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一、 我们来比较张轩中的这类研究的起源
在西方，里奇张量起因于圆周运动的数学进化和物理射影，这是由意大利几何学家格里高里•里奇（Gregorio Ricci）想到的。里奇（1853～1925），意大利数学家，理论物理学家。张量分析创始人之一。1884～1894年里奇通过研究黎曼、李普希茨以及克里斯托费尔微分不变量的理论，萌发了绝对微分学（现称张量分析）的思想。1896年发表了内蕴几何学的论文，进而提出缩约张量（里奇张量）的概念，这是一种协变或逆变张量的集合。1900～1911年里奇和他的学生列维-齐维塔进一步推动了这一学科的发展。但直到爱因斯坦在广义相对论中使用了里奇理论之后，里奇思想才受到普遍的重视。 1、张轩中的第19章说，韦尔张量只是在四维时空之中的情景，假如在二维或者三维时空（当爱因斯坦方程成立），韦尔张量是不存在的。霍金在《时间简史》里曾经证明了人类不可能生活在二维空间。在这里也可以看到，在三维时空，没有钱塘江大潮。张先生的话有逻辑错误：人类不可能生活在二维空间，并不等于在在二维或者三维的数学空间中“外尔张量是不存在的”道理。为此我们来具体来分析张轩中的韦尔介绍： 1）张轩中说，里奇张量和韦尔张量两类张量做仔细分析，最简单的情景是张量退化为零。A）里奇平坦。 这相当于没有物质分布。B）韦尔平坦，或者说共形平坦。 这说明具有极高的对称性。1905年，爱因斯坦提出狭义相对论时，韦尔才19岁，刚去哥廷根上大学，希尔伯特是他的老师。1910年，物理学家洛伦兹在哥廷根大学讲演，提了著名的“能否由听鼓声推知鼓的形状问题”。这个“听音辨鼓”的问题就时刻在韦尔的内心深处，后来他在这个问题上做出了杰出的贡献。 这个问题与弦论有关，是后话。而韦尔在微分几何上的业绩，是导致在相对论中起着重要作用的一个张量——韦尔张量的诞生。其中李群表示里的彼特-韦尔定理，相当于把傅里叶分析推广到了李群之上的平方可积函数空间。在爱因斯坦把引力并入时空结构后，韦尔也希望引进韦尔变换，把电磁场和引力场一起并入时空结构，成为一个背景无关的理论。 物理性质用黎曼几何刻画，矢量的平行移动，只改变方向不改变矢量的长度。为了融合电磁力，把电磁力也融入时空的几何性质，韦尔觉得必须推广黎曼几何，让矢量平行移动后不但方向改变，并且长度也改变。但这个思想被爱因斯坦否决，因为根据韦尔的思想，一个粒子依赖于它过去的历史。但他的思想后来被杨振宁等人借鉴，发展出规范场论。 正是在20世纪后期，杨振宁等人的规范场论的宣传和成功，韦尔张量才赛过里奇张量的知名度的。 2）韦尔把规范变换局部化，发现电子存在必须要求光子存在。韦尔张量也相当于真空爱因斯坦方程里，出现的非线性引力子。引力子是自旋为2的粒子，如果按照彭罗斯的旋量写法，弯曲时空上的韦尔张量的旋量形式，满足自旋为2的运动方程，所以韦尔张量可以被认为是引力子。这是非微扰的看法，因此在共形平坦的时空，比如闵氏时空和（反）德西特时空没有引力子，原因是因为共形平坦的时空上韦尔张量是退化的。在平坦时空上讨论的引力子，其实就是线性化的韦尔张量，这个张量与韦尔张量具有相同的对称性。因此说：“韦尔张量几乎是表示引力子的最好的张量”是对的。 3）在超弦理论里，需要额外维度的空间，威滕和斯特罗明格等人得到了这个空间，就是卡拉比-丘成桐空间。在这个空间之上，存在一个凯林旋量，可以证明这是里奇平坦的。里奇平坦不是黎曼平坦，后者过分平坦，会有非常多的凯林旋量。根据黎曼张量的对称性，在n维流形上它有很多个独立的分量。如果这些分量全是零，那就是一个平坦流形，很多时候人们需要对曲率张量进行一些分类，对里奇张量的分类称为Plebanski分类。