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再次请朱顶余先生求解一个方程(此方程有对称形式吗?能否求解)
[楼主] 作者:jqsphy  发表时间:2011/04/20 16:39
点击:916次

再次请朱顶余先生求解一个方程(此方程有对称形式吗?能否求解)

Y''+(A/x^2+B*x^2-K)=0

其中,x为变量,Y是待求函数(是x的函数),A、B、K是常数。Y''表示x的二阶导数。

这里感兴趣的是:A>0, B>0。至于常数K,可正、可负、可零(我猜测当K为正负或零时,解Y具有完全不同的形式)。

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 [2楼]  作者:541218  发表时间: 2011/04/20 20:17 


建其,如下的微分方程也值得来找我?

Y''+(A/x^2+B*x^2-K)=0

这是最简单不过的二次积分!属于二阶线性常系数非齐次的常微分方程而已。大一初学微积分的学生也会算这道题;其中的括号也没有必要存在。
也许是被你写错了……?
[楼主]  [3楼]  作者:jqsphy  发表时间: 2011/04/20 21:53 

I am very, very sorry!!!!

漏掉了一个Y, 应该是:

Y''+(A/x^2+B*x^2-K)Y=0。

幸亏你说了“其中的括号也没有必要存在”,否则我还看不出漏在哪里。
[楼主]  [4楼]  作者:jqsphy  发表时间: 2011/04/20 21:59 

1)如果设A=0, B<0, 那么这就是量子力学谐振子方程,有精确解(书上有)。

但是如果B>0, Y''+(B*x^2-K)Y=0,似乎难以求解(没有束缚态),即使有解,与谐振子的解(束缚态)也将完全不同。


2)如果B=0, 那么Y''+(A/x^2-K)Y=0, 在K=0时,有一个很容易得到的解。但是K不为零呢?似乎难以求解。

3) 完整的方程Y''+(A/x^2+B*x^2-K)Y=0就更加难了。

 [5楼]  作者:541218  发表时间: 2011/04/20 22:51 

Y''+(A/x^2-K)Y=0,

此种形式方程的符号解 是 贝塞尔函数(即一种幂级数)

1/2
1/2 (1 - 4 A) 1/2
y(x) = _C1 x BesselJ(------------, (-K) x)
2

1/2
1/2 (1 - 4 A) 1/2
+ _C2 x BesselY(------------, (-K) x)
2

 [6楼]  作者:541218  发表时间: 2011/04/20 22:58 

完整的方程Y''+(A/x^2+B*x^2-K)Y=0的符号解也是一种幂级数;即此乃属 Whittaker(惠泰克函数M_(k,m)(z)

y(x) = _C1/x^(1/2)*WhittakerM(1/4*I*K/B^(1/2),1/4*(1-4*A)^(1/2),B^(1/2)*x^2*I)+_C2/x^(1/2)*WhittakerW(1/4*I*K/B^(1/2),1/4*(1-4*A)^(1/2),B^(1/2)*x^2*I)
[楼主]  [7楼]  作者:jqsphy  发表时间: 2011/04/22 17:45 

感谢朱顶余先生的求解。对于Whittaker(惠泰克)函数,我听说过,但没有钻研过。对于Y''+(A/x^2-K)Y=0的解,朱先生得到这是贝塞尔函数。的确,我早已知道:当A小于零时,Y''+(A/x^2-K)Y=0就可以化为球贝塞尔方程,其解(贝塞尔函数)在书上有。不过我关心的是当A大于零时的情况。我找了不少书,发现书上讲的全部是“当A小于零时”。我认为A的符号对解的结构影响很大,当A大于零时,现成的书上的结论不能照搬。
不过现在我找到了一篇60年前的文献(作者Case, Phys Rev 80, 797 (1950)),里面就是研究Y''+(A/x^2-K)Y=0(A大于零)的。其给出了主要求解步骤,最后得到了一个表达式,其本证值K的形式的确与“当A小于零时”的本证值大不同。这说明 “A的符号的确对解的结构影响很大”。不过他没有写出其解的具体表达式,只说它的解也可以用一种由Watson定义的新的贝塞尔函数表示出来(Watson是一本更早的书的作者,这本书专门讲贝塞尔函数)。不过Case的论文对我也足够了。

但是对于Y''+(A/x^2+B*x^2-K)Y=0的解 Whittaker(惠泰克)函数,我还要琢磨琢磨。不过非常感谢朱顶余。
 [8楼]  作者:541218  发表时间: 2011/04/22 18:17 

对【7楼】说:
竭力控制自己的情绪!只单纯地讨论学术!不浪费笔墨去做小肚鸡肠(鸡争鹅斗)!

 

数学与物理具有截然不同的特点:数学结论具有刚性!是就是!非就非!不存在似是而非的问题!

