基于伽利略变换推演洛仑兹变换与质速方程

    提到伽利略变换，我们会想到牛顿力学，提到洛仑兹变换，我们就会想到相对论，在我们的意识里，牛顿力学与相对论、伽利略变换与洛仑兹变换只能有一个严格成立。这如同人们早期对欧氏几何与非欧几何的认识，我们很难接受两者都能成立的现实。

    如今我们已经知道欧氏几何与非欧几何是可以相互演化的，却仍然不知伽利略变换与洛仑兹变换也是能够相互推演的。这里我们将以伽利略变换为基础来推演洛仑兹变换，并以牛顿力学的动量守恒为基础推演相对论的质速方程。从中我们将会看到一些人们很难想到的一些事实，例如牛顿定律、动量守恒等等这些结论并非是天然就成立的，而是与人类的智慧密切相关的。

    我们以伽利略变换与光速为切入点。就人类目前活动的领域来说，我们在地球系测量到的光速是具备各向同性的，无论你支持相对论还是支持牛顿力学，这一点人们还是有共识的。但是，按照伽利略变换，光速不可能在所有的坐标系（指惯性系，下同）都具有"各向同性"，最多只有一个坐标系中具有"光速各向同性"的结论。基于这样的前提，我们将牛顿力学中或者伽利略变换体系下具有"光速各向同性"的那个坐标系称为"基准坐标系"，并将这个坐标系用S₀来表示。

    有了基准坐标系S₀，我们再引入另外一个坐标系S。假设S相对S₀沿X轴以速度v₀匀速运动，S₀的时空坐标用(x₀,y₀,z₀,t₀)来表示，S的时空坐标用(X,Y,Z,T)，则根据伽利略变换有：

    X=x₀-v₀t₀.........................................................................(1)

    Y=y₀.................................................................................(2)

    Z=z₀.................................................................................(3)

    T=t₀..................................................................................(4)

    设S₀系有三个光子a、a'、b，分别沿着X轴正方向、X轴反方向、Y轴正方向运动。根据前面的定义，在基准坐标系S₀中光速各向同性，沿X轴光子a、a'的速度大小分别是c、-c，沿Y轴光子b的速度为c。而根据伽利略变换可知，在S系，光子a、b沿X轴的速度大小分别是c-v₀、-c-v₀，光子b在Y轴方向的速度分量为c，光子b在X轴方向的速度分量为-v₀。

    我们看到，在伽利略变换体系下，光子a、a'、b在S系中的速度不再具有各向同性。那么，我们能否让这三个光子在S系的速度仍然具有各向同性呢？

    答案是可以的，解决的方法就是：基于伽利略变换体系，改造时间、空间的计量单位与时钟同步关系，使得改造后的时空坐标(x,y,z,t)与改造前的时空坐标(X,Y,Z,T)满足某种特定的关系。

    从理论上讲，如果仅仅是为满足"光速各向同性"，那么这种改造是不具有唯一性的。而我们这里的目的是推演洛仑兹变换，因此，在改造设计上可以针对性地要求：

    x=k₁X...........................................................................(5)

    y=Y..............................................................................(6)

    z=Z...............................................................................(7)

    t=k₂T+k₃X....................................................................(8)

    该组方程中的k₁、k₂、k₃为待定系数，表示的是S系计量改造后与改造前计量结果所要满足的计量关系。其中，改造后的x其计量单位为改造前的k₁倍；改造后的t其计量单位是改造前的k₂倍，且依据时钟所在的坐标位置，按k₃X的大小拨动时钟的指针(即改变对钟)。依靠人类的智慧，这些是能够做到的。如果令u_x=dx/dt、V_x=dX/dT、u_y=dy/dt、V_y=dY/dT、u_z=dz/dt、V_z=dZ/dT，则根据上述方程组我们可以得到：

    u_x=k₁V_x/(k₂+k₃V_x)............................................................(9)

    u_y=V_y/ (k₂+k₃V_x).............................................................(10)

    u_z=V_z/ (k₂+k₃V_x).............................................................(11)

    在S系，我们已经知道改造前三个光子a、a'、b的速度，而按照我们的需求，改造计量后这三个光子的速度大小在各自的方向上都要等于光速c。据此，将改造前后三个光子的速度代入以上方程，就可求得（推理过程略）:

    K₁= 1/(1- v₀²/c²)^1/2.........................................................(12)

    K₂=(1- v₀²/c²)^1/2..............................................................(13)

    K₃=-v₀/((1- v₀²/c²)^1/2c²)..................................................(14)