Plebanski是波兰人。以Plebanski真空、Plebanski动作形式的广义相对论的行动，也被写Plebanski 行动。 4）但张轩中认为，著名的是对韦尔张量的分类，这称为佩多夫（petrov ）分类。佩多夫是俄国人，他也是俄国人中研究相对论而在历史留名的少数人了。但佩多夫是在1954年左右才开始考虑韦尔张量或者黎曼张量的代数分类，到1966年才完全成熟。之前的俄国人，是朗道、泽尔多维奇等人。他们写的《场论》被认为是一代经典。佩多夫也是最早几个认识到1920年代伯克霍夫的定理有缺陷的人之一。他在1963年指出这个错误，离伯克霍夫证明那个定理已经40年了。那么什么是韦尔张量W-abcd的代数分类呢？因为韦尔张量的下指标（ab）和（cd）是对称的，它可以被看成是一个对称矩阵。佩多夫用的是线性代数的方法，给定一个矩阵M-ab，再给定矢量空间的基，那当然可以把这个矩阵写出来。 这个矩阵无论怎么复杂，总可以讨论它的本征矢量。当然本征矢量很有可能是重复的，也可能找不到它的本征矢量。 5）对于韦尔张量W-abcd，佩多夫只考虑它的类光本征矢量。当然这四个类光本征矢量，也有可能是有重复的，或者找不到这样的类光本征矢量。以下的数字i表示i次重复的本征矢量： （1，1，1，1）；（2，1，1）；（3，1）；（2，2）；（4）（退化）。 以上五种情景就是韦尔张量的分类。对组合数学熟悉的人，也许会惊讶情景很类似整数4的无序分拆： 4=1+1+1+1=2+1+1=3+1=2+2=4。 这些型号的名字分别是，第一类叫I型，最后一类叫O型——韦尔平坦，（2，2）型叫做D型。史瓦西时空和克尔时空全是D型时空。有了对韦尔张量的分类的数学，人们才能很好的处理引力辐射问题。莎斯（sachs）得到了无质量场的剥皮（peeling off）定理。后来彭罗斯则用旋量语言很简单地重新得到了皮特夫分类。韦尔张量其实对应一个前面说过的自旋为2的旋量场。任何一个自旋为n的无质量场，全可以用2n个2分量旋量的对称直积来表示。对于韦尔张量，是自旋为2的场，它有4个主类光方向，皮特夫分类说明了这4个主类光方向的重合情况。 如果时空是里奇平坦的，那么它可能是代数特殊的。一个真空引力场称为代数特殊的，即韦尔张量不是1型或O型的，或者说韦尔张量的主类光方向有重合，那就是代数特殊的。 |
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二、里奇张量和韦尔张量实际的起源
1、也许比张轩中认为的东西更基本、更早。因为数学如果以“速度”描述运动的快慢，那么涉及的纯数学和物理的标度、度规和规范，都会进化。这正是人们拭目以待新的时空定义出现在中国的第一步。因为速度等于位移和发生此位移所用时间的比值。 1）物理学中提到的“速度”一般指瞬时速度；而通常所说的速度都是指平均速度。在匀速直线运动中，平均速度与瞬时速度（即时速度）相等。瞬时速度是指运动物体经过某一点或在某一瞬时的速度。平均速度是物体位移跟发生这个位移所用的时间间隔之比。速度由于是矢量，有大小和方向，所以平移与圆周运动不同。当然，平移和圆周运动也有平均速度与瞬时速度的区别。21世纪初爱因斯坦的相对论，把光在真空中传播的速度定为物体运动的极限速度，从而把数学引向进化数学之路。因为圆周运动已经把速度概念又引向线速度和角速度的分类。角速度把时间概念，引向固定周期的描述，使极限速度神秘起来。 2）线速度是质点（或物体上各点）作曲线运动（包括圆周运动）时所具有的即时速度，其方向沿运动轨道的切线方向，故又称切向速度或圆周速度。