数学软件(如Maple9.5)具有强大的奇妙的运算功能!令我折服!我的所有破题绝技几乎都没有超越数学软件(如Maple9.5)的功能?现在看来  只剩下  “对称法”这一块岛屿,是数学软件(如Maple9.5)所欠缺的功能!

不过,似乎也只有我能读懂  数学软件(如Maple9.5)的某些运行结果……因为 我也将 同样的微分方程发送给西北工业大学 杨新铁老师,他至今未予答复……意味着杨老师也未能弄清楚……同时也发送给华东师范大学的李志斌老师,他也未予答复……

似乎  山中无老虎    只有我这只猿猴在称霸王啦???

 [9楼]  作者:541218  发表时间: 2011/04/23 06:53 

对【7楼】说:

但是对于Y''+(A/x^2+B*x^2-K)Y=0的解 Whittaker(惠泰克)函数,我还要琢磨琢磨。

…………………………………………………………………………………………………………

你千万 别不珍惜 这个Whittaker(惠泰克)函数!这是你的万幸!  并不是任意形式的微分方程都一定拥有诸如惠泰克之类的级数式函数的!你不信,当你将其中的自变量x的指数更改一下,就会不再满足 Whittaker(惠泰克)函数,也没有其他形式的符号解!所以,这Whittaker(惠泰克)函数算是你(该方程)的幸运!当然你这方程绝非凭空捏造,而是依据物理规律严格建立起来的!你要珍惜这Whittaker(惠泰克)函数!这意味着你所研究的物理规律具有符号解!可以借助绘制Whittaker(惠泰克)函数曲线来瞭望该物理规律的变化趋势……微分方程的符号解释很难获取的!就好比说并不是所有女子都具有孕育功能!

 [10楼]  作者:541218  发表时间: 2011/04/23 06:54 

对【7楼】说:

不过我关心的是当A大于零时的情况。

………………………………………………………………………………

当A大于0.25时,出现虚数;但 贝塞尔函数的定义域 为整个复平面。

当然 贝塞尔函数的值域 也许 超出了某种物理意义。

总之  数学软件(如Maple等)的运行结果绝对可信!但万不可以满足于依赖于数学软件(如Maple等)的运行结果。

更早的书籍 落后于网络信息!所以 遇到学术疑难问题 应该上网搜索最新文献 ;最新鲜的(第一时间的)当然是与(专业“痴迷”型)网友互动,后来者居上!书本诚然是一种知识宝库,但网络(论坛、电子邮件)也是一种最新鲜的知识资源……

http://en.wikipedia.org/wiki/Whittaker_function>

 

[楼主]  [11楼]  作者:jqsphy  发表时间: 2011/04/25 18:11 

To 朱顶余先生:
我查了一下网络:http://en.wikipedia.org/wiki/Whittaker_function

里面给出了一个方程(它的解就是Whittaker函数),可是这个方程与我的Y’’+(A/x^2+B*x^2-K)Y=0大有区别,前者没有x^2项。

另,这个网页给出的方程,其实就是碱金属原子外层电子所遵守的薛定谔方程(除了库伦势1/r外,还有一个与电偶极子有关的1/r^2势)。关于网页这个方程(如果\mu^2较小,我猜测可能当\mu^2小于1/4),不少书(量子力学教材和习题册)上已经有求解,即它最终能化为求解氢原子的方程(拉盖尔方程?)。

因此,我猜测当\mu^2大于1/4时,就称呼为了“Whittaker方程”了。

但总之,它与我的Y’’+(A/x^2+B*x^2-K)Y=0大有区别,因此我的方程的解不大可能是Whittaker函数。
SHEN J Q 2011-4-25
 [12楼]  作者:541218  发表时间: 2011/04/26 01:05 

对【11楼】说:

它与我的Y''+(A/x^2+B*x^2-K)Y=0大有区别,因此我的方程的解不大可能是Whittaker函数。
……………………………………………………………………………………………………………………

你这也属于Whittaker函数!他那个方程的解也属于Whittaker函数。 Whittaker函数只是个类称而已,虽然都被称之为Whittaker函数,但其具体表达式仍各有特色 !譬如 都属于三角函数,但其具体表达式依然有别!

