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完整的方程Y''+(A/x^2+B*x^2-K)Y=0的符号解也是一种幂级数；即此乃属 Whittaker（惠泰克）函数 ： y(x) = _C1/x^(1/2)*WhittakerM(1/4*I*K/B^(1/2),1/4*(1-4*A)^(1/2),B^(1/2)*x^2*I)+_C2/x^(1/2)*WhittakerW(1/4*I*K/B^(1/2),1/4*(1-4*A)^(1/2),B^(1/2)*x^2*I) |
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建其，如下的微分方程也值得来找我？ Y''+(A/x^2+B*x^2-K)=0 这是最简单不过的二次积分！属于二阶线性常系数非齐次的常微分方程而已。大一初学微积分的学生也会算这道题；其中的括号也没有必要存在。 也许是被你写错了……？ |
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1）如果设A=0， B<0, 那么这就是量子力学谐振子方程，有精确解（书上有）。
但是如果B>0， Y''+(B*x^2-K)Y=0，似乎难以求解（没有束缚态），即使有解，与谐振子的解（束缚态）也将完全不同。 2）如果B=0， 那么Y''+（A/x^2-K)Y=0， 在K=0时，有一个很容易得到的解。但是K不为零呢？似乎难以求解。 3） 完整的方程Y''+(A/x^2+B*x^2-K)Y=0就更加难了。 |
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完整的方程Y''+(A/x^2+B*x^2-K)Y=0的符号解也是一种幂级数；即此乃属 Whittaker（惠泰克）函数： y(x) = _C1/x^(1/2)*WhittakerM(1/4*I*K/B^(1/2),1/4*(1-4*A)^(1/2),B^(1/2)*x^2*I)+_C2/x^(1/2)*WhittakerW(1/4*I*K/B^(1/2),1/4*(1-4*A)^(1/2),B^(1/2)*x^2*I) |
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对【7楼】说： 但是对于Y''+(A/x^2+B*x^2-K)Y=0的解 Whittaker（惠泰克）函数，我还要琢磨琢磨。 ………………………………………………………………………………………………………… 你千万 别不珍惜 这个Whittaker（惠泰克）函数！这是你的万幸！ 并不是任意形式的微分方程都一定拥有诸如惠泰克之类的级数式函数的！你不信，当你将其中的自变量x的指数更改一下，就会不再满足 Whittaker（惠泰克）函数，也没有其他形式的符号解！所以，这Whittaker（惠泰克）函数算是你（该方程）的幸运！当然你这方程绝非凭空捏造，而是依据物理规律严格建立起来的！你要珍惜这Whittaker（惠泰克）函数！这意味着你所研究的物理规律具有符号解！可以借助绘制Whittaker（惠泰克）函数曲线来瞭望该物理规律的变化趋势……微分方程的符号解释很难获取的！就好比说并不是所有女子都具有孕育功能！ |
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对【11楼】说： 它与我的Y''+(A/x^2+B*x^2-K)Y=0大有区别，因此我的方程的解不大可能是Whittaker函数。 你这也属于Whittaker函数！他那个方程的解也属于Whittaker函数。 Whittaker函数只是个类称而已，虽然都被称之为Whittaker函数，但其具体表达式仍各有特色 ！譬如 都属于三角函数，但其具体表达式依然有别！ |
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对【11楼】说： “但总之，它与我的Y''+(A/x^2+B*x^2-K)Y=0大有区别，因此我的方程的解不大可能是Whittaker函数。” ……………………………………………………… 此乃Whittaker函数的通俗表达 只要将这个解析表达式y=λx^[1/2+(1/4-A)^(1/2)]e^{(1/2)[(-B)^(1/2)]x^2}代入原方程Y''+(A/x^2+Bx^2-K)Y=0 便可立即甄别其真伪！ |
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好几天没有上这个论坛了。现在看到朱先生提供了如此一条重要信息，万分感谢！！
我将验证之。 看起来，y=λx^[1/2+(1/4-A)^(1/2)]e^{(1/2)[(-B)^(1/2)]x^2}是束缚态（y在无穷远处为零），而B*x^2将导致散射态，故而束缚态非常稀少，只有对K取某些限制，才可以有束缚态。从这个思路讲，朱先生这个解，是有道理的。但是否精确成立，我将验证之。 |
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朱先生，
在这个方程中，我曾要求B大于0，如此说来，K=[(-B)^(1/2)][2+(1-4A)^(1/2)]有可能是复数。 一般我们总希望不出现复数，那么要求B小于0，于是这就成为谐振子的量子力学方程，这是有解的。不过朱先生所提供的解y=λx^[1/2+(1/4-A)^(1/2)]e^{(1/2)[(-B)^(1/2)]x^2}在无穷远处发散，不是束缚态，也许对，但不令人满意。 我希望的解是：当B大于0， 解Y在无穷远收敛至零。 |
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朱先生这个解是对的，但这个解不是我所预期（所想要的）解。
由朱先生的解，当B=0时，K=0，那么这就对应于Y''+（A/x^2)Y=0的解。的确，Y''+（A/x^2)Y=0有这么一个非常简单的解（很容易看出）。 不过，除了K=0情形，Y''+（A/x^2-K)Y=0还存在K<0的解，形式非常复杂，可见60年前的文献（作者Case, Phys Rev 80, 797 (1950)）。 朱先生的解，其地位类似于Y''+（A/x^2-K)Y=0中的K=0的解（因为由朱先生的解，当B=0时，K=0）。但是，既然Y''+（A/x^2-K)Y=0还存在K<0时的解，那么自然Y''+(A/x^2+B*x^2-K)Y=0也应该具有类似的解。莫非就是复杂的 Whittaker（惠泰克）函数？ |
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对【24楼】说： 朱先生得到了其中最简单的解，的确完成任务。但是，物理上有兴趣的解，往往不在这个简单解里。y=λx^[1/2+(1/4-A)^(1/2)]e^{(1/2)[(-B)^(1/2)]x^2}在B=0时，在无穷远处不收敛，所以不是束缚态，故而不合我的要求。 |
