三、后佩雷尔曼时代的世界科学工业

如果说，梅晓春教授认为庞加莱猜想的证明纲领，佩雷尔曼仅仅是跟进了哈密顿和丘成桐发明的里奇流这把刀子，宣告"这一纲领的完成"，那么哈密顿和丘成桐就应该证明早了庞加莱猜想。庞加莱猜想是说如果伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。即苹果表面是"单连通的"，而轮胎面不是。

陈超先生在《环球科学》杂志发表整理的《量子引力研究简史》一文中说："1904年，法国科学家庞加莱提出庞加莱猜想，奠定了当代前沿科学的数学基础。即正猜想的收缩或扩散，涉及点、线、平面和球面；逆猜想的收缩或扩散，涉及圈线、管子和环面；外猜想的空心圆球内外表面及翻转，涉及正、反膜面，和点内、外时空。这标志着传统科学的结束，革命科学的开始"。这个开始用打网游的机械流和策士流类比科学的生产与创新，现代科学缩影为类似模具生产，再被放大，就是我们说的"世界科学工厂"、"世界科学工业化"的出现；庞加莱猜是其设计的统一蓝图。

1、佩雷尔曼证明了庞加莱猜想及引起的风波，尘埃落定之后，标志着后佩雷尔曼时代的到来。葛森的《完美的证明》一书是对其前时代的回顾与总结。

集成实证检验和理论研究，对于了解自然选择如何塑造模具及其相互作用，是让实证研究和理论方法之间的新发现和新见解，充分联系起来，这对各个世界科学工厂的"制造"至关重要。有人说，大多数模具研究是实验性的，而实验性研究从根本上又是依赖于理论工作，以用于进行可被验证的预测并解释一些观测到的现象。反过来，实证数据提供测试已建立的理论并可指导发展新的模具。然而，用足够的技术细节展示理论的重要性有时与表现一个清晰的、可接受的模具精髓相矛盾。简洁而精确地描述数学模型的结构需要使用公式，以及许多实验性研究主要建立在其他实验性研究上，很少直接参考相关理论，但这样的模具技术细节，会阻碍我国广大的科学工厂"工人"做实证研究；"钱学森之问"，就是这种理论与实践结合的失败。这可对照葛森的书粗略来分析。

1）企业分析：

佩雷尔曼为里奇流的分析与几何学结构带来了革命性的洞见，由此葛森采访了世界很多数学家，很多人说有关丘成桐与佩雷尔曼的争议，被数学界以外的人士没有必要地夸大了。摩根是和田刚一起合著解读佩雷尔曼证明新书的数学家，他认为，当代的科学尽管圈子很小，但运行得像个企业。因为这个企业很小，它有时表现得像个家庭，它将内部成员保护起来，并依赖内部成员之间的和平、合作和交流发挥功能。

a）摩根说，科学和充满政治的类似社会学科不同，这里的人寄希望于争议的自我消亡。因为一旦在这种小屋发生战争，支持者和反对者划清界限，各立门派，这对谁都无益。企业需要保持为一个舒适宜人的工作场所。科学在这个如此小的社会中，成员们应相互尊重，相处得体；人们无法承受彼此一刀两断。摩根说到丘成桐，在学术界有位置，丘成桐教的学生横跨太平洋两岸，不但有着制度上的极大权力，也占据着一个庞大而活跃的学术圈的中心位置，对于大多数科学家来说，被孤立在这个学术圈之外不好。

b)但我国长期处于革命斗争阶段，改革开放前也坚持以阶级斗争为纲，科学虽讲百花齐放，但强调批判资产阶级的现代科学。由此联系《新京报》报道北京航空航天大学年青教授韩德强，2012年9月在北京抗议日本政府"购岛"的队伍中，因一名老人对有人打出的标语提出异议，韩德强作为一名大学教授、有相当影响力的知识分子，仅仅因对政治问题的看法不同，就对八旬老人大打出手，上前搧了老人两个耳光。在事后明知因观点不同就打人涉嫌违法，却坚称"绝不认错"；并仅因为意见不同，且未经法律审判，就指责别人为"汉奸"，还说今后遇到"汉奸"还要照打不误。《新京报》评说，在共同抗议日本政府"购岛"行径的时候，本应理性、包容，携手一致，而不是动辄施加暴力，令"爱国"蒙羞。这是既令人错愕，但也不难理解。