    将(12)、(13)、(14)代入(9)、(10)、(11)得：

    u_x= V_x/(1- v₀²/c²-V_xv₀/c²)................................................(15)

    u_y=(1- v₀²/c²)^1/2V_y/(1- v₀²/c²-V_xv₀/c²)............................(16)

    u_z=(1- v₀²/c²)^1/2V_z/(1- v₀²/c²-V_xv₀/c²).............................(17)

    或：

    V_x=(1- v₀²/c²)u_x/(1+u_xv₀/c²).............................................(18)

    V_y=(1- v₀²/c²)^1/2u_y/(1+u_xv₀/c²).........................................(19)

    V_z=(1- v₀²/c²)^1/2u_z/(1+u_xv₀/c²).........................................(20)

    式(15)至(20)为计量改造前后的速度转换关系。

    将(12)、(13)、(14)代入前面的(5)、(6)、(7)、(8)方程组得：

    x=X/(1- v₀²/c²)^1/2............................................................(21)

    y=Y...................................................................................(22)

    z=Z...................................................................................(23)

    t= (1- v₀²/c²)^1/2T-v₀X/((1- v₀²/c²)^1/2c²)..........................(24)

    上述方程组就是伽利略变换与洛仑兹变换的转换关系（其中，v₀为S系相对"基准坐标系"的速度，在伽利略变换体系下，该速度会体现在每个坐标系对光速的计量结果中），将(1)、(2)、(3)、(4)代入上述方程就可看到洛仑兹变换形式：

    x= (x₀-v₀t₀)/(1- v₀²/c²)^1/2

    y=y₀

    z=z₀

    t=(t₀-v₀x₀/c²)/(1- v₀²/c²)^1/2

    通过上述计量上的改造，我们可以看到，由伽利略变换能够推理出洛仑兹变换。反过来，也可以通过计量上的改造，由洛仑兹变换推理出伽利略变换。即：伽利略变换与洛仑兹变换是可以相互推演、相互转化的，两者的区别在于人类对计量的设计。

    值得注意的是，伽利略变换与洛仑兹变换有一个计量上一致的坐标系，上面称这个坐标系为"基准坐标系"。需要强调的是，根据洛仑兹变换可知，能够实现"光速各向同性"的坐标系不是唯一的，因此"基准坐标系"不是绝对的、唯一的，哪个坐标系作为"基准坐标系"取决于伽利略变换体系下把那个坐标系的光速计量为"各向同性"。

    通过上述推演，我们发现伽利略变换与洛仑兹变换并非是水火不容的，如果两者之间有一个能够成立，则另一个也能成立。沿着这样的思路继续思考，我们还可以发现一些新的问题，并由此推理出相对论的质速方程。

    我们知道，在牛顿力学下或在伽利略变换体系下，同一物体在不同坐标系的质量是不变的。在这种情形下，如果仅仅改造了伽利略体系下的时空计量，就会造成动量守恒、牛顿第三定律的失效。下面就分析这一种情况。

    假设在伽利略变换体系下，S系有两个沿X轴运动的物体A、B，碰撞前两个物体的质量分别为M₁、M₂、速度分别为V₁、V₂，碰撞后两个物体的质量分别为M₃、M₄、速度分别为V₃、V₄。根据动量守恒有：

    M₁V₁+M₂V₂=M₃V₃+M₄V₄.....................................................(25)

    如果按照上述方法改造了时空计量，并假设改造后的计量结果是：碰撞前两个物体的速度分别为u₁、u₂，碰撞后两个物体的速度分别为u₃、u₄。根据(18)式计量改造前后的速度转换关系可得：

    V₁=(1- v₀²/c²)u₁/(1+u₁v₀/c²) ..............................................(26)

    V₂=(1- v₀²/c²)u₂/(1+u₂v₀/c²) ..............................................(27)

    V₃=(1- v₀²/c²)u₃/(1+u₃v₀/c²) ..............................................(28)

    V₄=(1- v₀²/c²)u₄/(1+u₄v₀/c²) ..............................................(29)

    将以上各式代入(25)式可得：

    M₁u₁/(1+u₁v₀/c²)+M₂u₂/(1+u₂v₀/c²)

    =M₃u₃/(1+u₃v₀/c²)+M₄u₄/(1+u₄v₀/c²) ................................(30)

