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欧氏第五公设：“如果平面内一直线和两直线相交，
所构成的两个同侧内角之和小于两直角， 那么，把这两直线延长， 它们一定在那两内角的侧相交。” 第五公设的等价命题---普列菲尔公理： “过平面上直线外一点，只能引一条直线与已知直线不相交” 证明： 用反证法，由“罗巴切夫斯基假设”： “过平面上直线外一点，至少可引两条直线与已知直线不相交”， 则推得的结果是：这两条直线是在一个曲面上的两条曲线。 罗巴切夫斯基证明的是：凹曲面上“三角形”的性质。 （三角形的内角和小于180度） 高斯和黎曼证明的是：凸曲面上“三角形”的性质。 （三角形的内角和大于180度） 与题设的“平面和直线条件”相矛盾，所以“第五公设”得证。 ========================================================= 荒唐吗？“非欧几何”证明了欧氏“第五公设”？ 黎曼认为球面上的“大圆”与直线等价， 可是球面也与题设的“平面”前提相矛盾， 除非他认为“球面”也等价于“平面”？ |