因为摩根所说的科学教育，在我国闻所未闻。即使像科学院一些科学家掌管的科学网论坛和天地生人学术论坛，网民在遵守论坛条例和国家法律的情况下，即使类似对里奇流的分析与几何学结构带来革命性的洞见的文章，仅因版主不喜欢，不但不允许上网，而且连论坛别的文章或自己曾在论坛发过的文章，也不许看。不也令科学蒙羞。

2）呵护分析：

葛森说，佩雷尔曼本身就是人类的一个工程。数学家母亲的养育、卢克欣的教导、雷日克的爱护、阿布拉夫的训练、扎尔加勒的指导、亚历山德罗夫的保护、布拉戈的照料、格罗莫夫的提拔等，前苏联伯乐数学家们，不断接力着从小到大守护他，为他营造了纯净的数学空间，令人感慨。但这只是一个重要的呵护方面，另一个重要方面的呵护，是前苏联在斯大林的英明领导下，打造了数十万数学家公务员队伍，由此出现了一大批世界级的杰出数学家，出版了一大批极具普及性的前沿数学知识的书籍，在整个国家形成了一种长期的高度数学智力集群效应的社会氛围。没有这种高度数学智力集群效应的呵护，国家即使出了个别数学千里马，也出不了伯乐。

以呵护佩雷尔曼的亚历山德罗夫（Alexandrov）为例，他1896年生于俄国博戈罗茨克，1982年卒于莫斯科。1917年毕业于莫斯科大学物理-数学系。1922年开始，他和乌雷松在拓扑学领域的创造性工作奠定了莫斯科拓扑学派的基础。亚历山德罗夫的数学研究开始于实变函数论和描述集合论，之后他又引进了一系列基本概念和拓扑结构，建立了本质映射定理和同调维数论，导出一系列对偶性原理的基本规律，发展了连续映射理论，为现代拓扑学做出奠基性的贡献。自康托尔研究欧氏空间的点集开始，在上世纪20年代初，这一新的数学分支有两个中心课题，一个是拓扑空间的紧致性问题，另一个是拓扑空间的度量化问题。亚历山德罗夫与乌雷松的合作，在这两方面都得到了重要结果。在30年代中期，拓扑学的两个完全不同的分支----庞加莱的代数拓扑学和由弗雷歇、豪斯多夫开创，亚历山德罗夫建立了重要功绩的点集拓扑学之间出现了实质性的联系。亚历山德罗夫和霍普夫合作的专著《拓扑学》，就是这两个拓扑学分支综合发展的结果，是集合论方法与组合拓扑学方法有机结合的拓扑学经典之作。佩雷尔曼是他最后的关门弟子。亚历山德罗夫是一位杰出的教育家，为前苏联培养了好几代大数学家。

3）手术分析：

在世界科学工厂、世界科学工业化进程的世界顶级科学家中，葛森说，第一类学术精英，是那些提出没有任何其他人曾想过的问题、开创新领域的人，如庞加莱和瑟斯顿。第二类是那些设计出解答这些问题的方法的人，试图证明其他人提出的定理，却还没来得及形成自己的定理，如哈密顿。第三类是那些珍奇物种，他们来走完证明所需的最后几步，这类坚持不懈、严格苛求又耐心超常的科学家们，将铺设出其他科学家曾经梦想并标记出的道路，如佩雷尔曼。

a）摩根说，佩雷尔曼证明庞加莱猜想的第一篇论文，整篇讨论的都是Ricci流，Ricci流是哈密顿创立的。第二篇论文讨论的是手术后的Ricci流，也是哈密顿原创的。第三篇论文2003年7月发布，是最后一份，只有7页，类似结束语，重要的都在前两份完成。在佩雷尔曼的这些处理中，他将手术后的Ricci流和亚历山德罗夫空间以及他与格罗莫夫、布拉戈所做的工作融合在了一起。这下哈密顿的专长受到限制了。哈密顿所做的，本质上是将庞加莱猜想转变为一个超级的数学奥林匹克问题。

在某种意义上，哈密顿挫了这一猜想的锐气。而佩雷尔曼证明了两件主要的事情：其一，他证明了哈密顿其实不需要假设曲率将一致有界；在证明展开的想象空间中，这种情况将总是成立的。其二，他表明了所有将会产生的奇点都是同源的；在曲率开始"爆炸"，变得无法控制时，它们将会出现。既然所有奇点都具有同一本质，对于它们有一个有效的工具----哈密顿首先设想的手术将完成这一工作。另外，佩雷尔曼证明了哈密顿假设的一些奇点将永远不会产生。

