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我用概率推出了完全数和盈数、亏数的平均变比 山东省章丘市第一职业中专 马国梁
我们知道：在对任一自然数进行分解后，如将小于它的因数全部相加，就会得到一个新的数。这个数如果等于被分解的自然数，那么它就叫完全数（完美数、完备数）；如果大于该自然数，它将叫盈数，而小于该自然数，它则叫亏数。 完全数非常稀少，而亏数却总是多于盈数。如将盈数或亏数再进行分解，并生成新的数......这样无限进行下去，那么其总趋势将是下降的；只有少量的可能在一定范围内循环。何以至此？迄今为止并没有确凿的证明，且今后也看不到任何证明的希望。因此笔者想到：我们为什么不用概率计算的方法来制服这匹野马，找出其统计上的规律？在经过反复的尝试后，不曾想还真取得了一些有价值的进展。现将之介绍如下。 一、根据算数基本定理，任一自然数都可以写成唯一的若干质因数的幂的乘积。即 x = (2^a)(3^b)(5^c)(7^d)......(q^n) 式中的底数都是质数；指数的范围是 a、b、c ...... n = 0 → ∞ 由此我们即可求得x的所有因数的个数（包括1和x）为 m = (a+1)(b+1)(c+1)(d+1)......(n+1) 二、x的全部因数（包括1和x）之和为 y = (1+2+4+ ...... +2^a)(1+3+9+ ...... +3^b) ...... (1+q+qq+ ...... +q^n) = [2^(a+1) - 1] [3^(b+1) - 1](1/2) [5^(c+1) - 1](1/4) ...... [q^(n+1) - 1](1/(q-1)) = x [2/1][3/2][5/4][7/6] ...... [q/(q-1)]
三、令 y = kx 则 k = [2/1][3/2][5/4][7/6] ...... [q/(q-1)]
当 k = 2 时 x即是完全数； k > 2 时 x为盈数； k < 2 时 x为亏数。 质因数越多、值越小，k值就越大；指数a、b、c ...... n越大，特别是小质数的指数a、b等越大，k值也越大。但指数的影响小于底数的。我们忽略后面各项，可得k的上限为 k = [2/1][3/2][5/4][7/6] ...... [q/(q-1)] 可以证明k值的极限为无穷大，但与此相应的x更是不可思议的无穷大。 四、由于所有自然数的因数在通过相加后所得到的新数都没有倾向性，完全是随机的，那么我们就可以用概率来推算它们的平均变比了。 我们知道：在全部的自然数中，偶数占总的 1/2，这也是它参与构数概率； 3倍数占1/3 5倍数占1/5 7倍数占1/7 ............ q倍数占1/q 故可得k的平均大小为 k = [(2/1)^(1/2)][(3/2)^(1/3)][(5/4)^(1/5)][(7/6)^(1/7)] ......[(q/(q-1))^ (1/q) ] 可以证明k的平均值是有限大的。 还可算得：当q = 101时 k = 1.78306409...... < 2 这样 x′= (k-1)x = 0.78306409 x 可见所有新生数的平均值都要小于原值。总的说来是：亏数居多，盈数较少，完全数则更少。 任一自然数，当对它的分解、求和无限进行时，其总体趋势都是要下降的，上升总是暂时的。当然可能还有少量的循环数，完全数只是其中循环半径为0的数。 我们还可求得任一自然数通过变换下降到1的平均步数是 s = -ln(x)/ln(k-1) 例如x = 72 . 理论计算结果是 s = 17 而实际步数则为8 ，少了； 当x = 120 时. 理论计算是 s = 20 而实际步数则为30 ，多了。 至此我们开头所提的问题就算解决了！这与以前我用概率解决"角谷猜想"的问题相似。但这类问题怕的是连统计规律都没有，宛若一片浮云，让人无从下手。例如用从0到9的十个数码，通过一次次的摇选所得到的曲线就是这样的。 说明：本成果所有权当归作者，如有转帖或引用请予署名。如有侵权，作者将依法追究。 |