角速度是连接运动质点和圆心的半径在单位时间内转过的弧度。刚体作定轴转动时，体内有一直线始终固定不动，转动刚体上各点速度的分布规律才为线性分布。线速度与角速度之间的关系：v = rω 。在匀速圆周运动中，线速度的大小等于运动质点通过的弧长（S或△l）和通过这段弧长所用的时间（△t）的比值。即v=S/△t或v=△l/△t，反映运动快慢的线速度，V=2πR/t。 3）从上也可以看出旋动与平动结合结构域的理论缺陷，即如果用旋动(自旋)代替圆周运动的地位，是不可能正确推导出如Dirac方程、Klein-Godon方程、达兰贝尔方程式、Maxwell方程、Lorentz力的公式、牛顿运动定律和万有引力定律等的。例如牛顿运动定律和万有引力定律，同时涉及平移与圆周运动，牛顿万有引力方程和牛顿力学的圆周运动向心力公式一样，是以两质心间的直线距离表示的受力情况，这就只是回到了平移类似的韦尔张量微积分运算。但平移不是全部，韦尔矢量也不是全部，还有里奇张量。所以张志强说“时空收缩”、“时空弯曲”是虚幻，说明他没有弄懂广义相对论方程。 我们承认出生在德国的赫曼•韦尔，是20世纪杰出的数学人物。他联系微积分运算要求连续性，反之把不连续的量子距离，称为相性因子，这是属于“点内空间”。杨振宁就是从韦尔思想发展到圆周相性，因为圆周线也由点组成的，既然韦尔的微积分直线有连续的“点外空间”点和不连续的“点内空间”点，那么圆周线也有不连续的“点内空间”点。 所以杨振宁也用“点内空间”点描述规范场，解决电磁学中虚数相性因子问题。而在力学矢量分析中，韦尔相性因子只被称为“韦尔张量”。即牛顿的平移与圆周运动结合结构域只是一种韦尔张量结构域，那么例如陈绍光说季灏是把相对论与牛顿力学能混合应用，陈绍光教授真懂得相对论吗？我国反相对论的人懂得相对论吗？ 2、圆周运动的数学进化和物理射影，发生在意大利几何学家格里高里•里奇（Gregorio Ricci）身上。里奇（1853～1925），意大利数学家，理论物理学家。张量分析创始人之一。 1）在微分几何中，里奇张量或里奇曲率张量提供了一项方法，由给定的黎曼度规所决定的几何究竟偏离寻常欧几里德n'空间多少的量度。如同度规张量本身，里奇张量是一个黎曼流形之切空间上的对称双线性形式。一般地讲，里奇张量是“体积扭曲”的量度；即它指出了n'维流形中给定区域之n'维体积，其和欧几里得n'空间中与其相当之区域的体积差异程度。 设 (M,g) 是一个 n维黎曼流形, 记TpM 为M 在 p点的切空间。任给切空间 TpM中的一对向量ξ,η , 里奇张量Ric(ξ,η) 定义为线性映射的迹。在黎曼几何与广义相对论中，一个伪黎曼流形(M,g)之无迹的里奇张量，在爱因斯坦场方程称爱因斯坦张量或里奇张量，有时也叫做迹反转里奇张量，是广义相对论中用来描述时空曲率的一个张量。在物理学和微分几何中，爱因斯坦张量是定义在黎曼流形上的秩为2的张量。时空的度规包括里奇张量和里奇标量。1884～1894年里奇通过研究黎曼、李普希茨以及克里斯托费尔微分不变量的理论，萌发了绝对微分学（现称张量分析）的思想。1896年发表了内蕴几何学的论文，使用了绝对微分学，进而提出缩约张量（里奇张量）的概念，这是一种协变或逆变张量的集合。1900～1911年里奇和他的学生列维-齐维塔进一步推动了这一学科的发展。然而直到爱因斯坦在广义相对论中使用了里奇理论之后，里奇思才受到普遍的重视。即体积扭曲是某种协变或逆变规则在坐标改变下的变换，并能在别处获得。 2）真空引力场为什么用里奇张量而不是黎曼张量呢？里奇张量比黎曼曲率张量描述引力场的优点是什么呢？这是因为场方程的一段是能动张量，是一个二阶张量，所以必须要找出一个和曲率有关的二阶张量来。