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力场与温度分布 讨论稿 摘 要：本文首先指出，单原子理想气体分子飞行在自由程中由于受到重力作用，分子的动能必将随其位移而递变，可称其具有动能梯度；梯度属于一种矢量。还指出，人们不仅关注矢量的大小，更在乎矢量的取向；文中尤其强调了，在重力场中飞行的粒子的动能梯度的方向都取决于其所受到的重力方向，亦即在重力场中飞行的粒子具有方向一致的动能梯度。 接着指出，由代数学可知大小有别的同向矢量的平均量肯定不等于零；复合运算的次序之颠倒并不影响其计算结果；最后结合热学中所给出的分子动能的平均值正比其温度的共识，顺利导出了值得惊讶的物理结论--力场（含加速场）能够导致物体内部存在着不等于零的温度梯度。 关键词： 力场 动能梯度 平均动能 温度梯度 1．导言 人们从来不敢相信引力场与温度场一样也会影响物系的温度分布；笔者也不例外，但是本文所得到的严谨而朴素的逻辑结果居然震撼着笔者传统的温度分布观念。 而热统界之所以一直以为力场只能导致物体（气体尤为明显）的密度作不均匀分布，但不能影响物系的温度分布；这不仅是因为力场所导致的温度梯度很微弱（《大气科学》早就明确指出绝热稳衡态的大气柱存在着大约0.97k/100m的温度体梯度），不易检测；更是因为人们并没有从理论上予以清晰而严密的证明；也正是因此，本文仅仅凭借人们所熟知的基础物理学中的基本思想方法--分子运动论；同时结合代数学中的基本逻辑，进行了通俗朴实的谨慎推理；以期能裨益人们对温度分布规律的再认识。 2．相关的数学逻辑 这里只运用两个通俗的数学逻辑：其一，就是一组大小各异的同向矢量之平均量肯定不等于零；其二，就是微商与累和这两种运算的结合与其次序无关。 2.1 一组大小各异的同向矢量之平均量肯定不等于零 其一，就是指一组大小各异的同向矢量 的平均量肯定不等于零： 且总有 ， 其中 表示任意两个矢量（ ）之间的夹角。 这是一个最简单不过的数学逻辑；因为只有大小和方向都各异的一组矢量才有可能相互抵消为零；而大小各异的同向矢量只能相互加强，除非全为零；又因其大小各异，所以不可能全为零，也就是说这第 式所示的结论毋庸置疑。 2.2 "微商"与"平均"的结合与其次序无关 其二，就是"微商"与"平均"这两种复合运算的结合与（这两种运算的）次序无关（即若颠倒这两种运算的次序并不影响该复合运算的结果）： 其实这就是代数学中常说的所谓的（"运符"）"交换律"，究其实质也就是 "（微商）分配律"；乃属一种常用的计算方式。 2.3 上述两个数学逻辑的结合 如果 ，则有： 这第 式就是将第 两式所示的数学逻辑结合使用所得到的结论。这第 式所示的数学结论将是下面进行推理的逻辑基础。 3．上述数学结果在热学中的运用 若 代表第 个分子的热运动动能，即若有 ；当然还须保持矢量 的方向都相同；则必有 又因为在热学中有（为了简便，这里不妨暂且只讨论单原子理想气体）： 其中 表示物系某一点的热力学温度； 则表示波耳兹曼常数；由此便得到了很有意义的结果： 这里的关键就是要求矢量 的方向必须都保持相互一致！这意味着分子的动能梯度 必须是由（宏观的）外场（含引力场、加速场）所导致的，即要求外场属于一种宏观力场；因为宏观的力场可以使（单原子）理想气体系统内的每个小局域（子系统）的各个分子具有方向一致的动能梯度。 4．推论 一般而论，在重力场中的粒子始终受到重力的作用，所以在重力场中任何类型的物系（含非理想气体）的各分子也都必然始终叠加着同一方向的动能梯度 这里以重力方向为正方向；其中 则表示第 个粒子相对于体系（小局域）质心的平动速度也就是说，在重力场中分子还受到重力的作用，分子的动能在位移中必然发生附加的改变--具有所谓附加的"动能梯度" ；这附加的动能梯度正比于力场强度；这是一种（附加）矢量，其方向都与重力方向一致；所以重力场必然迫使（同一小局域的）各分子附加着方向一致的动能梯度。 依第 式得知，重力场（含加速场）必然导致物系内各点都叠加着正比于力场强度的温度梯度。 重力场（含加速场）虽然不能使同一个小局域（子系统）每个分子的热运动方向都保持相互一致；但却可以使各个分子附加着同一方向的加速度（即附加着同向的动能梯度），导致物系各点都叠加着一个正比于力场强度的温度梯度！ 5．综述 分子运动论的思想方法是：将单原子理想气体分子视作弹性小球，这些弹性小球在重力作用下将发生加速运动，小球的动能将随着位移而变化，这种对位移的变化率，便被称谓动能梯度。因为小球在重力作用下在重力方向存在着位移分量，这位移分量乘以小球所受到的重力便等于重力对该小球所作的功。依据（质点的）动能定理，这时重力对小球所作之功等于小球动能的改变。那么将小球的动能的改变（微分）再除以位移（微分）就叫小球的动能梯度。显然，小球的动能梯度就等于小球所受到的重力；而重力属于一种矢量，所以小球的动能梯度也就属于一种矢量；又因为重力的方向在不太大的范围内是（近似）平行的同向矢量，所以小球的动能梯度也总是（近似）平行的同向矢量；而同向矢量的平均量是不等于零的！除非这些同向矢量全为零，而小球在重力场中的动能梯度显然不等于零，除非重力场强度等与零；所以小球的动能梯度的平均量肯定不等于零！ 我们知道这些小球的行为就是对单原子理想气体的个别分子在力场中的行为的写照，也就是说，单原子理想气体分子在重力场中受到重力的作用都存在着方向一致的动能梯度。这些分子的动能梯度的平均量肯定不等于零！我们都知道，只有分子的物理参量的平均量才属于可观察（测量）的宏观量，例如分子的动能的平均值正比于温度；温度是可观察量；也就是说分子的平均动能是可观察量；那么分子动能的梯度的平均量也必然是个可观察量，即属于一种宏观量；那么分子的动能梯度的平均量究竟对应着怎样的可观察量？
我们知道，如果将"求平均"的运算与"求微商"的运算交换次序，这并不会改变这两种复合运算的结果，那么我们就不妨来个次序交换：即先对分子的动能求平均，尔后再求其梯度，那么对分子的动能求平均就得气体某一点的温度，再求其梯度，也就是再对其温度求梯度，这温度梯度就是分子动能梯度的平均量所对应的宏观量（即可观测量）；其结果当然也应该不等于零！因为上面已经得到结论：在重力场中理想气体分子动能梯度的平均量肯定不等于零；那么也就等于说重力场中的理想气体内部肯定存在着不等于零的温度梯度。至此为止，本文已经用这个简单朴素的思路轻松获得重要结论：在重力场的作用下气体系统内部必然存在着不等于零的温度梯度！思路就这么质朴、简单！ 参考文献 [1] 汪志诚，《热力学统计物理》（第三版），北京：高等教育出版社，2003.3。 [2] 赵凯华，罗蔚茵，《力学》（第一版），北京：高等教育出版社，1995.7。 [3] 赵凯华，罗蔚茵，《热学》（第一版），北京：高等教育出版社，1998.2。 |