1982年瑟斯顿发现每一个三维空间都只可以分成八种几何对应的部分。这个猜想被称为几何化猜想。瑟斯顿的洞见将导致庞加莱猜想的证明，因为一个球面只是八种符合平凡基本群的不同几何中的一种。但瑟斯顿证明不了自己的猜想。哈密顿研究庞加莱猜想和瑟斯顿猜想，联系早期微分几何学家里奇-柯巴斯特罗的发现，他把自己提出的引导流的一个以物理学中的热方程为模型的几何演化方程，命名为"里奇流"。但在三维中，里奇流的"颈"有时会被拉断，把空间分成具有不同特定几何的部分，因此虽然汉密尔顿有发展，但在里奇流上还是未能处理好奇点问题。

为什么里奇流能介入庞加莱猜想？众所周知，里奇张量是圆周运动的数学进化和物理射影，圆周运动联系球面自然是正曲率。哈密顿的聪明，是把里奇张量联系正曲率，换为里奇流与正曲率联系的设想：因为庞加莱猜想要求任何维度的球面，都具有一个不变的正曲率，这是庞加莱猜想物体的基本属性。所以如果能够找到一个测量无法识别且无法想象的三维小圆块的方法，再将这一个小圆块进行变形，与此同时不断测量它的曲率，那么曲率将最终为正并恒定不变，而这一小圆块最终将被确定地证明为一个三维球面。这意味着这一小圆块一直就是一个球形，因为变形实际上并不改变物体的拓扑性质，而只是使物体变得更容易识别。

b）哈密顿写出了一个方程，来表明小圆块和度量随着时间推移而改变的方式。他证明随着小圆块被塑造，它的曲率不会降低而是必将上升。这帮助他证明了曲率确实将为正。但是如何确保它将恒定不变，哈密顿陷入了困境。转换哈密顿写的方程中描述的度量的过程被称为Ricci流（里奇流）。其演化过程中会经常性地出现奇点。

哈密顿提议可以用通过预测奇点、停止函数（Ricci流）、手工解决问题、再重新开始Ricci流的办法，来消除这些奇点。哈密顿的手工解决问题在拓扑学中，这种干预被称为"手术"。哈密顿想象的转换就是带手术的Ricci流。实际就是根据这个问题的具体情况要设计一个函数，计算机编程中就常出现这类情况。但哈密顿要使他的纲领能够起作用，第一，曲率必须有一个一致的上界（边界）；如果设想为真，证明行得通。但哈密顿如何知道他的假设正确呢？第二，当哈密顿设计带有手术的Ricci流并展示了它在某些情况下有效时，他不能证明不管出现什么种类的奇点它都有效。

c）相对哈密顿做出了进步但最终没有成功，佩雷尔曼1993-1994年就开始触及与亚历山德罗夫空间（Alexandrov空间）相近的领域，包括运用Alexandrov空间解决庞加莱猜想和几何化猜想，与人讨论Ricci流在Alexandrov空间中是否能得到有效应用？

1995年29岁的佩雷尔曼在结束美国三年的学习前，掌握了里奇流；坚持到2002年，他的《里奇流作为梯度流》的论文已找出了哈密顿漏掉的一个重要细节：一个随流总是递增的量，给出了这个流的方向。佩雷尔曼将其与统计力学、热动力学规则下的数学作了类比，并将这个量称为"熵"。"佩雷尔曼熵"虽然排除了难住哈密顿的几种特定奇点，但仍然需要确定剩下的奇点中可能有问题的种类，且必须说明一次只会有一种情况，而不是多种无限的叠加累积。然后，对每一种奇点，还必须说明如何在它可能使里奇流破坏之前修剪和使其光滑。但这些证明庞加莱猜想的步驟已经足够了，只是佩雷尔曼对其最后的步骤解释太过概括。

d）既然是前沿科学类似世界科学工厂、世界科学工业，是生产模具产品，而且是多模具，并是交给各个世界科学工厂分头去"制造"的，具体来说就是美中俄三大国之间的协同与竞争，那么任何一个国家、一个组织、一个科学院都不能独自把生命的智力垄断得了。这就是为什么曹怀东和朱熹平要参加解读佩雷尔曼证明里，那些没写下完成了庞加莱猜想和瑟斯顿几何化猜想证明的论文细节，成为三篇独立的论文之一。