 [13楼]  作者:同花顺365  发表时间: 2011/04/26 19:49 
 [14楼]  作者:541218  发表时间: 2011/04/26 23:56 

对【11楼】说:

Y''+(A/x^2+Bx^2-K)Y=0

 

 当且仅当 

K=[(-B)^(1/2)][2+(1-4A)^(1/2)]    时

 

该方程解析解的通俗形式是:

y=λx^[1/2+(1/4-A)^(1/2)]e^{(1/2)[(-B)^(1/2)](x^2)}

 

 [15楼]  作者:541218  发表时间: 2011/04/27 00:15 

对【11楼】说:

Y''+(A/x^2+Bx^2-K)Y=0



当且仅当

K=[(-B)^(1/2)][2+(1-4A)^(1/2)]  时



该方程解析解的通俗形式是:

y=λx^[1/2+(1/4-A)^(1/2)]e^{(1/2)[(-B)^(1/2)](x^2)}

 [16楼]  作者:541218  发表时间: 2011/04/27 00:23 


对【11楼】说:

Y''+(A/x^2+Bx^2-K)Y=0



当且仅当

K=[(-B)^(1/2)][2+(1-4A)^(1/2)] 时



该方程解析解的通俗形式是:

y=λx^[1/2+(1/4-A)^(1/2)]e^{(1/2)[(-B)^(1/2)](x^2)}


 [17楼]  作者:541218  发表时间: 2011/04/27 00:27 

对【11楼】说:
最后的修改!

Y''+(A/x^2+Bx^2-K)Y=0



当且仅当

K=[(-B)^(1/2)][2+(1-4A)^(1/2)] 时



该方程解析解的通俗形式是:

y=λx^[1/2+(1/4-A)^(1/2)]e^{(1/2)[(-B)^(1/2)](x^2)}
 [18楼]  作者:541218  发表时间: 2011/04/27 00:55 

对【11楼】说:
最后的修改!

Y''+(A/x^2+Bx^2-K)Y=0



当且仅当

K=[(-B)^(1/2)][2+(1-4A)^(1/2)] 时



该方程解析解的通俗形式是:

y=λx^[1/2+(1/4-A)^(1/2)]e^{(1/2)[(-B)^(1/2)]x^2}
 [19楼]  作者:541218  发表时间: 2011/04/27 01:40 

对【11楼】说:

“但总之,它与我的Y''+(A/x^2+B*x^2-K)Y=0大有区别,因此我的方程的解不大可能是Whittaker函数。”

………………………………………………………
最后的确定!

Y''+(A/x^2+Bx^2-K)Y=0



当且仅当

K=[(-B)^(1/2)][2+(1-4A)^(1/2)] 时



该方程解析解的通俗形式是:

y=λx^[1/2+(1/4-A)^(1/2)]e^{(1/2)[(-B)^(1/2)]x^2}

此乃Whittaker函数的通俗表达

只要将这个解析表达式y=λx^[1/2+(1/4-A)^(1/2)]e^{(1/2)[(-B)^(1/2)]x^2}代入原方程Y''+(A/x^2+Bx^2-K)Y=0 便可立即甄别其真伪!

[楼主]  [20楼]  作者:jqsphy  发表时间: 2011/05/11 11:58 

好几天没有上这个论坛了。现在看到朱先生提供了如此一条重要信息,万分感谢!!
我将验证之。

看起来,y=λx^[1/2+(1/4-A)^(1/2)]e^{(1/2)[(-B)^(1/2)]x^2}是束缚态(y在无穷远处为零),而B*x^2将导致散射态,故而束缚态非常稀少,只有对K取某些限制,才可以有束缚态。从这个思路讲,朱先生这个解,是有道理的。但是否精确成立,我将验证之。

[楼主]  [21楼]  作者:jqsphy  发表时间: 2011/05/11 16:44 

朱先生,
在这个方程中,我曾要求B大于0,如此说来,K=[(-B)^(1/2)][2+(1-4A)^(1/2)]有可能是复数。
一般我们总希望不出现复数,那么要求B小于0,于是这就成为谐振子的量子力学方程,这是有解的。不过朱先生所提供的解y=λx^[1/2+(1/4-A)^(1/2)]e^{(1/2)[(-B)^(1/2)]x^2}在无穷远处发散,不是束缚态,也许对,但不令人满意。

我希望的解是:当B大于0, 解Y在无穷远收敛至零。
 [22楼]  作者:541218  发表时间: 2011/05/11 17:47 

对【21楼】说:

当B大于0, 解Y在无穷远收敛至零。
……………………………………………………………………

这是允许的。

因为 虚数(指数) 也有正负之别!当负的(虚数)指数(的模)趋于无穷大时,该幂(复数的模)也趋于零。

 设: y=e^[-(-x)^(1/2)]

当x→∞时,必有  y→0

你说呢?

