万号素数上，推算结果的相对偏差是 -0.39% ；而在1千万号素数上，相对偏差则是 -0.005% ；有减小至0的趋势。 另外在反复试验对比的基础上，笔者还推出一个经过修正后的经验递推式 Pi+1 = Pi + lnPi / [1- 0.62 / sqrt(Pi )] 其中 P1 = 2 但这个公式我们不知它究竟能走多远，我们只知在起初很大的一段范围内还是很理想的。从i = 103开始，它与素数的相对偏差绝对值就小于 3.1% 了；在1万号素数上，相对偏差是 +0.046% ；在1千万号素数上，相对偏差则是 +0.005% ；也有减小至0的趋势。 至于素数和序号的关系，笔者经过认真的研究后认为：计算素数个数（序号）的公式 i = x/(lnx - 1) 比过去常用的 i = x/lnx 要精确的多 并因此推出素数和序号的关系式为 x = i [lni +ln(lni )- 1] 这样，不管序号有多大，我们就都能比较精确的算出素数的期望值了。例如第1千万号素数的计算值是178980382.5 ，而原值则是179424673 ，相对偏差只有 -0.25% . 有请诸位网友继续检验。有序总比无序好，从今后素数的序列规律不再神秘！ 素数定理的内容已经被包含在上述公式中。 也请诸位网友收藏和转贴本帖！ |