    如果时空计量改造后，物体质量的计量结果不改变，那么动量守恒表达式应该为：M₁u₁+M₂u₂=M₃u₃+M₄u₄，而根据(30)式可知，除非满足特定的条件，否则M₁u₁+M₂u₂=M₃u₃+M₄u₄是不成立的。换句话说，时空计量改造后会破坏原来的动量守恒，而动量守恒的不成立又会导致牛顿第三定律不成立。这也说明，牛顿第三定律、动量守恒能否成立并非是必然的，与人类的计量设计密切相关。

    既然时空计量的改造破坏了原有的动量守恒，那是否有办法进行弥补呢？办法是有的，那就是相应地改造质量的计量结果。为说明如何配套地改造质量的计量，我们以碰撞前的物体A来分析。

    设碰撞前物体A在"基准坐标系"S₀中的速度为u₁₀(注意在S₀系，改造前后的计量结果是相同的)，根据伽利略变换可知：

    u₁₀=V₁+v₀

    将(26)式代入上式得：

    u₁₀=(u₁+ v₀)/(1+u₁v₀/c²)

    将上式代入(1- u₁₀²/c²)^1/2可推导出：

    (1- u₁₀²/c²)^1/2=((1- v₀²/c²)^1/2(1- u₁²/c²)^1/2)/(1+ u₁v₀/c²)

    将上式变换一下得：

    1+u₁v₀/c²=((1-v₀²/c²)^1/2(1-u₁²/c²)^1/2)/(1-u₁₀²/c²)^1/2

    相似的推理，设碰撞后物体A在S₀中的速度为u₃₀，碰撞前物体B在S₀中的速度为u₂₀，碰撞后物体B在S₀中的速度为u₄₀，可得：

    1+u₂v₀/c²=((1-v₀²/c²)^1/2(1-u₂²/c²)^1/2)/(1-u₂₀²/c²)^1/2

    1+u₃v₀/c²=((1-v₀²/c²)^1/2(1-u₃²/c²)^1/2)/ (1-u₃₀²/c²)^1/2

    1+u₄v₀/c²=((1-v₀²/c²)^1/2(1-u₄²/c²)^1/2)/ (1-u₄₀²/c²)^1/2

    将上面４个表达式代入(30)式，整理得：

    (1-u₁₀²/c²)^1/2M₁u₁/(1-u₁²/c²)^1/2 +(1-u₂₀²/c²)^1/2M₂u₂/(1-u₂²/c²)^1/2)=

(1-u₃₀²/c²)^1/2M₃u₃/(1-u₃²/c²)^1/2+(1-u₄₀²/c²)^1/2M₄u₄/(1-u₄²/c²)^1/2

    要想保证时空计量改造后的动量守恒仍然是成立的，则需要配套改造质量的计量结果，这个配套的改造方案可以由上式得出，即上面表达式中每组要素除以相应的速度就是我们要求的质量计量结果。以碰撞前的物体A为例，设改造后的质量计量结果为m₁，则我们要求：

    m₁=(1-u₁₀²/c²)^1/2M₁/(1-u₁²/c²)^1/2

    我们令m₁₀=(1-u₁₀²/c²)^1/2M₁，并命名m₁₀为物体的静止质量，于是上式变为：

    m₁=m₁₀/(1-u₁²/c²)^1/2

    这就是我们熟悉的质速方程。当u₁=0时，物体A相对S坐标系静止，此种情况下物体A的质量就等于静止质量m₁₀，因此，上面定义的静止质量与相对论的约定是一致的。

    我们应该注意到，质速方程的推演过程没有限定物体之间的碰撞必须是"弹性碰撞"，不要求碰撞前后物体的静止质量保持不变，这比相对论原有的推理过程要合理的多。最重要的是，我们会发现，相对论的质速方程本质是一个计量上的问题，表示的是不同坐标系对同一物体、同一状态的质量计量关系，而不能将其混淆为：同一坐标系下同一物体不同状态下的质量变化关系，即不能将相对论推导出来的质速方程误解为：同一坐标系下物体的质量随着速度的增加而增加。

    至此，我们基于伽利略变换、动量守恒，演变出洛伦兹变换和相对论的质速方程。如此，如同我们可以用欧氏几何来分析理解非欧几何的结论，我们也能够站在牛顿力学的角度来分析理解相对论中的结论，包括相对论中的"光速不变"，也包括相对论中的"同时相对性"、"尺缩钟慢"、"孪生子问题"，更包括牛顿力学与相对论、绝对时空观与相对时空观之间的关系，等等，我们都可以用一个全新的角度来认识它们，并纠正那些顽固的、不正确的认识。