[楼主]  [23楼]  作者:jqsphy  发表时间: 2011/05/13 19:05 

朱先生这个解是对的,但这个解不是我所预期(所想要的)解。
由朱先生的解,当B=0时,K=0,那么这就对应于Y''+(A/x^2)Y=0的解。的确,Y''+(A/x^2)Y=0有这么一个非常简单的解(很容易看出)。

不过,除了K=0情形,Y''+(A/x^2-K)Y=0还存在K<0的解,形式非常复杂,可见60年前的文献(作者Case, Phys Rev 80, 797 (1950))。

朱先生的解,其地位类似于Y''+(A/x^2-K)Y=0中的K=0的解(因为由朱先生的解,当B=0时,K=0)。但是,既然Y''+(A/x^2-K)Y=0还存在K<0时的解,那么自然Y''+(A/x^2+B*x^2-K)Y=0也应该具有类似的解。莫非就是复杂的 Whittaker(惠泰克)函数?
 [24楼]  作者:541218  发表时间: 2011/05/13 19:42 

对【23楼】说:

……莫非就是复杂的 Whittaker(惠泰克)函数?

…………………………………………………………

也许是这样的。

不过 我只热衷于追求这种简洁的解析解,并不感兴趣那些无穷级数类的符号解

我也只不过是“照书算命”而已,仅仅是依据你所给出的方程式进行求解而已!并未顾及其物理意义。所以难以保证所给出的解析解能够满足的你的无理要求!只要能够使你所给出的方程成为恒等式,就算我完成任务!我也只能做到这一点。即 仅仅是"照书算命"而已;仅此而已;也只能完成这一道工序。

你若避开我,或许你一时难以闯过这一关…………

剩下的问题  你也就只能去怀疑所建立的方程了,或者去怀疑你在建立该方程的过程所依据的指导思想是否有问题

提示: 当B大于零时,你可以取其(复变函数的)“实部” 即取(三角)余弦函数(这也是一种求解方法)。

 

 [25楼]  作者:541218  发表时间: 2011/05/13 21:16 

我已经运用 均熵方程(无熵产原理),单原子理想气体状态方程,静力平衡条件 联立成微分方程组 解出氢原子基态电子云的密度分布函数 以及 能级函数; 其结果到波尔原子轨道模型的支持!这是我将统计物理学中的“熵”理论引入电子云系统,提出“几率熵”的概念。

这意味着 量子力学中的薛定谔方程并不是求解电子云几率密度的唯一途径!

我的方程组  以及电子云几率熵  电子云的定态必须满足无熵产原理 等基本思想得到证实!

我这个思路 完全可以替代量子力学的理论体系!

统一了 统计物理学与量子力学  而且印证着哲学中的相似律 即各学科的体系结构的相似性。

[楼主]  [26楼]  作者:jqsphy  发表时间: 2011/05/16 13:06 

对【24楼】说:
朱先生得到了其中最简单的解,的确完成任务。但是,物理上有兴趣的解,往往不在这个简单解里。y=λx^[1/2+(1/4-A)^(1/2)]e^{(1/2)[(-B)^(1/2)]x^2}在B=0时,在无穷远处不收敛,所以不是束缚态,故而不合我的要求。
 [27楼]  作者:silin007  发表时间: 2011/05/16 15:50 

[12楼] 作者:541218 发表时间: 2011/05/16 15:10 [加为好友][发送消息][个人空间]回复 修改 来源 删除
对【10楼】说:

你丁一拧与沈建其岂可相提并论?!当初 我痛斥沈建其的时候,沈建其对我的犀利尖刻言辞 视若无睹 置若罔闻 毫无反应 更未作任何形式的报复性回击,反而变得更加谦逊!体现出沈建其 以德报怨 豁达大度 宠辱不惊 虚怀若谷 从谏如流 博大胸怀 充分展示了一位学者的伟大风范!不回击 胜过最有力的回击!沈建其的这一风范使我自愧佛如 无地自容 从此我再也不用污言秽语对待沈建其教授了 因此我对沈教授 崇拜得五体投地!沈建其不仅自然科学很有成就 就是道德风范也是为人表率(楷模)做人的榜样!可谓 德高望重 不愧为一名合格的优秀的大学教授!人类灵魂的工程师!

而你丁一拧呢?则相形见绌!差几个数量级!你丁一拧 只爱听恭维话!不接受真挚的批评!

[13楼] 作者:541218 发表时间: 2011/05/16 15:14 [加为好友][发送消息][个人空间]回复 修改 来源 删除
希望小丁 拜倒在沈建其教授的脚下 学习自然科学知识 、学习做人!免得被打进牢房!我的儿子就是刑警大队长专门捉拿 酷刑拷打不法分子 再关进监狱的!不知丁一拧的血肉之躯是否布满神经末梢 ……电鞭打得你丁一拧 嗷嗷嚎叫 疼痛得丁一拧大汗淋漓 喷屎撒尿……疼痛难忍 死去活来 提醒你 好自为之!别触犯法律!刑法无情!出生入死!
 [28楼]  作者:541218  发表时间: 2011/05/17 08:45 

只谈数学!不谈物理!

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