但为什么是曹怀东和朱熹平？佩雷尔曼的例子反过来也说明，这里有一个底线：

参加这种顶级竞争的人，世界给予的是一个无与伦比的大脑。但这是事先无人能确定的；然而有一点是确定的：那就是这个大脑必须完全用在解决打这场竞赛一类的项目上。但我们发现很多人制造模具，只是图个"业余"。因为即使他们发表过文章、出过书，也只是把一时的灵感和不专业的兴趣，拿到比赛场去试个好运。如果有行家指出他真错了，他认识到后也会无所谓，说本身就是搞业余的事。所以这种大脑造就的规则是，在成功之前保持着与外部世界的联系，第一，这是受教育的过程，是他对于其他人所能传授给他的科学知识的渴望所需。只有当现在外部世界所能提供给他的教育多多少少已经穷尽，不再有什么大用；而这个外部向他提出的要求，因此也变得无法理喻，才需不去理会。第二，只有到这一步时，他才是一心一意搞竞赛的合格运动员。

丘成桐和田刚就是这种运动员。但他们虽已经是大师级的，然他们也能自知之明：自己的智力无法突破终点。世界科学工厂、世界科学工业就是这一类特殊的企业，其运动员进行的项目只能接力赛，这就是为什么田刚会选中佩雷尔曼交朋友；丘成桐要选曹怀东和朱熹平来试一试。格林在他的另一部《宇宙的琴弦》的书中，曾盛赞与里奇流也有关的丘成桐-田刚过程，说它的意义在于提供了一个从已知卡拉比---丘成桐空间生成新空间的途径，其潜力诱人。因为弦理论家们发现，弦理论中多余的维度应该卷曲成卡拉比-丘空间的形状，他们还计算出一些对弦振动模式产生影响的结果，使卡拉比-丘流形身价大增。而典型的卡拉比-丘空间都包含着洞，这就联系着环面。

也许丘成桐教授正是通过证明卡拉比猜想创立卡-丘空间，逐渐认识到庞加莱猜想空间的基本性，萌动了证明庞加莱猜想的计划。特别是在1966年美国的斯梅尔证明五维以上的庞氏猜想获得菲尔茨奖、1983年美国的弗里德曼证明四维庞氏猜想获得菲尔茨奖之后，无疑更刺激了丘成桐的萌动。由此丘成桐才选中田刚做学生和运动员。田刚也正是在推进丘成桐研究的卡-丘流形中，才认识到庞加莱猜想空间的基本性。

在丘成桐-田刚扩大研究卡-丘空间战果的漫长岁月中，应该说他们都想到一块，从丘成桐-田刚师生身上能看到我们中国人，焕发出来的推进卡-丘流形的科学智慧，但也看到证明庞加莱猜想的难度。因为从纯数学理由研究的卡拉比---丘成桐空间与现在的弦理论的紧密联系，虽然田刚等数学家从数学上严格证明了用来计算卡拉比-丘空间能放多少个球的公式，解决了几百年的数学大难题，但1987年丘成桐和田刚发现一种翻转变换操作，使一定的卡拉比-丘空间形式可以变换成其他形式。例如想象把皮球的表面收缩到一点，使空间结构破裂，在破裂的卡拉比-丘空间尖点，再"翻转"生成另一个球面，这与庞加莱猜想有多种不确定的联系。

哈密顿是美国康奈尔大学的教授，被称为里奇流（Ricci流）之父，和丘成桐是朋友。他用分析方法研究庞加莱猜想历史很长。在曹、朱被指责"剽窃"之后，哈密顿来到北京说，是丘成桐教授最早提示他：三维流形上的里奇流将会产生瓶颈现象，并把流形分解为一些连通的片，所以可以用来证明庞加莱猜想。在这以后的20年中，许多学者都在研究里奇流证明庞加莱猜想的整个纲领的可行性，形成的"Ricci流研究团体"就是以哈密顿为首。丘成桐是陈省身的弟子；肯定陈省身、丘成桐、田刚等中国数学家为推动庞加莱猜想的证明所作出的贡献，是他们建立了了不起的微分几何中国学派。