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我用概率推出了完全数和盈数、亏数的平均变比
[楼主] 作者:马国梁  发表时间:2011/04/12 11:38
点击:1344次

 

我用概率推出了完全数和盈数、亏数的平均变比

山东省章丘市第一职业中专 马国梁

 

我们知道:在对任一自然数进行分解后,如将小于它的因数全部相加,就会得到一个新的数。这个数如果等于被分解的自然数,那么它就叫完全数(完美数、完备数);如果大于该自然数,它将叫盈数,而小于该自然数,它则叫亏数。

完全数非常稀少,而亏数却总是多于盈数。如将盈数或亏数再进行分解,并生成新的数......这样无限进行下去,那么其总趋势将是下降的;只有少量的可能在一定范围内循环。何以至此?迄今为止并没有确凿的证明,且今后也看不到任何证明的希望。因此笔者想到:我们为什么不用概率计算的方法来制服这匹野马,找出其统计上的规律?在经过反复的尝试后,不曾想还真取得了一些有价值的进展。现将之介绍如下。

一、根据算数基本定理,任一自然数都可以写成唯一的若干质因数的幂的乘积。即

x = (2^a)(3^b)(5^c)(7^d)......(q^n)

式中的底数都是质数;指数的范围是   a、b、c ...... n = 0 → ∞

由此我们即可求得x的所有因数的个数(包括1和x)为

m = (a+1)(b+1)(c+1)(d+1)......(n+1)

二、x的全部因数(包括1和x)之和为

y = (1+2+4+ ...... +2^a)(1+3+9+ ...... +3^b) ...... (1+q+qq+ ...... +q^n)

 = [2^(a+1) - 1] [3^(b+1) - 1](1/2) [5^(c+1) - 1](1/4) ...... [q^(n+1) - 1](1/(q-1))

 = x [2/1][3/2][5/4][7/6] ...... [q/(q-1)]

  • [1-1/(2^(a+1))] [1-1/(3^(b+1))] ...... [1-1/(q^(n+1))]

三、令 y = kx 则

 k = [2/1][3/2][5/4][7/6] ...... [q/(q-1)]

  • [1-1/(2^(a+1))] [1-1/(3^(b+1))] ...... [1-1/(q^(n+1))]

当 k = 2 时 x即是完全数;

k > 2 时 x为盈数;

k < 2 时 x为亏数。

质因数越多、值越小,k值就越大;指数a、b、c ...... n越大,特别是小质数的指数a、b等越大,k值也越大。但指数的影响小于底数的。我们忽略后面各项,可得k的上限为

k = [2/1][3/2][5/4][7/6] ...... [q/(q-1)]

可以证明k值的极限为无穷大,但与此相应的x更是不可思议的无穷大。

四、由于所有自然数的因数在通过相加后所得到的新数都没有倾向性,完全是随机的,那么我们就可以用概率来推算它们的平均变比了。

我们知道:在全部的自然数中,偶数占总的 1/2,这也是它参与构数概率;

    3倍数占1/3

5倍数占1/5

7倍数占1/7

............

q倍数占1/q

故可得k的平均大小为

k = [(2/1)^(1/2)][(3/2)^(1/3)][(5/4)^(1/5)][(7/6)^(1/7)] ......[(q/(q-1))^ (1/q) ]

可以证明k的平均值是有限大的。

还可算得:当q = 101时  k = 1.78306409...... < 2

这样   x′= (k-1)x = 0.78306409 x

可见所有新生数的平均值都要小于原值。总的说来是:亏数居多,盈数较少,完全数则更少。

任一自然数,当对它的分解、求和无限进行时,其总体趋势都是要下降的,上升总是暂时的。当然可能还有少量的循环数,完全数只是其中循环半径为0的数。

我们还可求得任一自然数通过变换下降到1的平均步数是

 s = -ln(x)/ln(k-1)

例如x = 72 . 理论计算结果是  s = 17    而实际步数则为8 ,少了;

当x = 120 时. 理论计算是  s = 20   而实际步数则为30 ,多了。

至此我们开头所提的问题就算解决了!这与以前我用概率解决"角谷猜想"的问题相似。但这类问题怕的是连统计规律都没有,宛若一片浮云,让人无从下手。例如用从0到9的十个数码,通过一次次的摇选所得到的曲线就是这样的。

说明:本成果所有权当归作者,如有转帖或引用请予署名。如有侵权,作者将依法追究。

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 [2楼]  作者:541218  发表时间: 2011/04/12 19:40 

我完全赞同马老师的“统计方法”想法!

我曾猜想,无限不循环小数(即 无理数, 如 圆周率 等)的各位数字的数值的大小是从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9随机出现的;但将其各位数累加起来再取平均,应该 等于4.5 ?………………各种数字出现的概率应该相等。

运用这个等概率指导思想可以探索一些数论问题…………
[楼主]  [3楼]  作者:马国梁  发表时间: 2011/04/13 10:37 

当然应该等于4、5。
扔筛子与此相似。扔两次的和为7最多。
 [4楼]  作者:541218  发表时间: 2011/04/13 11:54 

此乃《统计力学》的基本假设:“等概然原理”在《数论》领域的应用例!
凡是“行踪诡秘”无一定规律(通式)可循的事件,如 素数的分布就无一定规律(通式)可循,那就必然遵循一种统计规律!二者必居其一;这在哲学上就叫必然性(规律)寓于偶然性(随机性)之中。
陈景润犯了一个原则性错误,就如同企图导出气体中某一指定分子的热运动轨迹一样的困难与无必要性,应该用统计法 用概率密度来描述某指定分子的几率密度分布规律。
[楼主]  [5楼]  作者:马国梁  发表时间: 2011/04/13 16:09 



经我修正的后继素数的推算公式为

Pi+1 = Pi + ln(Pi)/[1-1/sqrt(2Pi)] 其中 P1 = 2

= P1 + ∑ln(Pi)/[1-1/sqrt(2Pi)] i = 1 ~ n

当然后继素数的真实值只能是在其左右。如下所示.

计算值 2 3 5 8 11 14 17 20 24 27 31 35 39 43 48 52 56 61 65 70 74 79

真实值 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79

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