那么四阶的黎曼张量必须要被缩并，自然就得到里奇张量了。如果是里奇标量，那么就需要和度规相乘才能得到二阶张量。所以，用里奇张量的理由是因为能动张量是二阶的。即从作用量来看，还有一个理由就是这里的动力学变量是时空度规，它是二阶的，所以从标量的作用量出发必然只能得到二阶的方程，所以就是里奇张量了。这两个张量描述空间弯曲是不等效的。不存在物质的区域可以存在引力场，是因为里奇张量描述的是物质的情况，而黎曼曲率描述的是引力场，黎曼张量只是反应时空几何，描述引力场的是度规里奇张量，是黎曼张量的缩并，所以自然会有信息丢失。黎曼张量恒为零的流形，必然是平直的。里奇张量恒为零的流形，可以完全不是平直的。在建立了爱因斯坦方程以后，可以说里奇张量恒为零的流形是“空”的，里面没有任何能量与动量。 3）李政道先生说：物理学不是数学；数学比较容易，物理更难。以上的相对论只是数学，所以很少有人读懂物理。真正从物理读懂相对论的，是彭罗斯。彭罗斯的《皇帝新脑》一书指出爱因斯坦的广义相对论方程，包括韦尔张量和里奇张量时，直观明白：韦尔张量囊括类似平移运动的相对加速度，对球面客体单向的拉长或压扁作用；这与牛顿力学的性质对应。而里奇张量囊括当球面客体有绕着的物体圆周运动时，整体都有一个纯粹向内的加速，产生有类似向心力的扩张或收缩的缩约、缩并作用。这也许类似科里奥利加速度矢量，但科氏力仅是一般的推算分析。 4）里奇张量奇妙的是，似乎已经包含了韦尔张量，即类似牛顿引力在地球的潮汐效应。 能说明射影里奇张量整体效应的，是麦克斯韦的电磁场方程：变化的电场产生变化的磁场；变化的磁场产生变化的电场。所以彭罗斯的解释是：“黎曼=韦尔+里奇”。韦尔张量，韦尔是测量类似自由下落的球面的潮汐畸变，即形状的初始变形，而非尺度的变化。里奇张量，里奇是测量类似球面的初始体积改变。这与牛顿引力理论要求下落球面所围绕的质量，和这初始体积的减少成正比相合。即物体的质量密度，或等效地能量密度（ E＝ｍｃ2），应该和里奇张量相等。 简单地说，黎曼曲率描述的是引力场，黎曼张量只是反映时空几何，描述引力场的是度规里奇张量，是黎曼张量的缩并、缩约。对这种“缩并力”，彭罗斯再解释说，爱因斯坦方程存在一个称作能量----动量的张量，它将有关的物质和电磁场的能量、压力和动量都组织在一起。他把这一张量叫做能量，爱因斯坦方程则粗略是：里奇=能量。正是在能量张量中“压力”的出现以及为使整个方程协调的条件要求，使得压力对体积缩小效应有所贡献。 那么不涉及韦尔张量吗？不是的。韦尔张量引起空虚的空间里感受到潮汐效应，爱因斯坦方程意味着存在将韦尔张量和能量相联系的微分方程的结合结构域。彭罗斯对这种韦尔张量重要性的推证，实际上是反过来又把部分里奇张量效应包含在韦尔张量中。但彭罗斯正如牛顿没有解决好韦尔张量超距的引力潮汐畸变一样，也没有解决好里奇张量的超距作用。因为物体在圆周运动的对称点，里奇张量也有类似对称超距的引力。这种作用传输是隐形的，可以是光速，也可以是超光速。 5）但彭罗斯继续阐述了里奇张量和韦尔张量这种结合结构域的产生原理。他说要理解该结合结构域，还可以射影麦克斯韦的电磁场方程电场E和磁场B的结合结构域。因为韦尔张量韦尔实际是引力场的测定；韦尔的“源”是能量张量，这与麦克斯韦的电磁场的电场E和磁场B的源，是麦克斯韦电磁场理论的电荷和电流的结合结构域的情形相似。这种观点实际是将“麦学”引向“里奇张量”和“里奇流”统一的结合结构域；这里“电荷”对应里奇张量圆周运动的“源”效应，是类似彭罗斯的“扭量球”图像。“电流” 类似“里奇流”，对应韦尔张量平移运动的“流”效应，可联系类似傅里叶级数、泰勒级数展开式变换的“孤子链”，以及隐形传输与宇宙弦。 |